函数连续,函数可微,函数可导,偏导数存在,偏导数连续之间的关系_第1页
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文档简介

1、函数连续 , 函数可微 , 函数可导 , 偏导数存在 , 偏导数连续之间的关系1、可导即设 y=f(x) 就是一个单变量函数 , 如果 y 在 x=x0 处存在导数 y=f (x), 则称 y 在 x=x0 处可导。如果一个函数在x0 处可导 ,那么它一定在x0 处就是连续函数。函数可导定义 :(1)设 f(x) 在 x0 及其附近有定义 ,则当 a 趋向于 0 时 ,若 f(x0+a)-f(x0)/a的极限存在 , 则称 f(x) 在 x0 处可导。(2)若对于区间 (a,b)上任意一点 (m,f(m) 均可导 ,则称 f(x) 在(a,b) 上可导。连续函数可导条件 :函数在该点的左右偏导

2、数都存在且相等。即就就是一个函数在某一点求极限 ,如果极限存在 ,则为可导 ,若所得导数等于函数在该点的函数值 ,则函数为连续可导函数 ,否则为不连续可导函数2、连续函数连续必须同时满足三个条件:函数在 x0 处有定义 ;x-x0 极限limf(x) 存在 ;x-x0 时 limf(x)=f(x0)定理有 :函数可导必然连续 ;不连续必然不可导。函数连续 , 函数可微 , 函数可导 , 偏导数存在 , 偏导数连续之间的关系3、可微定义 :设函数 y= f(x), 若自变量在点 x 的改变量 x与函数相应的改变量 y有关系 y=Ax+( x)其中 A 与 x无关 ,则称函数 f(x) 在点 x

3、可微 ,并称 Ax为函数 f(x) 在点 x 的微分 ,记作 dy,即 dy=Ax当 x= x0 时,则记作 dyx=x0 、可微条件 :必要条件 :若函数在某点可微 ,则该函数在该点对 x 与 y 的偏导数必存在。充分条件 :若函数对 x 与 y 的偏导数在这点的某一邻域内都存在 , 且均在这点连续 ,则该函数在这点可微。4、可积函数定义如果 f(x) 在 a,b 上的定积分存在,我们就说f(x) 在a,b 上可积。 即 f(x) 就是 a,b 上的可积函数。函数可积的充分条件定理 1 设 f(x) 在区间 a,b 上连续 ,则 f(x)在 a,b 上可积。定理 2 设 f(x) 在区间 a,b 上有界 ,且只有有限个第一类间断点,则 f(x) 在 a,b 上可积。定理 3 设 f(x) 在区间 a,b 上单调有界 ,则 f(x) 在 a,b 上可积。可积的必要条件 :函数连续 , 函数可微 , 函数可导 , 偏导数存在 , 偏导数连续之间的关系被积函数在闭区间上有界。总结 :对于一元函数 :函数连续不一定可导例如 y=|x|可导一定连续即

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