数列极限的概念ppt课件

第二章数列极限,2.1数列极限的概念,2.2收敛数列的性质,2.3数列极限存在的条件,1,2.1数列极限的概念,一、概念的引入,二、数列的定义,三、数列的极限,四、应用数列极限的定义证明数列极限的方法,2,一、概念的引入,引例,1如何用渐近的方法求圆的面积S？用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S.,A1,A2,A3,A1表示圆内接正6边形面积,A2表示圆内接正12边形面积,A3表示圆内接正24边形面积,An表示圆内接正62n-1边形面积,.,显然n越大,An越接近于S.,因此,需要考虑当n时,An的变化趋势.,3,2、截丈问题：,“一尺之棰，日截其半，万世不竭”,4,二、数列的定义,例如,5,注意：,1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,2.数列是整标函数,6,数列极限来自实践，它有丰富的实际背景.我们的祖先很早就对数列进行了研究，早在战国时期就有了极限的概念,例1战国时代哲学家庄周所著的庄子.天下篇引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也就是说一根一尺长的木棒，每天截去一半，这样的过程可以一直无限制的进行下去。将每天截后的木棒排成一列,如图所示,三、数列的极限,7,（c11(k)）其长度组成的数列为,随着n无限的增加,木棒的长度无限的趋近于零。,8,例如,当n无限增大时,如果数列xn的一般项xn无限接近于常数a,则常数a称为数列xn的极限,或称数列xn收敛a,记为,数列极限的通俗定义,9,三、数列的极限,10,三、数列的极限,11,三、数列的极限,12,三、数列的极限,13,三、数列的极限,14,三、数列的极限,15,三、数列的极限,16,三、数列的极限,17,三、数列的极限,18,三、数列的极限,19,三、数列的极限,20,三、数列的极限,21,三、数列的极限,22,问题:,当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?,问题:,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.,通过上面演示实验的观察:,23,24,当n无限增大时,xn无限接近于a.当n无限增大时,|xn-a|无限接近于0.当n无限增大时,|xn-a|可以任意小,要多小就能有多小.当n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先给定的任意小的正数.,分析,因此,如果n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先给定的任意小的正数,则当n无限增大时,xn无限接近于常数a.,当n无限增大时,如果数列xn的一般项xn无限接近于常数a,则数列xn收敛a.,下页,25,数列极限的精确定义,设xn为一数列如果存在常数a对于任意给定的正数e总存在正整数N使得当nN时不等式|xna|N,目的：,NO,有些点在条形域外面！,数列极限的演示,33,N,数列极限的演示,e越来越小，N越来越大！,34,数列极限的定义未给出求极限的方法.,例1,证,所以,注意：,35,分析:,例1,证明,下页,0,NN当nN时有|xna|.,36,利用定义验证数列极限，有时遇到的不等式|xna|不易考虑，往往采用把|xna|放大的方法。若能放大到较简单的式子，就较容易从一个比较简单的不等式去寻找项数指标N,放大的原则：放大后的式子较简单放大后的式子以0为极限,例2证明,证明,37,则当nN时，有,38,例3.证明分析，要使（为简化，限定n只要证.当nN时有由定义适当予先限定nn。是允许的！但最后取N时要保证nn。,39,.例4.证明（K为正实数）证：由于所以对任意0，取N=,当nN时,便有,40,例5,证,所以,说明:常数列的极限等于同一常数.,小结:,用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.,41,例6,证,42,例7,证,43,由上面数列极限的证明可总结出数列极限证明的步骤：,2适当放大,，通常放大成,的形式,，求出需要的,1化简,3解,总结用定义求极限或证明极限的关键是适当放大不等式，关键的追求有两点，一是把隐性表达式变成显性表达式，在重锁迷雾中看清庐山真面目，二是抓住主要矛盾，舍去次要矛盾；要取舍合理，不能放大得过份。,44,四收敛的否定:,数列,发散,45,五数列极限的记註:,1满足条件“”的数列:。2,改变或去掉数列的有限项,不影响数列的收敛性和极限.重排不改变数列敛散性:,46,3数列极限的等价定义:,对,对任正整数,47,六无穷小数列:,定义极限为0的数列称为无穷小量（无穷小量是指一个极限概念，趋向常数0）,命题1.,的极限为n,是无穷小量.,变量有极限,的充要条件为它可分解为,加一个无穷小量。,命题2,无穷小量加