高中数学 1.1.1 命题及其关系课件 新人教A版选修21.ppt

第一章常用逻辑用语1 1命题及其关系1 1 1命题 符号 判断真假 真 假 条件 结论 命题及其相关概念 思考 陈述句一定是命题吗 提示 不一定 命题虽然是陈述句 但陈述句不一定是命题 如 瑞雪兆丰年 这句话表达的是一种可能性 但不具有确定性 所以不是命题 知识点拨 对命题概念的两点认识 1 命题是对一个结论的判断 所谓判断 就是肯定一个事物是什么或不是什么 不能含糊不清 命题的实质是对某一前提条件下相应结论的一个判断 这个判断可能正确 也可能错误 所以不能认为只有真命题才是命题而假命题不是命题 2 命题都由条件和结论构成 任何命题都有条件和结论 数学中 一些命题表面上看不具有 若p 则q 的形式 如 对顶角相等 但是适当改变叙述方式 就可以写成 若p 则q 的形式 即 如果两个角是对顶角 那么这两个角相等 这样 命题的条件和结论就十分清楚了 一般地 在命题中 已知的事项为 条件 由已知推出的事项为 结论 类型一命题的概念 典型例题 1 下列语句不是命题的是 a 0是自然数b 正数大于负数c 正弦函数是偶函数d 温度是向量吗 2 指出下列语句中哪些是命题 哪些不是命题 1 若a b 则ac bc 2 若ac bc 则a b 3 x2 3x 2 0 4 素数都不是偶数吗 5 两条平行直线的斜率相等 6 平行的两个向量方向相同 解题探究 1 命题必须具备哪两个条件 2 你知道一般有哪些语句不是命题吗 探究提示 1 命题必须具备两个条件 陈述句 能判断为真或为假 2 并非所有的语句都是命题 一般地 对于疑问句 祈使句 感叹句等都不是命题 解析 1 选d 温度是向量吗 是疑问句 不是命题 其余的都是命题 2 根据命题的概念 1 2 5 6 是命题 而 3 是一个含有变量的不等式 故不能判断真假 4 是疑问句不是命题 拓展提升 判断命题的依据及注意点 1 依据 命题的概念是判断一个语句是否为命题的依据 2 注意点 一般地 能判断真假的陈述句是命题 而疑问句 祈使句 感叹句不是命题 一个命题不是真命题就是假命题 不能无法判断真假 变式训练 判断下列语句哪些是命题 1 若a b 则ac bc 2 x2 1 2x 3 空集是任何集合的真子集 4 一个整数不是偶数就是奇数 5 正弦函数的图象关于原点对称 解析 2 是含有变量的不等式 当x 1时 不等式不成立 当x 1时 不等式成立 由于不能判断真假 所以不是命题 其余4个都是陈述句 且分别能判断真假 所以 1 3 4 5 是命题 类型二命题的构成形式 典型例题 1 命题 若a是偶数 则a能被2整除 的条件为 结论为 2 把下列命题改写为 若p 则q 的形式 指出条件和结论 1 直角三角形的两个锐角互余 2 正弦值相等的两个角的终边相同 解题探究 1 对于命题 若p 则q 形式 如何区分其条件和结论 2 要确定命题的条件和结论 关键是把命题转化为什么形式 探究提示 1 若 后面的语句p为条件 则 后面的语句q为结论 2 关键把命题改写为 若p 则q 的形式 p为条件 q为结论 解析 1 命题 若a是偶数 则a能被2整除 的条件为 a是偶数 结论为 a能被2整除 答案 a是偶数a能被2整除2 1 若一个三角形是直角三角形 则它的两个锐角互余 条件是 一个三角形是直角三角形 结论是 两个锐角互余 2 若两个角的正弦值相等 则它们的终边相同 条件是 两个角的正弦值相等 结论是 它们的终边相同 互动探究 把题2中的命题改为以下形式 1 两个锐角互余的三角形是直角三角形 2 终边相同的两个角的正弦值相等 求解的问题不变 结论如何 解析 1 若一个三角形的两个锐角互余 则这个三角形是直角三角形 条件是 一个三角形的两个锐角互余 结论是 这个三角形是直角三角形 2 若两个角的终边相同 则它们的正弦值相等 条件是 两个角的终边相同 结论是 它们的正弦值相等 拓展提升 1 将命题改写为 若p 则q 形式的方法及原则 2 命题改写中的注意事项 若p 则q 这种形式是数学中命题的基本结构形式 也有一些命题的叙述比较简洁 并不是以 若p 则q 这种形式给出的 这时 首先要把这个命题补充完整 然后确定命题的条件和结论 类型三真命题与假命题 典型例题 1 2012 四川高考 下列命题正确的是 a 若两条直线和同一个平面所成的角相等 则这两条直线平行b 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等 则这两个平面平行c 若一条直线平行于两个相交平面 则这条直线与这两个平面的交线平行d 若两个平面都垂直于第三个平面 则这两个平面平行 2 正数的倒数仍是正数 是命题 填真 假 解题探究 1 判断命题真假的根据是什么 2 什么是真命题 什么是假命题 探究提示 1 真命题是在具备条件p的前提下 结论q一定成立 假命题是在具备条件p的前提下 结论q不一定成立或一定不成立 2 判断为真的命题为真命题 判断为假的命题为假命题 解析 1 选c 对于选项a 以圆锥为例 母线和底面所成的角相等 而母线所在的直线不平行 对于选项b 若一个平面内有三个点 共线或分别在另一个平面的两侧 到另一个平面的距离相等 这两个平面可能相交 对于选项c 由线面平行的性质和判定定理 若一条直线平行于两个相交平面 则这条直线与这两个平面的交线平行 是真命题 对于选项d 结合教室内的相邻墙面和水平地面垂直可知 若两个平面都垂直于第三个平面 则这两个平面平行是假命题 2 非零实数与其倒数的符号相同 所以 正数的倒数仍是正数 是真命题 答案 真 拓展提升 命题真假判断的四种常用方法方法一 对于常见命题直接判断 方法二 根据已学过的定义 公理 定理证明 方法三 根据已知的正确结论推证 方法四 要说明一个命题是假命题 只要举出在条件具备的情况下 结论不成立的例子即可 变式训练 1 2013 天津高考 已知下列三个命题 若一个球的半径缩小到原来的则其体积缩小到原来的 若两组数据的平均数相等 则它们的标准差也相等 直线x y 1 0与圆x2 y2 相切 其中真命题的序号是 a b c d 2 常数列是等差数列 是命题 常数列是等比数列 是命题 填真 假 解析 1 选c 命题 由球的体积公式可知 当一个球的半径缩小到原来的则其体积缩小到原来的正确 命题 两组数据的平均数相等 如果其离散程度不同 则它们的标准差也不相等 故该命题错误 命题 直线x y 1 0到圆心 0 0 的距离与圆x2 y2 的半径相等 故直线与圆相切 该命题正确 2 常数列是等差数列 是真命题 常数列是等比数列 是假命题 答案 真假 易错误区 忽视命题的条件以及平面向量的运算而致误 典例 设p 平面向量a b c互不共线 q表示下列不同的结论 1 a b a b 2 a b a b 3 a b c a c b与a垂直 4 a b c a b c 其中 使命题 若p 则q 为真命题的所有序号是 解析 由于p 平面向量a b c互不共线 则必有 a b a b 1 正确 由于a b a b cos a b 2 不正确 由于 a b c a c b a a b c a a c b a 0 所以 a b c a c b与a垂直 3 正确 由于平面向量的数量积不满足结合律 且a b c互不共线 故 a b c a b c 4 不正确 综上可知真命题的序号是 1 3 答案 1 3 误区警示 防范措施 1 注意命题的条件与结论若一个命题具备所给的条件 一定能得到所给的结论 它就是真命题 若一个命题具备所给的条件 不一定能或一定不能得到所给的结论 那么就是假命题 如本例命题的条件是三个互不共线的平面向量 故首先都不是零向量 这是判断命题的结论是否成立的重要前提 2 平面向量的概念与运算要明确平面向量的加法运算 减法运算 数乘运算统称为线性运算 结果仍是向量 平面向量的数量积运算 结果是实数 且三个平面向量不满足结合律 要把向量的运算与实数的运算区分开来 尤其是与实数运算的不同 这是避免判断命题真假出错的关键 如本例 4 是错误的 数量积不满足结合律 类题试解 在上填上适当的语句 使其成为真命题 1 若 则a b 0 2 若a b 0 则 解析 1 若a 0 b 0 或a b 则a b 0 2 若a b 0 则a 0或b 0或a b 答案 1 a 0 b 0 或a b 填一种情形即可 2 a 0或b 0或a b 三种情形必须填全面 1 红豆生南国 春来发几枝 愿君多采撷 此物最相思 这是唐代诗人王维的 相思 诗 在这4句诗中 可作为命题的诗句为 a 红豆生南国b 春来发几枝c 愿君多采撷d 此物最相思 解析 选a 因为命题是能判断真假的陈述句 首先我们要凭借语文知识判断这4句诗哪句是陈述句 然后再看能否判定其真假 红豆生南国 是陈述句 意思是 红豆生长在中国南方 这在唐代是事实 故本语句是命题 春来发几枝 中的 几 是概数 无法判断其真假 故不是命题 愿君多采撷 是祈使句 所以不是命题 此物最相思 不能判断真假 故不是命题 2 下列为真命题的是 a 2014不是偶数b 0和负数没有对数c 正比例函数是增函数d 无理数的平方是有理数 解析 选b 2014是偶数 0和负数没有对数 正比例函数不一定是增函数 无理数 的平方是无理数 3 下列命题是真命题的是 a 若 则x yb 若x2 1 则x 1c 若x y 则d 若x y 则x2 y2 解析 选a a中两边乘以xy 得x y b中 若x2 1 则x 1 故不正确 c中 当x y均为负数时 不成立 d中 如x 2 y 1 则结论不成立 4 命题 不等式 0与 x 1 x 2 0同解 是命题 填真 假 解析 不等式 0与 x 1 x 2 0的解集都是 x 1 x 2 所以是真命题 答案 真 5 命题 等腰三角形的两个底角相等 的条件为 结论为 解析 命题 等腰三角形的两个底角相等 的条件为 等