江西省赣州市2015-2016年高二下期末数学试卷(文)含答案解析

第 1 页（共 17 页） 2015年江西省赣州市高二（下）期末数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1复数 （ i 为虚数单位）的共轭复数为（ ） A B C D 2用反证法证明命题： “三角形的内角中至少有一个不大于 60 度 ”时，假设正确的是（ ） A假设三内角都不大于 60 度 B假设三内角都大于 60 度 C假设三内角至多有一个大于 60 度 D假设三内角至多有两个大于 60 度 3已知变量 x， y 的取值如表所示： x 4 5 6 y 8 6 7 如果 y 与 x 线性相关，且线性回归方程为 ，则 的值为（ ） A 1 B C D 4若 P= + ， Q= + （ a 0），则 P， Q 的大小关系是（ ） A P Q B P=Q C P Q D由 a 的取值确定 5设点 P 对应 的复数为 3+3i，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点 ） A（ 3， ） B（ 3， ） C（ 3 ， ） D（ 3 ， ） 6在极坐标系中， 点（ 2， ）到直线 （ =6 的距离为（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 7下列不等式一定成立的是（ ） A 2|x|（ x R） B ） x 0） C 2（ x k Z） D 1（ x R） 8极坐标方程 示的曲线为（ ） A一条射线和一个圆 B两条直线 C一条直线和一个圆 D一个圆 9执行如图所示的程序框图，若输入 n=8，则输出 S=（ ） 第 2 页（共 17 页） A B C D 10设 n N*， f（ n） =1+ + + ，计算知 f（ 2） = ， f（ 4） 2， f（ 8） ， f（ 16） 3， f（ 32） ，由此猜测（ ） A f（ 2n） B f（ C f（ 2n） D以上都不对 11已知 x 0， y 0，若 1 2， 1 4，则 取值范围是（ ） A 1， 5 B 1， 4 C（ 2， 6） D（ 0， 5） 12对于大于 1 的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下方式的 “分裂 ”23=3+5， 33=7+9+11，43=13+15+17+19， ，仿此，若 “分裂数 ”中有一个是 59，则 m 的值为（ ） A 6 B 7 C 8 D 9 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分） 13若直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），则直线 l 倾斜角的余弦值为 14（坐标系与参数方程选做题）已知在极坐标系下，点 ， ， O 是极点，则 面积等于 15若不等式 |a 2|+1 对于一切非零实数 x 均成立，则实数 a 的取值范围是 第 3 页（共 17 页） 16在一组样本数据（ （ （ 散点图中，若所有样本点（ xi， i=1， 2， ， 6）都在曲线 y=1 附近波动经计算 1， 3， 1，则实数 b 的值为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17复数 z=（ m+6） +（ 2m 15） i（ m R），求满足下列条件的 m 的值 （ 1） z 是纯虚数； （ 2）在复平面内对应的点位于第三象限 18如图（ 1），在三角形 ， D 类比该命题，如图（ 2），三棱锥 A ， 面 A 点在三角形 在平面内的射影为 M，则有什么结论？命题是否是真命题 19在平面直角坐标系 ，直线 l 的参数方程为 （ k 为参数），以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，与直角坐标系 相同的长度单位，建立极坐标系圆 =2 （ ）求圆 C 的直角坐标方程； （ ）设圆 C 与直线 l 交于点 A， B，若点 M 的坐标为（ 2， 3）求 |值 20某工厂有 25 周岁 以上（含 25 周岁）的工人 300 名， 25 周岁以下的工人 200 名为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了 100 名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在 “25 周岁以上（含 25 周岁） ”和 “25周岁以下 ”分为两组，并将两组工人的日平均生产件数分成 5 组： 50， 60）， 60， 70）， 70，80）， 80， 90）， 90， 100加以统计，得到如图所示的频率分布直方图 （ 1）从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 名，求至少抽到一名 25 周岁以下的工人的概 率 （ 2）规定日平均生产件数不少于 80 件者为 “生产能手 ”，请你根据已知条件作出 2 2 列联表，并判断是否有 90%以上的把握认为 “生产能手与工人的年龄有关 ”？ 第 4 页（共 17 页） 附表及公示 P（ k） k 2= 21已知函数 f（ x） =|x 2| |x+1| （ 1）解不等式 f（ x） 1 （ 2）当 x 0 时 ，函数 g（ x） = （ a 0）的最小值总大于函数 f（ x），试求实数a 的取值范围 22在平面直角坐标系 以原点 O 为极点以 x 轴为正半轴为极轴，与直角坐标系 知曲线 C 的极坐标方程为 2 4 ） +6=0 （ ）求曲线 C 的普通方程； （ ）设点 P（ x， y）是曲线 C 上任意一点，求 最大值和最小值 第 5 页（共 17 页） 2015年江西省赣州市高二（下）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1复数 （ i 为虚数单位）的共轭复数为（ ） A B C D 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 先对复数进行化简运算，由共轭复数的定义可得答案 【解答】 解： = = ， 复数 （ i 为虚数单位）的共轭复数为 ， 故选： B 2用反证法证明 命题： “三角形的内角中至少有一个不大于 60 度 ”时，假设正确的是（ ） A假设三内角都不大于 60 度 B假设三内角都大于 60 度 C假设三内角至多有一个大于 60 度 D假设三内角至多有两个大于 60 度 【考点】 反证法与放缩法 【分析】 一些正面词语的否定： “是 ”的否定： “不是 ”； “能 ”的否定： “不能 ”； “都是 ”的否定：“不都是 ”； “至多有一个 ”的否定： “至少有两个 ”； “至少有一个 ”的否定： “一个也没有 ”； “是至多有 n 个 ”的否定： “至少有 n+1 个 ”； “任意的 ”的否定： “某个 ”； “任意两个 ”的否定： “某两个 ”； “所有的 ”的否定： “某些 ” 【解答】 解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定， “至少有一个 ”的否定： “一个也没有 ”；即 “三内角都大于 60 度 ” 故选 B 3已知变量 x， y 的取值如表所示： x 4 5 6 y 8 6 7 如果 y 与 x 线性相关，且线性回归方程为 ，则 的值为（ ） A 1 B C D 【考点】 线性回归方程 第 6 页（共 17 页） 【分析】 根据所给的三组数据，求出这组数据的平均数，得到这组数据的样本中心点，根据线性回归直线一定过样本中心点，把样本中心点代入所给的方程，得到 的值 【解答】 解：根据所给的三对数据，得到 = =5， = =7， 这组数据的样本中心点是（ 5， 7） 线性回归直线的方程一定过样本中心点， 7=5 +2， =1 故选： A 4若 P= + ， Q= + （ a 0），则 P， Q 的大小关系是（ ） A P Q B P=Q C P Q D由 a 的取值确定 【考点】 分析法和综合法 【分析】 本题考查的知识点是证明的方法，观察待证明的两个式子 P= + ， Q=+ ，很难找到由已知到未知的切入点，故我们可以 用分析法来证明 【解答】 解： 要证 P Q，只要证 只要证： 2a+7+2 2a+7+2 ， 只要证： a a+12， 只要证： 0 12， 0 12 成立， P Q 成立 故选 C 5设点 P 对应的复数为 3+3i，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点 ） A（ 3， ） B（ 3， ） C（ 3 ， ） D（ 3 ， ） 【考点】 复数的代数表示法及其几何意义；点的极坐标和直角坐标的互化 【分析】 根据极坐标的定义先求出极坐标的轴长，后求出 P 点的角度即可 【解答】 解：复数对应点 P（ 3， 3）； 极轴长为： = =3 ， 所以有： ， 解得 = ， 故选： C 第 7 页（共 17 页） 6在极坐标系中，点（ 2， ）到直线 （ =6 的距离为（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 【考点】 简单曲线的极坐标 方程 【分析】 把点的坐标与极坐标方程分别化为直角坐标及其方程，利用点到直线的距离公式即可得出 【解答】 解：点 P（ 2， ）化为： P ，即 P 直线 （ =6 化为直角坐标方程： x+ y 6=0， 点 P 到直线的距离 d= = =1 故选： D 7下列不等式一定成立的是（ ） A 2|x|（ x R） B ） x 0） C 2（ x k Z） D 1（ x R） 【考点】 基本不等式 【分析】 由重要不等 式 a2+2可判断 A 一定成立；取 x= ，计算可判断 B 不一定成立；举 x= 时，计算判断 C 不一定成立；取 x=0，计算即可判断 D 不一定成立 【解答】 解：对于 A， 2|x|，当且仅当 x= 1 时，取得等号故 A 一定成立； 对于 B，当 x= 时， ） = B 不一定成立； 对于 C，当 x= 时， ， 2，故 C 不一定成立； 对于 D，当 x=0 时， =1，故 D 不一定成立 故选： A 8极坐标方程 示的曲线为（ ） A一条射线和一个圆 B两条直线 C一条直线和一个圆 D一个圆 【考点】 简单曲线的极坐标方程 【分析】 将极坐标方程化为直角坐标方程，就可以得出结论 【解答】 解：极坐标方程 化为： 或 =4 或 x2+4y=0 极坐标方程 示的曲线为一条直线和一个圆 故选 C 第 8 页（共 17 页） 9执行如图所示的程序框图，若输入 n=8，则输出 S=（ ） A B C D 【考点】 程序框图 【分析】 由已知中的程序框图及已知中输入 8，可得：进入循环的条件为 i 8，即 i=2， 4，6， 8，模拟程序的运行结果，即可得到输出的 S 值 【解答】 解：当 i=2 时， S=0+ = ， i=4； 当 i=4 时， S= + = ， i=6； 当 i=6 时， S= + = ， i=8； 当 i=8 时， S= + = ， i=10； 不满足循环的条件 i 8，退出循环，输出 S= 故选 A 第 9 页（共 17 页） 10设 n N*， f（ n） =1+ + + ，计算知 f（ 2） = ， f（ 4） 2， f（ 8） ， f（ 16） 3， f（ 32） ，由此猜测（ ） A f（ 2n） B f（ C f（ 2n） D以上都不对 【考点】 类比推理 【分析】 本题考查的知识点是归纳推理， 我们可以根据已知条件中的不等式 f（ 2） = ， f（ 4） 2， f（ 8） ， f（ 16） 3， f（ 32） ，分析不等式左边的自变量，及右边数的与项的关系，我们易得左边的自变量值为 2n，右边的分母都为 2，分子为 n+2，由此归纳推理后，不难等到第 n 个不等式 【解答】 解：由已知 f（ 2） =f（ 21） = ， f（ 4） =f（ 22） ， f（ 8） =f（ 23） ， f（ 16） =f（ 24） ， f（ 32） =f（ 25） ， 故猜测 f（ 2n） 故选 C 第 10 页（共 17 页） 11已知 x 0， y 0，若 1 2， 1 4，则 取值范围是（ ） A 1， 5 B 1， 4 C（ 2， 6） D（ 0， 5） 【考点】 不等式的基本性质；对数的运算性质 【分析】 由 1 4， 1 2，可得： 1 4， 1 2，而2 2m（ +n（ 利用 “待定系数法 ”即可得出 【解答】 解：由 1 4， 1 2，可得： 1 4， 1 2， 而 2 2m（ +n（ ， 解得 m= ， n= 2（ + （ 1 5， 故选： A 12对于大于 1 的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下方式的 “分裂 ”23=3+5， 33=7+9+11，43=13+15+17+19， ， 仿此，若 “分裂数 ”中有一个是 59，则 m 的值为（ ） A 6 B 7 C 8 D 9 【考点】 归纳推理 【分析】 由题意知， n 的三次方就是 n 个连续奇数相加，且从 2 开始，这些三次方的分解正好是从奇数 3 开始连续出现，由此规律即可找出 “分裂数 ”中有一个是 59 时， m 的值 【解答】 解：由题意，从 23 到 好用去从 3开始的连续奇数共 2+3+4+m=个， 59 是从 3 开始的第 29 个奇数 当 m=7 时，从 23 到 73，用去从 3 开始的连续奇数共 =27 个 当 m=8 时，从 23 到 83，用去从 3 开始的连续奇数共 =35 个 故 m=8 故选 C 第 11 页（共 17 页） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分） 13若直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），则直线 l 倾斜角的余弦值为 【考点】 参数方程化成普通方程 【分析】 设直线 l 倾斜角为 直线 l 的参数方程为 （ t 为参数）化为，可得 ，利用三角函数的定义即可得出 【解答】 解：设直线 l 倾斜角为 直线 l 的参数方程为 （ t 为参数）化为 ， 则 ， （ 0， ）， = 故答案为： 14（坐标系与参数方程选做题）已知在极坐标系下，点 ， ， O 是极点，则 面积等于 【考点】 点的极坐标和直角坐标的互化 【分析】 根据点的极坐标的意义 可得 ， ， ，由此求得 面积值 【解答】 解：在极坐标系下，点 ， ， O 是极点，则 ， ， = ， 面积等于 ， 故答案为 第 12 页（共 17 页） 15若不等式 |a 2|+1 对于一切非零实数 x 均成立，则实数 a 的取值范围是 （ 1，3） 【考点】 绝对值不等式的解法；基本不等式在最值问题中的应用 【分析】 由题意求出 的最小值，只要 |a 2|+1 小于最小值，即可满足题意，求出 【解答】 解： x 与 同号， （当且仅当 x= 1 时取 “=”） 2 |a 2|+1 |a 2| 1，解得 1 a 3 故答案为：（ 1， 3） 16在一组样本数据（ （ （ 散点图中，若所有样本点（ xi， i=1， 2， ， 6）都在曲线 y=1 附近波动经计算 1， 3， 1，则实数 b 的值为 【考点】 线性回归方程 【分析】 求出各对应点的坐标，代入曲线方程，可以求出实数 b 的值 【解答】 解：根据题意，把对应点的坐标代入曲线 y=1， y1=1， y2=1， y6=1， y1+y6=b（ + 6， 13=b 21 6， b= ， 故答案为： 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17复数 z=（ m+6） +（ 2m 15） i（ m R），求满足下列条件的 m 的值 （ 1） z 是纯虚数； （ 2）在复平面内对应的点位于第三象限 【考点】 复数的基本概念；复数的代数表 示法及其几何意义 【分析】 （ 1）利用纯虚数的定义和性质求解 （ 2）利用 z 在复平面内对应的点位于第三象限的性质求解 【解答】 解：（ 1）若 z 是纯虚数， 则 ， 解得 m= 2 （ 2）若 z 在复平面内对应的点位于第三象限， 第 13 页（共 17 页） 则 解得 3 m 2 18如图（ 1），在三角形 ， D 类比该命题，如图（ 2），三棱锥 A ， 面 若 A 点在三角形 在平面内的射影为 M，则有什么结论？命题是否是真命题 【考点】 四种命题的真假关系；类比推理 【分析】 利用类比推理，将平面中的线与空间中的面类比，得到类比结论 通过连接 到 到 到满足平面条件的三角形 用平面三角形的性质得证 【解答】 解：命题是：三棱锥 A ， 面 A 点在三角形 在平面内的射影为 M， 则有 S 一个真命题 证明如下： 在图（ 2）中，连接 延长交 E，连接 有 因为 面 以 又 以 M 于是 = =S 故有 S 9在平面直角坐标系 ，直线 l 的参数方程为 （ k 为参数），以原点 O 为极点，以 x 轴正半 轴为极轴，与直角坐标系 相同的长度单位，建立极坐标系圆 =2 （ ）求圆 C 的直角坐标方程； （ ）设圆 C 与直线 l 交于点 A， B，若点 M 的坐标为（ 2， 3）求 |值 【考点】 参数方程化成普通方程 【分析】 （ I）将极坐标方程两边同乘 ，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出圆 C 的直角坐标方程； （ 出直线 l 的标准参数方程，代入圆 C 的方程，利用根与系数的关系得出 |值 【解答】 解：（ ） =2 2=2 x2+y 圆 C 的直角坐标方程为 x2+2y=0，即 y 1） 2=1 第 14 页（共 17 页） （ ）直线 l 的标准参数方程为 （ t 为参数） 代入圆 C 的直角坐标方程，得 即 ， 设 A， B 对应的参数分别为 t1 |7 20某工厂有 25 周岁以上（含 25 周岁）的工人 300 名， 25 周岁 以下的工人 200 名为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了 100 名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在 “25 周岁以上（含 25 周岁） ”和 “25周岁以下 ”分为两组，并将两组工人的日平均生产件数分成 5 组： 50， 60）， 60， 70）， 70，80）， 80， 90）， 90， 100加以统计，得到如图所示的频率分布直方图 （ 1）从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 名，求至少抽到一名 25 周岁以下的工人的概率 （ 2）规定日平均生产件数不少于 80 件 者为 “生产能手 ”，请你根据已知条件作出 2 2 列联表，并判断是否有 90%以上的把握认为 “生产能手与工人的年龄有关 ”？ 附表及公示 P（ k） k 2= 【考点】 独立性检验的应用 【分析】 （ 1）由分层抽样的特点可得样本中有 25 周岁以上、下组工人人数，再由所对应的频率可得样本中日平均生产件数 不足 60 件的工人中， 25 周岁以上、下组工人的人数分别为3， 2，由古典概型的概率公式可得答案； （ 2）由频率分布直方图可得 “25 周岁以上组 ”中的生产能手的人数，以及 “25 周岁以下组 ”中的生产能手的人数，据此可得 2 2 列联表，可得 得结论 【解答】 解：（ 1）由已知可得，样本中有 25 周岁以上组工人 100 =60 名， 第 15 页（共 17 页） 25 周岁以下组工人 100 =40 名， 所以样本 中日平均生产件数不足 60 件的工人中， 25 周岁以上组工人有 60 （人）， 25 周岁以下组工人有 40 （人）， 故从中随机抽取 2 名工人所有可能的结果共 =10 种， 其中至少 1 名 “25 周岁以下组 ”工人的结果共 =7 种， 故所求的概率为： ； （ 2）由频率分布直方图可知：在抽取的 100 名工人中， “25 周岁以上组 ”中的生产能手有 60 5（人）， “25 周岁以下组 ”中的生产能手有