浙江省杭州市高一下期末数学试卷含答案解析

2014年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷 一、选择题（共 25 小题，每小题 2分，满分 55分） 1 函数 f（ x） = 的定义域是（ ） A 1， +） B（ 1， +） C（ 0， 1） D 0， 1 2 函数 f（ x） =xR 的一个对称中心是（ ） A（ ， 0） B（ ， 0） C（ ， 0） D（ ， 0） 3 设向量 =（ m， 2）（ m0）， =（ n， 1），若 ，则 =（ ） A B C 2 D 2 4 函数 f（ x） =x 2 的零点位于区间（ ） A（ 0， 1） B（ 1， 2） C（ 2， 3） D（ 3， 4） 5 已知幂函数 f（ x） =kR， R）的图象过点（ ， ），则 k+=（ ） A B 1 C D 2 6 在区间（ 1， 1）上单调递增且为奇函数的是（ ） A y=x+1） B y= y=x y=3x+ 若向量 = 2， | |=4， | |=1，则向量 ， 的夹角为（ ） A B C D 8 设函数 f（ x） =x2+aR，则（ ） A存在实数 a，使 f（ x）为偶函数 B存在实数 a，使 f（ x）为奇函数 C对于任意实数 a， f（ x）在（ 0， +）上单调递增 D对于任意实数 a， f（ x）在（ 0， +）上单调递减 9 若偶函数 f（ x）在区间（ ， 0上单调递减，且 f（ 7） =0，则不等式（ x 1） f（ x） 0 的解集是（ ） A（ ， 1） （ 1， +） B（ ， 7） （ 7， +） C（7， 1） （ 7， +） D（ 7， 1 （ 7， +） 10 函数 f（ x） =xR 的最大值为 ，则实数 a 的值 为（ ） A 2 B 2 C 2 D 11 函数 f（ x） =函数 g（ x） =2x 的图象的交点的个数是（ ） A 1 B 3 C 5 D 7 12 设 a=b=， c= 2，则（ ） A a b c B b a c C a c b D c b a 13 函数 y=图象可以由函数 y=图象经过下列哪种变 换得到（ ） A向右平移 B向右平移 C向左平移 D向左平移 14 函数 f（ x） =）的图象大致是（ ） A B C D 15 设函数 f（ x） = ， |x 2|，其中 a， b|= 若函数 y=f（ x） x1+x2+取值范围是（ ） A（ 2， 6 2 ） B（ 2， +1） C（ 4， 8 2 ） D （ 0， 4 2 ） 16 设 M 是 任意一点， N 为 一点且 ，则 +=（ ） A B C 1 D 17 计算： =（ ） A B C D 18 若函数 f（ x） =2x+1 在区间 a， a+2上的最小值为 4，则 a 的取值集合为（ ） A 3， 3 B 1， 3 C 3， 3 D 1， 3， 3 19 若不等式 |3 的解集为 x| 2x1，则实数 a=（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 20 如图，己知 | |=5， | |=3， 锐角， 分 N 为线段 中点，=x +y ，若点 P 在阴影部分（含边界）内，则在下列给出的关于 x、 y 的式子中，x0， y0； x y0； x y0； 5x 3y0； 3x 5y0满足题设条件的为（ ）A B C D 21 设不等式 4x m（ 4x+2x+1） 0 对于任意的 x0， 1恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ）A（ ， B C D ， +） 22 设 O 为 外心（三角形外接圆的心），若 = | |2，则 =（ ） A 1 B C 2 D 23 设函数 f（ x） = 若方程 f（ x） =1 有 3 个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A（ 1， +） B 1 （ 1， +） C（ ， 1） D（ ， 1） （ 1， +） 24 函数 的值域为（ ） A 1， B 1， C 1， D 1， 2 25 在 ， ，若 G， O 分别为 重心和外心，且 =6，则 形状是（ ） A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D上述三种情况都有可能 二、填空题（共 5小题，每小题 3分，满分 15分） 26 若函数 f（ x） =2x）（ 0）的最小正周期为 ，则 = 27 设 ，则 2 28 计算： 29 已知 A、 B、 C 是单位圆上三个互不相同的点，若 | |=| |，则 的最小值是 30 若函数 f（ x） = a 存在零点，则实数 a 的取值范围是 三、解答题（共 3小题，满分 30分） 31 已知向量 ， 如图所示 （ ）作出向量 2 （请保留作图痕迹）； （ ）若 | |=1， | |=2，且 与 的夹角为 45，求 与 的夹角的余弦值 32 设 是三角形的一个内角，且 ） = ） （ ）求 （ ）求函数 f（ x） =41 的最大值 33 设函数 f（ x） =（ x 2） |x| a|， a 0 （ ）当 a=3 时，求 f（ x）的单调递增区间； （ ）求 f（ x）在 3， 3上的最小值 2014年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 25 小题，每小题 2分，满分 55分） 1 函数 f（ x） = 的定义域是（ ） A 1， +） B（ 1， +） C（ 0， 1） D 0， 1 【考点】 函数的定义域及其 求法 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 根据函数成立的条件即可求函数的定义域 【解答】 解：要使函数有意义，则 x 10， 即 x1， 故函数的定义域为 1， +）， 故选： A 【点评】 本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件 2 函数 f（ x） =xR 的一个对称中心是（ ） A（ ， 0） B（ ， 0） C（ ， 0） D（ ， 0） 【考点】 正弦函数的图象 【专题】 三角函数的图像与性质 【分析】 由条件利用余弦函数的图象的对称性求得函数的对称中心，从而得出结论 【解答】 解：对于函数 f（ x） =xR，令 2x=kz， 求得 x= ，故函数的对称中心为（ ， 0）， kz， 故选： D 【点评】 本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题 3 设向量 =（ m， 2）（ m0）， =（ n， 1），若 ，则 =（ ） A B C 2 D 2 【考点】 平面向量共线（平行）的坐标表示 【专题】 计算题；平面向量及应用 【分析】 根据两向量平行的坐标表示，列出方程，求出 m 的值 【解答】 解： 向量 =（ m， 2）（ m0）， =（ n， 1）， 且 ， 1m 2n=0 = 故选： B 【点评】 本题考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题目 4 函数 f（ x） =x 2 的零点位于区间（ ） A（ 0， 1） B（ 1， 2） C（ 2， 3） D（ 3， 4） 【考点】 函数零点的判定定理 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 求导 函数，确定函数 f（ x） =x 2 单调增，再利用零点存在定理，即可求得结论 【解答】 解：求导函数，可得 f（ x） = +1， x 0， f（ x） 0， 函数 f（ x） =x 2 单调增 f（ 1） = 2= 1 0， f（ 2） =0 函数在（ 1， 2）上有唯一的零点 故选： B 【点评】 本题考查函数的零点，解题的关键是确定函数的单调性，利用零点存在定理进行判断 5 已知幂 函数 f（ x） =kR， R）的图象过点（ ， ），则 k+=（ ） A B 1 C D 2 【考点】 幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 根据幂函数 f（ x）的定义与性质，求出 k 与 的值即可 【解答】 解： 幂函数 f（ x） =kR， R）的图象过点（ ， ）， k=1， = ， = ； k+=1 = 故选 ： A 【点评】 本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题 6 在区间（ 1， 1）上单调递增且为奇函数的是（ ） A y=x+1） B y= y=x y=3x+考点】 函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 利用奇偶函数的定义判断奇偶性，再确定函数的单调性，即可得到结论 【解答】 解：对于 A，函数不是奇函数，在区间（ 1， 1）上是增函数，故不正确； 对于 B，函数是偶函数 ，故不正确； 对于 C，函数是奇函数，因为 y=1 3以函数在区间（ 1， 1）不恒有 y 0，函数在区间（ 1， 1）上不是单调递增，故不正确； 对于 D，以 y=3x+奇函数，且 y=3+0，函数在区间（ 1， 1）上是单调递增，故 D 正确 故选： D 【点评】 本题考查函数单调性与奇偶性的结合，正确运用定义是关键 7 若向量 = 2， | |=4， | |=1，则向量 ， 的夹角为（ ） A B C D 【考点】 平面向量数量积的运算 【专题】 平面向量及应用 【分析】 根据平面向量的数量积公式求向量的夹角 【解答】 解：由已知向量 = 2， | |=4， | |=1，则向量 ， 的夹角的余弦值为：，由向量的夹角范围是 0， ， 所以向量 ， 的夹角为 ； 故选： A 【点评】 本题考查了利用平面向量的数量积公式求向量的夹角；熟记公式是关键 8 设函数 f（ x） =x2+aR，则（ ） A存在实数 a，使 f（ x） 为偶函数 B存在实数 a，使 f（ x）为奇函数 C对于任意实数 a， f（ x）在（ 0， +）上单调递增 D对于任意实数 a， f（ x）在（ 0， +）上单调递减 【考点】 函数奇偶性的性质；函数单调性的性质 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 根据偶函数、奇函数的定义，二次函数的单调性即可判断每个选项的正误 【解答】 解： A a=0 时， f（ x） =偶函数， 该选项正确； B若 f（ x）为奇函数， f（ x） = ， x0 时显然 不成立； 该选项错误； C f（ x）的对称轴为 x= ； 当 a 0 时， f（ x）在（ 0， +）没有单调性， 该选项错误； D根据上面 a 0 时， f（ x）在（ 0， +）上没有单调性， 该选项错误 故选 A 【点评】 考查偶函数、奇函数的定义，以及二次函数单调性的判断方法 9 若偶函数 f（ x）在区间（ ， 0上单调递减，且 f（ 7） =0，则不等式（ x 1） f（ x） 0 的解集是（ ） A（ ， 1） （ 1， +） B（ ， 7） （ 7， +） C（7， 1） （ 7， +） D（ 7， 1 （ 7， +） 【考点】 奇偶性与单调性的综合 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可 【解答】 解： 偶函数 f（ x）在区间（ ， 0上单调递减，且 f（ 7） =0， f（ x）在区间 0， +）上单调递增，且 f（ 7） =f（ 7） =0， 即 f（ x）对应的图象如图： 则不等式（ x 1） f（ x） 0 等价为： 或 ， 即 或 ， 即 x 7 或 7 x 1， 故选： C 【点评】 本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键10 函数 f（ x） =xR 的最大值为 ，则实数 a 的值为（ ） A 2 B 2 C 2 D 【考点】 两角和与差的正弦函数 【专题】 计算题；三角函数的图像与性质 【分析】 通过辅助角公式，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过函数的最大值求出 a 【解答】 解：函数 f（ x） =2x+），其中 ， （ 2 分） 因为函数 f（ x） =最大值为 ， = ，解得 a=2 故选： C （ 4 分） 【点评】 本题主要考查了正弦函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题 11 函数 f（ x） =函数 g（ x） =2x 的图象的交点的个数是（ ） A 1 B 3 C 5 D 7 【考点】 正弦函数的图象 【专题】 三角函数的图像与性质 【分析】 在同一个坐标系中分别画出函数 f（ x） =函数 g（ x） =2x 的图象，数形结合可得它们的图象的交点个数 【解答】 解：在同一个坐标系中分别画出函数 f（ x） =函数 g（ x） =2x 的图象， 如图所示， 结合图象可得它们的图象的交点个数为 1， 故选： A 【点评】 本题主要考查正弦函数的图 象特征，体现了数形结合的数学思想，属于基础题 12 设 a=b=， c= 2，则（ ） A a b c B b a c C a c b D c b a 【考点】 对数值大小的比较 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 根据对数函数和幂函数的性质求出， a， b， c 的取值范围，即可得到结论 【解答】 解： 1， 0， 0 2 1， 即 a 1， b 0， 0 c 1， a c b， 故选： C 【点评】 本题主要考查函数值的大小比较，利用对数函数和幂函数的性质是解决本题的关键，比较基础 13 函数 y=图象可以由函数 y=图象经过下列哪种变换得到（ ） A向右平移 B向右平移 C向左平移 D向左平移 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【专题】 三角函数的图像与性质 【分析】 根据函数 y=2x+ ）， y=），利用 y=x+）的图象变化规律，可得结论 【解答】 解： y=2x+ ）， y=）， 又 y= （ x ） + = 2x ） = + 2x） = ）， 函数 y=图象向右平移 可得函数 y=图象 故选： A 【点评】 本题主要考查两角和差的正弦公式， y=x+）的图象变化规律，属于基础题 14 函数 f（ x） =）的图象大致是（ ） A B C D 【考点】 函数的图象 【专题】 函数的性质及应用 【 分析】 1，又 y=（ 0， +）单调递增， y=） ，函数的图象应在 x 轴的上方， 在令 x 取特殊值，选出答案 【解答】 解： 1，又 y=（ 0， +）单调递增， y=） ， 函数的图象应在 x 轴的上方，又 f（ 0） =0+1） =， 图象过原点， 综上只有 A 符合 故选： A 【点评】 对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题15 设函数 f（ x） = ， |x 2|，其中 a， b|= 若函数 y=f（ x） x1+x2+取值范围是（ ） A（ 2， 6 2 ） B（ 2， +1） C（ 4， 8 2 ） D（ 0， 4 2 ） 【考点】 函数零点的判定定理 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 先比较 2 与 |x 2|的大小以确定 f（ x）的解析式，然后结合函数的图象即可判断符合条件的 m 的范围，求出 值从而求出 x1+x2+ 【解答】 解：令 y=f（ x） m=0，得： f（ x） =m， 由 2 |x 2|可得 8x+40，解可得 4 2 x4+2 ， 当 4 2 x4+2 时， 2 |x 2|，此时 f（ x） =|x 2| 当 x 4+2 或 0x 4 3 时， 2 |x 2|，此时 f（ x） =2 ， 其图象如图所示， ， f（ 4 2 ） =2 2， 由图象可得，当直线 y=m 与 f（ x）图象有三个交点时 m 的范围为： 0 m 2 2， 不妨设 0 2 则由 2 =m 得 ， 由 |2|=2 x2=m，得 m， 由 |2|=2=m，得 x3=m+2， x1+x2+2 m+m+2= +4， 当 m=0 时， +4=4， m=2 2 时， +4=8 2 ， 4 x1+x2+8 2 故选： C 【点评】 本题以新定义为载体，主要考查了函数的交点个数的判断，解题的关键是结合函数的图象 16 设 M 是 任意一点， N 为 一点且 ，则 +=（ ） A B C 1 D 【考点】 平面向量的基本定理及其意义 【专题】 平面向量及应用 【分析】 利用平面向量基本定理，用 、 表示出 、 ，从而得出结论 【解答】 解：如图所示， M 是 任意一点， 设 =m +n ， 则 m+n=1， 又 = ， = = m + n = + ， += （ m+n） = 故选： B 【点评】 本题考查了平面向量基本定理的应用问题，解题的关键是用 、 表示出向量 ，属于基础题 17 计算： =（ ） A B C D 【考点】 三角 函数中的恒等变换应用 【专题】 计算题；三角函数的求值 【分析】 利用诱导公式，倍角公式，同角三角函数关系式将所求式子转化为 10角的正弦函数值，即可得解 【解答】 解： = = 故选： A 【点评】 本题主要考查了诱导公式，倍角公式，同角三角函数关系式的应 用，属于基础题18 若函数 f（ x） =2x+1 在区间 a， a+2上的最小值为 4，则 a 的取值集合为（ ） A 3， 3 B 1， 3 C 3， 3 D 1， 3， 3 【考点】 二次函数在闭区间上的最值 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 配方法得到函数的对称轴为 x=1，将对称轴移动，讨论对称轴与区间 a， a+2的位置关系，合理地进行分类，从而求得函数的最小值 【解答】 解： 函数 f（ x） =2x+1=（ x 1） 2，对称轴 x=1， 区间 a， a+2上的最小值为 4， 当 1a 时， f（ a） =（ a 1） 2=4， a= 1（舍去）或 a=3， 当 a+21 时，即 a 1， f（ a+2） =（ a+1） 2=4， a=1（舍去）或 a= 3， 当 a a a+2 时， f（ 1） =04， 故 a 的取值集合为 3， 3 故选： C 【点评】 配方求得函数的对称轴是解题的关键由于对称轴所含参数不确定，而给定的区间是确定的，这就需要分类讨论利用函数的图象将对称轴移动，合理地进行分类，从而求得函数的 最值，当然应注意若求函数的最大值，则需按中间偏左、中间偏右分类讨论 19 若不等式 |3 的解集为 x| 2x1，则实数 a=（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 绝对值不等式的解法 【专题】 不等式的解法及应用 【分析】 由题意可得 3，即 2x1，由此可得 a 的值 【解答】 解：由题意可得，不等式 |3，即 33，即 4，即 2x1， a=2， 故选： B 【点评】 本题主要 考查绝对值不等式的解法，属于基础题 20 如图，己知 | |=5， | |=3， 锐角， 分 N 为线段 中点，=x +y ，若点 P 在阴影部分（含边界）内，则在下列给出的关于 x、 y 的式子中，x0， y0； x y0； x y0； 5x 3y0； 3x 5y0满足题设条件的为（ ）A B C D 【考点】 向量的线性运算性质及几何意义 【专题】 平面向量及应用 【分析】 利用向量共线定理，及三角形法则，将向量 表示出来， 的系数对应等于 x， y由此即可解题 【解答】 解 ：设线段 交点为 C， 则由向量共线定理知：存在实数 ， ，其中 0， = = ， 共线， 存在实数 ，使得 ， N 为 中点， 又 | |=5， | |=3， 分 由正弦定理知， M= 故 ， = = x=（ 1 ）， y=， x0， y0； x y=（ 1 2） 0； 5x 3y=（ 5 8） 0 故选： B 【点评】 本题主要考察了平面向量的共线定理以及向量的三角形法则，并涉及到了正弦定理，难度较大，属于难题 21 设不等式 4x m（ 4x+2x+1） 0 对于任意 的 x0， 1恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ）A（ ， B C D ， +） 【考点】 指数函数综合题 【专题】 计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 把已知不等式变形，分离参数 m，然后结合指数式的值域，利用配方法求得的范围得答案 【解答】 解：由 4x m（ 4x+2x+1） 0，得 m（ 4x+2x+1） 4x， 即 m = ， x0， 1， ， 1， 则 ， ， 则 m 故选： A 【点评】 本题考查恒成立问题，考查了分离变量法，训练了利用配方法求函数的最值，是中档题 22 设 O 为 外心（三角形外接圆的心），若 = | |2，则 =（ ） A 1 B C 2 D 【考点】 平面向量数量积的运算 【专题】 平面向量及应用 【分析】 利用三角形的外心，得到 ， ， 两式平方相减化简，得到 2 ，又 = | |2，得到 关系 【解答】 解：因为 O 是三角形的外心，所以 ， ， ，两式平方相减得 2 ，即2 ， 又 = | |2，所以 2 ，所以 ； 故选： B 【点评】 本题考查了三角形外心性质以及向量数量积等运算；考查学生的运算能力；属于中档题 23 设函数 f（ x） = 若方程 f（ x） =1 有 3 个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A（ 1， +） B 1 （ 1， +） C（ ， 1） D（ ， 1） （ 1， +） 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【专题】 计算题；作图题；函数的性质及应用 【分析】 当 x 0 时，由 f（ x） = 得 x= 1；从而可得，当 0x时，方程 有 2个不同的解；作函数 y= 0x）的图象，结合图象求解即可 【解答】 解：当 x 0 时， f（ x） =，解得， x= 1； 方程 f（ x） =1 有 3 个不同的实数根， 当 0x时，方程 f（ x） =1 可化为 ； 显然可知 a=0 时方程无解； 故方程可化为 ，且有 2 个不同的解； 作函数 y= 0x）的图象如下， 结合图象可得， 0 1 或 1 0； 解得， a（ ， 1） （ 1， +）； 故选 D 【点评】 本题考查了分段函数的应用及方程的根与函数的图象的交点的应用，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题 24 函数 的值域为（ ） A 1， B 1， C 1， D 1， 2 【考点】 函数的值域 【专题】 综合题；压轴题； 转化思想；综合法 【分析】 先求出函数的定义域，观察发现，根号下两个数的和为 1，故可令则问题可以转化为三角函数的值域问题求解，易解 【解答】 解：对于 f（ x），有 3x4，则 0x 31， 令 ， 则= ， 函数 的值域为 1， 2 故选 D 【点评】 本题考查求函数的值域，求解的关键是观察到问题可以转化为三角函数求解，注意本题转化的依据，两数的和为 1，此是一个重要的可以转化为三角函数的标志，切记 25 在 ， ，若 G， O 分别为 重心和外心，且 =6，则 形状是（ ） A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D上述三种情况都有可能 【考点】 平面向量数量积的运算 【专题】 平面向量及应用 【分析】 在 ， G， O 分别为 重心和外心，取 中点为 D，连接 D、 用重心和外心的性质，运用向量的三角形法则和中点的向量形式，以及向量的平方即为模的平方，可得 2 = 36，又 ，则有 | |=| |2+| |2，运用勾股定理逆定理即可判断三角形的形状 【解答】 解：在 ， G， O 分别为 重心和外心， 取 中点为 D，连接 图： 则 ， ， 由 =6， 则（ ） = = （ ） =6， 即 （ ）（ ） =6，则 ， 又 ， 则有 | |=| |2+| |2， 即有 C 为直角 则三角形 直角三角形 故选： C 【点评】 本题考查向量的数量积的性质和运用，主要考查向量的三角形法则和向量的平方即为模的平方，运用勾股定理逆定理判断三角形的形状 二、填空题（共 5小题，每小题 3分，满分 15分） 26 若函数 f（ x） =2x）（ 0）的最小正周期为 ，则 = 4 【考点】 三角函数的周期性及其求法 【专题】 计算题；三角函数的图像与性质 【分析】 由三角函数的周期性及其求法可得 T= = ，即可解得 的值 【解答】 解：由三角函数的周期性及其求法可得： T= = ， 解得： =4 故答案为： 4 【点评】 本题 主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查 27 设 ，则 2 【考点】 同角三角函数基本关系的运用 【专题】 三角函数的求值 【分析】 原式分母看做 “1”，利用同角三角函数间的基本关系化简，把 值代入计算即可求出值 【解答】 解： ， 原式 = = = = ， 故答案为： 【点评】 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键 28 计算： 【考点】 对数的运算性质 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 根据对数的运算性质计算即可 【解答】 解： 2= ， 故答案为： 【点评】 本题考查了对数的运算性质，属于基础题 29 已知 A、 B、 C 是单位圆上三个互不相同的点，若 | |=| |，则 的最小值是 【考点】 平面向量数量积的运算 【专题】 平面向量及应用 【分析】 如图所示，取 =（ 1， 0），不妨设 B（ （ （ 0， ）由于 ，可得 C（ 再利用数量积运算、二次函数的单调性、余弦函数的单调性即可得出 【解答】 解：如图所示，取 =（ 1， 0），不妨设 B（ （ （ 0， ） ， C（ =（ 1， 1， =（ 1） 2 = ， 当且仅当 ，即 时，上式取得最小值 即 的最小值是 故答案为： 【点评】 本题考查了数量积运算、二次函数的单调性、余弦函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题 30 若函数 f（ x） = a 存在零点，则实数 a 的取值范围是 （1， 1） 【考点】 函数零点的判定定理 【专题】 计算题；数形结合；函数的性质及应用 【分析】 化简 a= ，从而利用其几何意义及数形结合的思想求解 【解答】 解：由题意得， a= = ； 表示了点 A（ ， ）与点 C（ 3x， 0）的距离， 表示了点 B（ ， ）与点 C（ 3x， 0）的距离， 如下图， 结合图象可得， | | 即 1 1， 故实数 a 的取值范围是（ 1， 1） 故答案为：（ 1， 1） 【点评】 本题考查了数形结合的思想应用 三、解答题（共 3小题，满分 30分） 31 已知向量 ， 如图所示 （ ）作出向量 2 （请保留作图痕迹）； （ ）若 | |=1， | |=2，且 与 的夹角为 45，求 与 的夹角的余弦值 【考点】 向量的线性运算性质及几何意义 【专题】 平面向量及应用 【分析】 （ I）运用向量的加减运算的几何性质求解绘画， （ 据向量的运算得出 = = ， = 利用夹角得出 ，求解即可 【解答】 解：（ I）先做出 2 ，再作出 ，最后运用向量的减法得出 2 ，如图表示红色的向量， （ ， 的夹角 ， | |=1， | |=2，且 与 的夹角为 45 =12 ， = = ， = ，（ ） =1 4= 3， = = = 【点评】 本题考察了平面向量