高等数学(同济第六版)第一章.绪论、第一节ppt课件

.,绪论,.,、数学是什么？,蜂巢：由一个个正六边形组成。为什么？,因为蜜蜂懂得:只有这样才能用最少的建筑材料营造最大的居住空间。,.,一条柔软的绳子两端固定，使其自然下垂，这条绳子形成什么样的曲线？,为什么？,因为只有这样才能使绳子的总位能最小，从而使绳子最稳定！,悬链线,.,光的传播：,反射定律：,折射定律：,为什么？,因为光懂得:只有这样才能使传播时的用时最少！,数学是什么？,.,（1）上帝是按数学的法则创造世界的，数学的规律是宇宙格局的精髓，数学是开启宇宙奥妙之门的钥匙。,（2）数学是一种语言，是一切科学的共同语言伽利略：“展现在我们眼前的宇宙像一本用数学语言写成的大书，如不掌握数学符号语言，就像在黑暗的迷宫里游荡，什么也看不清。”爱因斯坦在研究广义相对论时遇到了难题，他求助于研究数学的朋友格洛斯曼，后者将黎曼关于弯曲空间的研究工作告诉了他，才使广义相对论的研究得以继续。,.,（3）数学是一种工具、一种思维的工具诺贝尔化学奖获得者哈特曼的晶体结构研究：哈特曼在获得诺贝尔奖后说过：“其实我这一生只学过一门化学，那就是大学一年级时所学的的化学。”然而哈特曼却用数学解决了困扰许多化学家40多年的难题！诺贝尔经济学奖获得者阿洛的一般均衡模型：哈佛大学的一位数学教授看了阿洛的论文后说：“他用的数学很基本，我们哈佛一年级的学生就能完成”。然而阿洛用的是什么样的数学这一点并不重要，重要的是他将数学与经济学成功的相结合，用数学建立了重要的经济学模型！,.,从公元前3世纪Euclid的几何原本起到17世纪，称为初等数学时期。又称常量数学时期。主要研究对象：1.匀速的运动（速度不变）；2.匀加速的运动（速度均匀变化）；3.直边图形（不弯曲）；4.圆弧边图形（均匀弯曲）；5.有限次四则运算。两大分支：1.几何学；2.代数学。,二、什么是高等数学？,.,变量数学和近代数学时期：,伟大功绩：实现了几何与代数间的一一对应。,1.点(几何基本元素)与有序数组(代数基本元素),（静态对应）,2.动点的轨迹(几何基本元素)与二元方程(代数基本元素),（动态对应）,法国数学家Descartes引进了直角坐标系。,Newton和Leibniz各自独立的创造了微积分,Newton应用微积分的方法证明了,的一一对应。,的一一对应。,.,Kepler行星运动三定律：1.行星以椭圆轨道绕太阳旋转，太阳在椭圆的一个焦点上。2.在相同的时间里，行星的向径扫过相同的面积.3.行星公转周期的平方与椭圆轨道长半轴的立方比是常数.Newton进一步指出：这些定律是能量守恒、角动能守恒的具体表现形式。Leibniz德国数学家,实现了微积分内容与形式的完美统一。微积分的方法迅速的在天文学、力学、物理学和工程技术中被广泛应用。,高等数学,以微积分为主要内容的学科,.,微分学,积分学,无穷级数,微分方程,一元函数微分学,多元函数微分学,一元函数积分学,多元函数积分学,高等数学,空间解析几何与向量代数,同济版的教材的基本结构,.,微积分的基本方法：微元分析法,例1Galileo通过实验确立了,自由落体运动规律：,问：在时刻t时，落体的速度v(t)是什么？,时间：,路程：,三、微积分的基本思想和方法,.,速度：,非匀速问题,匀速问题,近似解,平均速度：,.,例2计算由y=0,x=1,所围成的曲边形的面积。,将区间0,1n等分，,用小矩形面积之和代替曲边形的面积,.,曲边问题,直边问题,近似解,极限概念是微积分的“源”，先直观上认识一下极限：,.,数列极限的直观定义,若当n无限增大时,数列xn对应的项无限接近于常数a,则称常数a为数列xn的极限,记为:,（其中p为大于零的常数）,（其中C为常数）,（其中q为常数,|q|0时,当x0时,.,2、函数的几种特性,（1）函数的有界性:,设函数f(x)的定义域为D，,定义：,则称函数f(x)在X上有界，,否则称无界。,则称函数f(x)在X上有上界。,有下界。,函数f(x)在X上有界的充要条件是：,f(x)在X上既有上界又有下界.,.,例3证明,有界,证,有界,.,（2）函数的单调性:,设函数f(x)的定义域为D，区间,若对区间I上的任意两点x1与x2,当x1x2时，,恒有f(x1)f(x2)，,称y=f(x)在区间I上是单调增加的.,减少,.,（3）函数的奇偶性,（4）函数的周期性,例4证明：定义在R上的任意函数，都可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和。,证,奇函数,偶函数,.,3.反函数与复合函数,（1）反函数,定义：,设函数y=f(x)xX,若对,存在唯一的xX,使y=f(x)成立，,则在f(X)中,定义了一个函数,称为y=f(x)的反函数.,.,例5求,的反函数,解,反函数,记,称为双曲正弦函数，,记,称为反双曲正弦函数，,.,定理1设函数y=f(x)在X上单调增(减),则设y=f(x)必存在反函数,且它在f(X)上也是单调增(减).,.,（2）复合函数,定义:,函数u=g(x),设函数y=f(u)的定义域为,的定义域为D，,则称函数y=f(g(x),为由函数y=f(u)和u=g(x),构成的复合函数,若存在,定义域(-1,1),.,例6,解,当x0时，,当时，,.,当时，,综上所述,.,三、初等函数,（1）幂函数,（2）指数函数,（3）对数函数,.,（4）三角函数,常用公式：平方公式、倍角公式、半角公式、,.,积化和差公式:,.,（5）反三角函数,定义域：-1,1,值域：,单增函数，奇函数。,（反正弦函数）,如：,若,则,.,（反余弦函数）,定义域：-1,1,值域：,单减函数,.,定义域：,值域：,单增函数，奇函数。,（反正切函数）,.,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.,由常数和基本初等函数,经过有限次四则运算,和有限次函数的复合