高一数学常见分割的几种类型

高一数学常见分割的几种类型http:/www.DearEDU.com说明：本文适合八年级四边形知识延伸分割问题通常是先给出一个图形（这个图形可能是规则的，也有可能不规则），然后让你用直线、线段等把该图形分割成面积相同、形状相同的几部分。解决这类问题的时候可以借助对称的性质、面积公式等进行分割。一 运用对称的性质分割 例1：今有一块土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路将这块土地分成形状相同且面积相等的四部分，若道路的宽度可以忽略不计，请你设计三种不同的筑路方案。若修筑三条道路你能再设计出三种方案吗？ 分析：若用两条直线，由于正方形既是一个轴对称图形又是中心对称图形，若从轴对称的角度考虑：我们可以连结两条对角线，或者连结对边中点；若从中心对称的角度考虑：我们还可以过对称中心（对角线的交点）作两条互相垂直的直线。 若用三条直线分割，答案就丰富多彩了，但无论怎么变，由于分割形成的形状相同，面积相同，因此一般都是从对称的角度来考虑（比如图（3）、图（4）、图（5）。二 运用面积公式分割例2：(2005年河南课改卷)某班研究性学习小组再研究用一条直线等分几何图形的面积是，发现如下事实：（一）如图（1），对于三角形ABC，取BC边中点D，过A、D两点画一条直线即可。理由：ABD与ADC等底等高，SABDSADC。（二）如图（2），对于平行四边形ABCD，连接两对角线AC、BD交于点O过O点任作一直线MN即可。（不妨设与AD、BC分别交于点M、N）。理由：四边形ABCD是平行四边形，AOCO，ADBC，MAONCO。问题：请你研究一下，对于梯形ABCD，怎样画出等分其面积的直线，找出三种不同的分法，写出你的画法并说明理由。（相同的理由的分法只能算一种）分析：思路一：第一个图，由于所给的梯形是一个一般梯形，由等分三角形和平行四边形的面积方法得出启示用梯形的面积公式来分割，取上下底的中点，这样所截得的两个小梯形的面积的上下底均为原来梯形上下底的一半，从而将梯形面积一分为二。思路二：第三个图，梯形还有一个面积公式是在；中位线高，我们只需找出中位线的中点，将中位线一分为二，过中位线的中点作一条直线截上下底就行了。思路三：第二个图，将梯形转化成等积的平行四边形，然后运用平行四边形分割法分割。方法是过AB的中点作CD的平行线。思路四：第四个图，将梯形转化成等积的三角形，然后运用三角形分割法分割。方法是先取CD的中点O，连结AO并延长交BC的延长线于点F，经过A与BF的中点的直线就是所求的直线。三、借助计算分割例3：龙栖山自然风景区有一块长12米，宽8米的矩形花圃，喷水嘴安装在举行对角线的交点P上（如图1），现计划从点P引三条射线把花圃分成面积相等的三个部分，分别种不同的花（不考虑各部分之间的空隙）。请你通过计算，形成多个设计方案，并根据你的方案设计图答出三条与矩形有关边交点位置。分析：这道题所涉及的知识并不难，但是它不同于常规题，它为我们展示了一个很广阔的思维空间，符合条件要求的答案是丰富多彩的。思路一：连接矩形两条对角线，交点就是P，有“等底等高的两个三角形面积相等”可知，ABP、BCP、CDP、DAP这四个三角形面积相等；再将每条矩形的边三等分，各分点与点P连结，构成12个小三角形，可知这些小三角形的面积都相等，每相邻的四个小三角形面积之和均为矩形面积的，这样可获知如图的四种方案。计算略。思路二：如下图，S矩形ABCD12896，S矩形ABCD32。连结PA，作PGDC于G，则S梯形APGD(12+6)43632。可在AD取点E，在BC上取点F，设EDFCx米，要使S梯形EPGDS梯形FPGC32平方米，必须满足(x+6)432 ，解得x10，即EDFC10米。得如图（a）。同理可作后三个图形。解略.例4：如图（1），O是矩形ABCD的对角线的交点，过点O作一直线分别交BC、AD与点M、N。（1）求证：S四边形ABMNS四边形CDMN（2）现有如图（2）所示的方角铁皮，工人师傅想用一条直线将其分割成面积相等的两部分，请你帮助工人师傅设计三种不同的分割方案。（在图（2）、图（3）、图（4）中分别画出一条直线，不写作法，保留作图痕迹）分析：思路1：由轴对称的性质不难作出第一个图，即连结BE。思路2：通过计算可以得知整个图形的面积为12，我们只需截出一个面积为6的图形就可以把图形面积一分为二。如果截出的是矩形，如图（3）