课题学习__最短路径问题.ppt

1、第十三章 轴对称,复习引入,线段公理： 两点之间，线段最短.,垂线段性质： 垂线段最短.,B,问题1：如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？,两点之间,线段最短, ,问题2：两点在一条直线异侧,已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。,P,连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。,思考？ 为什么这样做就能得到最短距离呢？,根据：两点之间线段最短.,如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？,P,所以泵站建在点P可使输气管线最短,应用,问题3,如图，牧马人从

2、A地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到B地牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？,思考： 你能把这个问题转化 为数学问题吗？,A,B,l,l,当点C在直线 l 的什么位置时，AC与BC的和最小？,分析：,A,B,l,如图，点A、B分别是直线l异侧的两个点， 如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点A、点B 的距离的和最短？,联想：,两点之间，线段最短.,？,l,（1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？ （2）我们能否把A、B两点转化到直线l 的异侧呢？ 转化需要遵循的原则是什么？ （3）利用什么知识可以实现转化目标？,分析：,l,如下左图，作点B关于直线 l 的对称点B .

3、 当点C在直线 l 的什么位置时，AC与CB的和最小？,如上右图，在连接AB两点的线中，线段AB最短. 因此，线段AB与直线 l 的交点C的位置即为所求.,l,在直线 l 上任取另一点C ， 连接AC 、BC 、B C 直线 l 是点B、B的对称轴， 点C、C在对称轴上， BC=BC，BC=BC AC+BC=AC+BC=AB 在ABC中，AB AC+BC， AC+BC AC+BC， 即AC+BC最小,l,证明：如图.,问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短,练习,请你自己动手 试一试！,A,C,作法： 作点A关于街道

4、的对称点A., 连接AB,交街道于点C.,点C的位置即为所求.,运用新知,练习2如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的M 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返 回P 处，请画出旅游船的最短路径,运用新知,基本思路： 由于两点之间线段最短，所以首先可连接PM，线段PM 为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，M 在直线BC 的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与MR 的和最小”,归纳,如图，A为马厩，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到马厩. 请你帮他确定这一天的最短路线.,问题3,已知：如图，在l1、l

5、2之间有一点A.,求作：分别在l1、l2上确定一点M、N，使AM+MN+NA最小.,如图，作点A关于l1和l2的对称点A1、A2， 连接A1A2，交l1于M点，交l2于N点. 连接AM和AN，则AM+MN+NA最小. 因此，那天这样走路线最短.,一点在两相交直线内部,已知：如图A是锐角MON内部任意一点，在MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.,B,C,D,E,分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小,一点在两相交直线内部,已知：如图A是锐角MON内部任意一点，在MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形

6、周长最小.,分别作点A关于OM，ON的对称点A，A；连接A，A，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求,3.某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 作法：1.作点C关于直线 OA 的 对称点点D, 2. 作点C关于直线 OB 的对称点点E, 3.连接DE分别交直线OA.OB于点M.N， 则CM+MN+CN最短,A,O,B,. .,E,D,M,N,如图：A为马厩，B为帐篷，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然

7、后回到B，请画出最短路径. 作法： 1.作点A关于直线 MN 的对称点点C, 2. 作点B关于直线 ON 的对称点点D, 3.连接CD分别交直线MN、ON于点G、H， 则AG+GH+BH最短,M,N,O,B ,A,G,H,问题4：两点在两条直线内部,A/,B/,P,Q,问题5,（造桥选址问题）如图，A和B两地在同一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）,思考： 你能把这个问题转化 为数学问题吗？,如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么折线AMNB在什么情况下最短呢？,分析：,a,b,由于河宽是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小.,分析：,如左图，如果将点A沿与河岸垂直的方向平移到点A，使AA等于河宽，则AA=MN，AM=AN，问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，AN+NB最小？,参考右图，利用“两点之间，线段最短”可以解决.,如图，沿垂直于河岸的方向平移A到A，使AA等于河宽，连接AB交河岸于点N，在点N处造桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.,a,b,解：,另任意造桥MN， 连接AM、BN、AN.,由平移性质可知， AMAN，AMAN， AAMNM