第二章地球重力场2.ppt

1、2-13 异常重力场，大地水准面起伏和垂线偏差,扰动位 一点上实际重力位 W 与正常重力位 U 之差，称为扰动位。 通常以T表示： T=W-U,令正常椭球的中心和旋转轴分别与实际地球的质心和旋转轴重合，同时使两者的旋转角速度相等。这样，正常椭球的离心力位与实际地球的离心力位相等，扰动位就等于地球引力位与正常引力位之差。 也就是说，扰动位是由于实际地球质量分布与正常椭球质量分布不一致所引起的引力位差。若把这两种质量之差（指每一点质量之差，而不是总质量之差）称为扰动质量，那么扰动位就是由于地球内部扰动质量而产生的引力位。 显然，扰动位是地球外部空间的调和函数，可以用球谐函数的级数表示。,大地水准面

2、 理想的静止海洋面，将这个面延伸到大陆的下面，并到处保持与垂线方向正交，这样形成的一个闭合面称为大地水准面。 与理想静止的海洋面重合的水准面。 大地水准面起伏 N,沿椭球面法线将大地水准面上 一点 P 投影到椭球面上的 Q 点。在大地水准面和椭球面之间的距离 PQ 称为“大地水准面高”，或称为“大地水准面起伏”，以 N 表示。,似地形面和似大地水准面,都可以找到满足于 Uqi=Wpi 的点Qi ，由这些点所构成的曲面，称为似地形面。,重力异常 重力异常是一个标量，分为大地水准面重力异常和地面重力异常。,(2-138),(2-142),垂线偏差,扰动位与重力异常、垂线偏差、大地水准面高的关系,扰

3、动位与大地水准面高的关系,这就是著名的布隆斯公式，它表示大地水准面起伏和扰动位的关系。,扰动位与重力扰动的关系,扰动位与重力异常的关系,最后的公式给出了扰动位与重力异常、扰动重力、大地水准面高之间的关系,我们通常假设大地水地面以外没有质量，在此情况下，大地水准面之外的密度处处为零，异常位T为谐函数，并满足拉普拉斯方程,利用边值条件 (2-148)，则大地水准面以外每个点的 T 值均可以确定。 将边值条件写成,大地水准面上各点的g 值假设都已知，那么，在这个面上T 和T/n 有线性的组合。依据1-l 7节，T 值的确定乃是位论中的第三边值问题。 如果解出T 值，再应用布隆斯公式(2-144)，就

4、可以计算物理大地测量中一个非常重要的几何量，即大地水准面起伏 N。,扰动位与垂线偏差关系,2-14 扰动位的球谐函数展开式,由于异常位 T=W-U 是谐函数，它可以展开为球谐函数的级数：,Tn(, )为 n 阶的拉普拉斯面谐函数。将级数(2-152)式对r 进行微分，则得重力扰动的球谐函数表达式：,在地球外边,通常采用中心与地球质心重合的平均地球椭球作为正常椭球，因此，由（2-34）和（2-92）式得：,为正常引力位系数,由边界条件式得：,由布隆斯公式得：,2-15 地球外部空间的重力异常,如果地球表面上有一个谐函数H，则在地球以外，球近似的值 H 可以用布阿桑积分式(1-89)在整个单位球上

5、的积分计算，,（改进的布阿桑积分式）,用于解算地球外部的重力异常,根据（2-155）式 得出,可见 rg 是谐函数，能用于布阿桑公式（2-159），得,这是一个从地球面上重力异常计算地球外部空间重力异常的公式，或者说是向上延续计算重力异常的公式。,地球外部重力异常gP的严格意义,实际重力位水准面，通常称为地球等位面 W常数 正常重力场水准面，称为椭球等位面 U常数,设地球的外部有一点 P，过 P点的地球等位面为 WWp 同时，有一等于同样常数 Wp的椭球等位面 UWp 若过P点的铅垂线和椭球等位面相交于Q，则可以说此点对应于P点。 地球外部重力异常为 gP = gP Q 即P点的重力与Q点正常

6、重力之差,2-16 司托克斯公式,如果只知道地面上的重力异常，基本方程式(2-154),就只能作为边值条件。但是，应用(2-160)式向上延续积分，就能计算地球外部的重力异常。这就改变了基本方程式的意义，使之成为一个可以对 r 积分的实在的微分方程式。 将上式乘以 r2,引入向上延续积分的表达式(2-160)，最后得到司托克斯积分。,式中g(r) 表示现在的g 是 r 的函数，它可以根据(2-160)式由地面上的重力异常计算。因为此公式自动地从g(r) 中去掉一阶和零阶的球谐函数，当用g(r) 计算扰动位 T 时，就不能包含有这些项。因此，得出,（2-162）,（2-162）,（2-162）由

7、司托克斯导出，称为司托克斯函数,2-22 垂线偏差，范宁梅尼兹公式,根据司托克斯公式可以用重力异常计算大地水准面的起伏，范宁梅尼兹导出一个由重力异常计算垂线偏差的类似公式。 图2-20表示一个任意方位的垂直面与大地水准面、参考椭球面的交线。如果 为这个面内的垂线偏差分量，则有,负号是习惯上使用，为了与定义一致。,按(2-203)式的定义，在南北、东西方向的分量为：,将司托克斯积分公式代入，可推导出范宁梅尼兹公式：,将司托克斯函数S() 对 微分，得出范宁梅尼兹函数:,2-23 重力的垂直梯度，归化到海水面的空间改正,使用司托克斯公式须将重力值归化到大地水准面上，需要从理论上研究重力垂直梯度的理

8、论改正问题。设地面测的重力为 g，大地水准面上的重力为g0，则用泰勒级数展开有,其中H为测站在大地水准面之上的高。忽略线性项以外的其它各项，则，,F 就是归化到大地水准面的“空间改正”。在这里假设大地水准面外没有质量，或者这些质量已经移去，所以这项改正确实是“空间的”。,以g 本身的表达式 将重力异常球谐展开式(2-155)写成,在(2-217) 的积分公式中，因为被积函数依距离 l0 的增加而迅速减小，积分范围只需在 P 点的邻近即巴足够。,以 N 展开的表达式 将（2-154）式,引进球座标形式的拉普拉斯方程式 参阅(1-41)式，,224 积分式的实用计算,解司托克斯和范宁梅尼兹的积分公

9、式，须用近似的求和法计算。将地球表面适当地划分为若干个小区域 q, 并以有限的区域 q 代替面元素d 进行求和。一般地可采用两种不同的区域划分方法：模板法和网格法,1模板法(图222)，这种划分采用同心圆和辐射线，模板用透明材料制戊，放在相同比例尺的重力图上，模板中心和所计算的 P 点重合，为此，所采用的自然座标是以 P为原点的极坐标 ，,2网格法(图2-23)。这种划分采用某种座标系的格网，一般是采用地理座标，。它们构成的方格区域，如10 10 或11 ，也称为方块，虽然它们不是平面几何中所定义的方块。,以简明的（2-165）式用于模板法,因此最好假设计算点周围半径为0的圆为内部带区，把这一

10、内部带区的影响分离开来。例如对司托克斯积分式就可以变成：,可以看到最里面的带区对司托克斯公式的影响，在取一次近似值时，取决于P点的g值；在范宁梅尼兹公式中，关系于g的一阶水平导数；而在垂直梯度的公式中，取决于二阶水平导数。,关于本章地球重力场的一些注记,司托克斯问题的提出，使我们在研究地球形状及地球重力场时，不必牵涉地球内部的结构问题我们只要知道水准面的形状，总质量以及旋转的角速度，就可以推求水准面上或其外部的重力场 地球形状的研究是司托克斯问题的反问题，即根据水准面上的重力分布以确定水准面的形状虽然司托克斯问题的解是唯一的，但反问题则可能有不同的解也就是说，在同一种重力分布的情况下，可以有各

11、种不同的形状去适应它所以，这个反问题不可能有一个普通的解对于一些和某种规则形状很接近的体形，一般是采用逐步趋近的办法去解决例如，地球的大地水准面与椭球面很接近，我们可以根据它上面的重力分布，按照司托克斯的公式来推算出它的表面与椭球面的偏差高程异常,如果地球的表面是一个真正的水准面，司托克斯的理论就可以直接应用于地球形状的研究但是，这不过是一种理想，与实际情况相差甚多地球表面除了百分之七十以上的海洋面是一个水准面外，其余部分则起伏不平在平原地区，偏差较小；在山岭及高原地区，则偏差就很大了因此，司托克斯的理论不能直接应用传统的方法是先将地面上所测得的重力值，归算到统一的海平面大地水准面之上，然后，

12、根据这些归算的重力值来推算大地水准面偏出于某一规定的椭球面的偏差在归算时，必须注意到下列几个条件： 在水准面之外，不再有引力物质的存在； 不能使水准面产生歪曲(当歪曲不能避免时，必须根据所采用的归算方法，求出歪曲的数量，以便加入改正)； 不能引起地球重心的位移,上述三个条件，实际上是要求在归算时，同时考虑到将水准面以外的物质按某一种假设转移到它的内部，而不使它产生任何的变形这点在实际的计算上是很难办到的有学者提出了直接研究地球表面形状的学说即所谓无假定的学派（莫洛金斯基理论）这样，就避免了上述归算问题的难关但是，实际上真正的困难还是地球表面上的重力测量资料的不足后面所提到的“无假定”的研究途径

13、，与经典学派(即必须按某种地壳构造学说进行归算，然后直接用司托克斯理论推算)的方法比较，对于重力资料分布的要求更为严格所以，尽管在理论上很严密，而在实用上，则困难甚多何况，在平原地区，两者并无多大区别；而在高山地区，则经典学派的推算方法虽然可以产生较大的误差，但是，由于重力资料的不足，比较严密的理论也不能得出更为可靠的结果所以，几十年来研究地球形状问题的主要矛盾还是重力的资料问题,大地水准面是一个很复杂的面所以，必须采用一个比较平滑的，可以用简单数学公式表达的面作为研究基础我们选择了旋转椭球面作为这种基础作为一些国家大地测量坐标推算基础的椭球面，名为参考椭球面它们都是从一个比较大的地区的天文大地测