利用几何画板探索轨迹的教学

利用几何画板探索轨迹的教学研究性学习一得湖北省通山县第一中学李雪松研究性学习是指学生在教师的指导下，从学生生活和社会经验中，选择和确定研究专题，仿照科学研究的方法和过程，主动地获取知识，并应用知识来解决问题的学习活动。研究性学习围绕一个主题或问题，以小组学习为主要形式，学生自主进行的探索性、实践性、开放性课程。研究性学习是以问题的解决为主要形式的学习活动，问题是它的重要载体，整个学习活动以问题的自然形成序列。研究性学习更强调实践，注重体验，关注结果。其特点是内容强调开放性、学习强调主体性、注重学生之间合作学习、讲求体验式、活动化。下面通过对一个数学问题的探索，谈谈我的一点体会。教师求曲线的方程、通过方程研究曲线的性质是解析几何的两大主要问题。今天与同学们讨论一个问题怎样探索点的轨迹。问题是数学的心脏，思维从问题开始。我们先看一个具体的例子如图1，过椭圆的左焦点F1作弦AB。现在来研究焦点弦AB有12BYAX0A关的问题。轨迹1过原点O作弦AB的垂线，垂足为M，求点M的轨迹方程。图1图2几何画板演示拖动主动点A在椭圆上转动或制作点A在椭圆上运动的动画按钮，跟踪点M，得到点M的轨迹是一个小圆。如图2“怎样求出这个小圆的方程”学生按一般思路，假设弦AB所在直线的斜率为K，则AB的垂线的斜率为，列K1出这两条直线的方程，联立这两个方程解出交点即垂足M的坐标，最后消去参数K就得到点M的轨迹方程。哇好复杂。学生们埋头进行着复杂的运算。其中一个学生望着投影大屏幕，既不动手，也不说话。教师“你为什么不动手做”学生“我在想这个轨迹是一个圆，而且是以OF1为直径的圆，是不是有什么简单的方法做出来。噢，我知道了。一般的解题思路很容易想出来，但运算也很复杂。我有一个很好也很简单的方法因为OMAB，所以|OM|2|F1M|2|OF1|2，若设点M的坐标为X，Y，点F1的坐标为C，0，则X2Y2XC2Y2C2，即。这就是所求的轨迹方程。”CYCX“啊这么简单”同学们都惊讶起来。马上又有一个学生说“大家都被椭圆这个外表给迷惑住了。其实这个问题只与原点和点F1的坐标有关，而与椭圆的弦无任何联系。就是给定两点O与F1，过这两点作两条互相垂直的直线，求交点的轨迹方程。这当然很容易解得。”教师“很好。刚才同学们讨论得很不错。在探求点的轨迹时，一定要注意设法找出动点所满足的几何条件，寻找动点与不动点之间的几何关系。平面几何的有关结论对求点的轨迹很有用处。下面我们将问题改变一下轨迹2如图3，求弦AB中点P的轨迹方程。”“猜猜看，点P的轨迹是什么”不少学生已经利用几何画板演示了出来几何画板演示拖动主动点A，得到点P的轨迹是一个小椭圆，并且这个小椭圆的长轴是线段OF1即半焦距。如图4。2C“真是椭圆。”学生的兴趣被调动起来。“怎样求这个小椭圆的方程”教师在下面观察学生的解法，却发现不少学生图3对这类问题无从下手。教师“根据求轨迹方程的一般步骤，求哪一点的轨迹方程，就应该假设该点的坐标为X，Y，因此先设P点坐标为X，Y。要建立点P的坐标X，Y满足的方程，观察图形，这里有四个点AX1，Y1、BX2，Y2、P、F1，其中点F1是定点，A、B、P都是动点，但点A是主动点，引起点P运动的原因是由于点A在椭圆上运动。因此要找到点P与A、B、F这三个点的坐标之间的关系。这是解决问题的关键。”“点P与A、B两点的坐标的关系怎样”学生“根据中点坐标公式得到，。”21X21Y“如何将A、B、P、F1这四点的坐标联系起来”“利用直线的斜率。”“直线AB的斜率怎样表示”“有，还有。”21XYKCXYK“如何得到”“”“A、B两点在哪满足什么方程”图4“在椭圆上。满足，。”212BAYXB22BAYX“知道怎样求了吗”21Y学生很快得到下列解法经过整理设AX1，Y1，BX2，Y2，PX，Y，则，2BAC21X21Y因为点A、B都在椭圆上，则，12YXBAY两式相减得，02212AXB于是有，CXYKBYAXY21化简得，此即为所求的轨迹方程。12ABC教师“以上解法是很典型的。这里设点A、B的坐标，但并不需要求出，只是利用A、B的坐标进行过渡。这是解析几何中常用的一种求轨迹方法设而不求。寻找动点之间的关系是求轨迹问题的关键。还有其它解法没有”一学生“因为直线AB经过点F1，可以设直线AB的方程为YKXC，与椭圆方程联立解方程组得出A、B两点的坐标”另一学生“不必解出A、B的坐标，将直线AB的方程为YKXC代入椭圆方程得到的一元二次方程的两根就是点A、B的横坐标X1，X2，正好可以利用韦达定理得到，将点A、B的横坐标都表示为直线AB的斜率K的函数，消去参21X21Y数K就行了。”教师“很好。请同学们将解法写出来。”以下是学生的另一种解法经整理解法二假设直线AB的斜率为K，则直线AB的方程为YKXC，代入椭圆方程得12BYAX02222BAKCXAXB设AX1，Y1，BX2，Y2，PX，Y，则，22122212121CKABKCXKCXK，由得，代入YKXC得，2KABCYAB22XY整理得，即为所求的方程。12ABCYX学生“我改变原椭圆的长轴或短轴的长，所求轨迹的形状也随着改变了，但这两个椭圆的形状仍然十分相似，也不知有没有必然的联系”学生“与的比例正好等于，哇我发现这两个椭圆的离心率是2C2AB2BA一样的因此它们的形状相同。”教师“很好。看来大家已经掌握了求轨迹的关键寻找被动点与主动点之间的关系。刚才所探索的都是弦AB上特殊点的轨迹。同学们能否利用几何画板探索其它点的轨迹请大家根据这个椭圆及弦AB，自行发现问题，提出问题和解决问题。”学生们立即投入到探索中。一位学生轨迹3“在弦AB上任意取一点Q，跟踪点Q，动画哇怎么点Q的轨迹是这样的”不少学生也发现了同样的问题。教师将这位学生计算机上的画面切换到大屏幕，几何画板演示在弦AB上任取一点Q，跟踪点Q，拖动主动点A，取到如下几何图形如图57所示图5图6图7“呀这是什么图形”“怎么会有这样的图形”“自学习解析几何以来还从没见过这样的图形。”“该给这个轨迹起个什么名字呢”学生们发出惊叹。拖动点Q，发现点Q的轨迹也发生变化。当点Q接近中点P时，点Q的轨迹图形接近于中点P的轨迹小椭圆如图6，而当点Q接近于点A或B时，轨迹图形就接近于大椭圆如图7。轨迹4“老师，我发现，如果将弦AB的两端A、B分别与椭圆长轴两个端点A1、A2连起来，则这两条直线A2A与A1B的交点C好象在椭圆的准线上。”另一个学生叫起来。“老师，点Q的轨迹不是我们所熟悉的圆、椭圆、双曲线或抛物线，其轨迹方程一定很复杂。点C的轨迹这么简单，那么应该可以求出其方程吧。”教师“试试看吧。”采取常规方法“交轨法”求解设直线AA2、BA1的方程分别为YK1XA，YK2XA，将AA2的方程代入椭圆方程整理得,021431BAXABA此方程的两根是A、A2的横坐标X1与A，故可求得AX1，Y1点坐标为,图82,1213BKABKAA同理可求得BX2，Y2点坐标为。2,23BKABKAB由A、F1、B三点共线可得，即，11FACXY21将A、B两点坐标代入并整理得A2ACK12K2A2CAK1K22B2ACK1B2CAK20，将，代入上式得XYK1XY，022222AXCBAXCABCAA分解因式得，0YXX因为直线AA2、BA1的交点在椭圆外，所以，22BAYXB故，即。0AXCAXC即为直线AA2、BA1的交点的轨迹方程，而这就是椭圆的准线方程。“同样的道理，直线A2B与A1A的交点D也在准线上。”“老师，不管C、D两点在左准线上怎样运动，CF1D是一个定值。如图9所0示。”又一个学生发现了一个结论。同学们利用上个问题的解决方法，很快证明了出来。教师“很高兴看到你们能探索出这么多图9结论出来。利用几何画板，你们还能探索出什么结论吗如果是圆、椭圆等常见轨迹，请同学们课后尽量给出证明。”轨迹5“老师，如图10作OAB的重心G，其轨迹也是一个椭圆。”一位学生说。以下是学生课后提供的解答过程设AX1，Y1，BX2，Y2，GX，Y，AB中点为MX0，Y0，则，02X1，321320X032Y由，2BAYXBBAYX得，2121此即为直线AB的斜率K，图10又，整理得CXYCXYK320CXYAB32故OAB重心G的轨迹方程为。322YACXB1322ABCYX下面是学生们得到的几条奇形怪状的曲线轨迹6“OAB的内心的轨迹是一条鸡蛋形曲线如图11所示。”轨迹7“OAB的垂心的轨迹是一条形状的曲线如图12所示。”图11图12轨迹8“OAB的外心的轨迹是一条反形状的曲线如图13所示。”轨迹9“OAB中，过点A作OB的垂线，垂足的轨迹是两叶花卉形如图14所示。”图13图14轨迹10“老师，如图15作ABF2的重心G，其轨迹也是一个椭圆。”以下是学生课后的解答设AX1，Y1，BX2，Y2，GX，Y，则由F2C，0与GX，Y可得AB中点M的坐标为，23,CX因为，YAXBYABXY121所以，CXY32整理得，即2BAXB1932ACBYX。此即为ABF2的重心G的轨迹方程。图15又是几条奇妙的曲线轨迹11“ABF2的内心的轨迹是与椭圆相似的一条曲线如图16所示。”轨迹12“ABF2的垂心的轨迹是一条形状的曲线如图17所示。”轨迹13“ABF2的外心的轨迹是一条反形状的曲线如图18所示。”轨迹14“ABF2中，过点A作BF2的垂线，垂足的轨迹是两叶花卉形如图19所示。”图16图17图18图19轨迹1518“延长AF2交椭圆于另一点C，联BF2，ABC的重心、内心、垂心、外心的轨迹都是一不知名的曲线如图2023所示。”图20图21图22图23“老师，椭圆与双曲线、抛物线都是圆锥曲线，它们有很多相似的性质。以上问题在双曲线与抛物线中是不是也具有相似的结论”“问得好。同学们探讨一下这位同学提出的问题。”以下是学生经过探索得出下面的结论限于篇幅，本文略去解题过程轨迹19如图24，过双曲线12BYAX的右焦点F2作弦AB，则弦AB的中点M的轨图24迹是以OF2为实轴即实半轴长为的双曲线，C其方程为，其解答过程与12ABCYX椭圆相似，这里略去。并且此双曲线与原双曲线的离心率相同。若在弦AB上任取一点P，则点P的轨迹图形如图2526，并且当点P图25接近中点M时，P点轨迹接近中点M的轨迹双曲线；当点P接近点A或B时，P点轨迹接近原双曲线。轨迹20如图27，OAB的重心G的轨迹是一双曲线，其方程为。1322ABCYX轨迹21如图28，ABF1的重心的轨迹是一双曲线，其方程为图26932ACBYX图27图28轨迹21如图28，ABF1的重心的轨迹是一双曲线，其方程为。1932ACBYX轨迹22如图29，过抛物线的焦点F作弦AB，则弦AB的中点M的轨PXY2迹是以F为顶点的抛物线，其方程为图29图30图31如图3031，若在弦AB上任取一点P，则点P的轨迹并且当点P接近中点M时，P点轨迹接近中点M的轨迹抛物线，当点P接近点A或B时，P点轨迹接近原抛物线轨迹23如图32，OAB的重心G的轨迹是一条抛物线，其方程为342PXY。轨迹24如图33，K是抛物线的准线与X轴的交点，KAB的重心的轨迹是一条抛物图32图33图34线，其方程为。6342PXY如图34，通过探索还可得到抛物线有关的一些性质如以AB为直径的圆与准线相切；连接OA、OB两条直线，分别交抛物线的准线于M、N两点，则MFN,90并且AM、BN都垂直于准线。教师“今天的问题同学们研究得很好。几何画板可以称这数学实验室。通过这个实验室，同学们可以学会怎样去探索、发现问题和解决问题。象上面的轨迹问题，找到了主动点与被动点之间的关系，问题就不难解。下面的这个问题，同学们课后去加以研究，下周将你们研究的结果展示出来问题如图35所示，过椭圆的左顶点A1作两条互相垂直的弦A1A、A1B。对于弦AB提出一些问题并加以解决。例如弦AB是否经过一个定点；弦AB上中点的轨迹问题；过A1或O点作弦AB的垂线，垂足的轨迹问题；A1AB的重心、外心、内心、垂心等的轨迹问题；A2AB的重心、外心、内心、垂心等的轨迹问题更一般的问题如果在椭圆上取其它点M，过点M作两条互相垂直的弦MA、MB。对弦AB提出一些问题并加以解决。同样，对双曲线、抛物线也提出类似的问题。有关结果在下周展示出来。”课后对学生进行了调查。以下是一些学生的感受“今天这堂课收获很大。以往很多想不通的知其然而不知其所以然问题，通过几何画板的动态显示，现在弄清楚了。”“今天这堂课真有意思。通过几何画板这个工具，不仅掌握了如何研究问题，图35同时也知道了如何去发现问题。”“通过这堂课，我想我们平时做的很多数学题大概就是这样被发现的。”“我觉得老师要我们去发现问题、提出问题这种教学方式对我们很有益处。这比题海战术、高强度训练的教学方式要好得多。不仅掌握了数学知识，而且让我们知道了知识的产生过程。”记得我国著名数学教育家张奠宙教授说过，在数学方面的研究性学习，不必将问题搞得太大，可以让学生对某个小问题进行讨论，进行深入