广州市南沙区2015-2016学年高一下期末数学试卷含答案解析

广东省广州市南沙区 2015年高一（下）期末数学试卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知 a R， b R，且 a b，则下列不等式中一定成立的是（ ） A 1 B （ ） a （ ） b D a b） 0 2角 的终边上有一点（ 1， 2），则 ） A B C D 3 ）的值为（ ） A B C D 4若 ，则 =（ ） A B C D 5如图，在 ， C=，则 =（ ） A 1 B 1 C 2 D 2 6设平面向量 =（ 1， 2）， =（ 2， y），若 ，则 |2 |等于（ ） A 4 B 5 C D 7在等差数列 ， a3+，则 ） A 20 B 40 C 60 D 80 8为了得到函数 y= x+ ）的图象，只要把 y= 的图象上所有的点（ ） A向左平 移个单位长度 B向右平移 个单位长度 C向左平 移 个单位长度 D向右平移 个单位长度 9若关于 x 的方程 x2+ax+a 2=0 的一根大于 1，另一根小于 1，则 a 的取值范围为（ ） A 0 a 1 B a 1 C 1 a 1 D a 1 10已知 ， （ ， 2），则 ）的值为（ ） A B C D 11已知函数 y=x+）（ A 0， 0， ）一个周期的图象（如图），则这个函数的一个解析式为（ ） A B C D 12在实数集 R 中定义一种运算 “*”，对任意 a， b R， a*b 为唯一确定的实数，且具有性质： （ 1）对任意 a R， a*0=a； （ 2）对任意 a， b R， a*b= a*0） +（ b*0） 则函数 f（ x） =（ * 的最小值为（ ） A 2 B 3 C 6 D 8 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分 . 13不等式 2x+3 0 的解集为 ；（用区间表示） 14已知 ，则 15已知 x， y 为正数，且 x+y=20，则 m=最大值为 16如图，设 A， B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧，在 A 所在的河岸边选定一点 C，测出 距离为 50m， 5， 05后，则 A， B 两点的距 离为 m 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 . 17已知向量 ， 满足 | |=3， | |= ，（ + ）（ 2 ） =4 （ 1）求 ； （ 2）求 | | 18已知函数 f（ x） = （ 1）求 f（ x）的最小正周期值； （ 2）求 f（ x）的单调递增区间； （ 3）求 f（ x）在 0， 上的最值及取最值时 x 的值 19已知数列 前 n 项和为，且 Sn=n2+n， （ 1）求数列 通项公式； （ 2）令 证：数列 等比数列 20某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如表： 试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？ 资金 单位产品所需资金（百元） 空调机 洗衣机 月资金供应量（百元） 成本 30 20 300 劳动力（工资） 5 10 110 单位利润 6 8 21在 ，内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，已知 a=2， c= ， （ 1）求 b 的值； （ 2）求 2A+ ）的值 x 上，已知 ， 22已知正数数列 前 n 项和为 P（ 函数 f（ x） = 321=0（ n 2， n N*）， （ 1）求数列 通项公式； （ 2）若 cn=数列 前 n 项和 （ 3）是否存在整数 m， M，使得 m M 对任意正整数 n 恒成立，且 M m=9，说明理由 2015年广东省广州市南沙区高一（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知 a R， b R，且 a b，则下列不等式中一定成立的是（ ） A 1 B （ ） a （ ） b D a b） 0 【分析】 根据不等式的基本性质，结合指数函数和对数函数的图象和性质，分别判断四个答案中的不等式是否恒成立，可得结论 【解答】 解：当 a 0 b 时， 0，故 A 错误； 当 0 a b 时， B 错误； 当 a b 时，（ ） a （ ） b 一定成立，故 C 正确； 当 b+1 a b 时， a b） 0，故 D 错误； 故选： C 【点评】 本题考查的知识点是不等式的基本性质，指数函数和对数函数的图象和性质，难度中档 2角 的终边上有一点（ 1， 2） ，则 ） A B C D 【分析】 由条件利用任意角的三角函数的定义，求得 值 【解答】 解：由题意可得 x=1， y= 2， r= ， = = ， 故选： B 【点评】 本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题 3 ）的值为（ ） A B C D 【分析】 直接根据诱导公式转化求解计算即可 【解答】 解： ） =6 ） = 故选： D 【点评】 本题考查诱导公 式的应用：求值此类题一般依照 “负角化正角，大角化小角 ”的顺序进行角的转化 4若 ，则 =（ ） A B C D 【分析】 原式分子分母除以 用同角三角函数间基本关系化简，将 值代入计算即可求出值【解答】 解： ， 原式 = = = ， 故选： B 【点评】 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键 5如图，在 ， C=，则 =（ ） A 1 B 1 C 2 D 2 【分析】 利用向量的数量积运算即可得出 【解答】 解： = = = 2 故选： D 【点评】 本题考查了向量的数量积运算，注意向量的夹角，属于基础题 6设平面向量 =（ 1， 2）， =（ 2， y），若 ，则 |2 |等于（ ） A 4 B 5 C D 【分析】 利用向量共线定理即可得出 y， 从而计算出 的坐标，利用向量模的计算公式即可得出 【解答】 解： ， 2 2 y=0，解得 y= 4 =2（ 1， 2）（ 2， 4） =（ 4， 8）， |2 |= = 故选 D 【点评】 熟练掌握向量共线定理、向量模的计算公式是解题的关键 7在等差数列 ， a3+，则 ） A 20 B 40 C 60 D 80 【分析】 由已知利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式求解 【解答】 解： 在等差数列 ， a3+， = =5 8=40 故选： B 【点评】 本题考查等差数列的前 10 项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用 8为了得到函数 y=x+ ）的图象，只要把 y=图象上所有的点（ ） A向左平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度 C向左平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度 【分析】 利用函数 y=x+）的图象变换规律，得出结论 【解答】 解：由于 x+ ） = x+ ）， 故把 y=图象上所有的点向左平移 个单位长度，可得函数 y= x+ ） =x+ ）的图象， 故选： C 【点评】 本题主要考查函数 y=x+）的图象变换规律，属于基础题 9若关于 x 的方程 x2+ax+a 2=0 的一根大于 1，另一根小于 1，则 a 的取值范围为（ ） A 0 a 1 B a 1 C 1 a 1 D a 1 【分析】 利用一元二次方程的根的分布与系数的关系，二次函数的性质，求得 a 的取值范围 【解答】 解： 关于 x 的方程 x2+ax+a 2=0 的一根大于 1，另一根小于 1， 令 f（ x） =x2+ax+a 2， 则 f（ 1） =1+a+a 2=1 0，求得 1 a 1， 故选： C 【点评】 本题主要考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，二次函数的性质，属于基础题 10已知 ， （ ， 2），则 ）的值为（ ） A B C D 【分析】 由已知利用同角三角函数基本关系式可求 值，利用两角差的余弦函数公式即可计算求值得解 【解答】 解： ， （ ， 2）， = ， ） = = 故选： D 【点评】 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 11已知函数 y=x+）（ A 0， 0， ）一个周期的图象（如图），则这个函数的一个解析式为（ ） A B C D 【分析】 由已知中函数 y=x+）（ A 0， 0， ）的图象，我们分别求出函数的最大值，最小值及周期，进而求出 A 值和 值，将最大值点代入结合正弦函数的性质求出 值，即可得到函数的解析式 【解答】 解：由函数的图象可得函数的最大值为 2，最小值为 2，结合 A 0，可得 A=2 又 函数的图象过（ ， 2）点和（ ， 0）点，则 T= ，结合 0，可得 =3 则函数的解析式为 y=23x+） 将（ ， 2）代入得 += ， k Z 当 k=0 时， = 故函数的解析式为 故选 D 【点评】 本题考查的知识点是由函数 y=x+）的图象确定函数的解析式，其中根据函数的图象分析出函数的最大值，最小值，周期，向左平移量，特殊点等是解答本题的关键 12在实数集 R 中定义一种运算 “*”，对任意 a， b R， a*b 为唯一确定的实数，且具有性质： （ 1）对任意 a R， a*0=a； （ 2）对任意 a， b R， a*b= a*0） +（ b*0） 则函数 f（ x） =（ * 的最小值为（ ） A 2 B 3 C 6 D 8 【分析】 根据性质， f（ x） =（ * =1+，利用基本不等式，即可得出结论 【解答】 解：根据性质， f（ x） =（ * =1+ 1+2=3， 当且仅当 时， f（ x） =（ * 的最小值为 3 故选： B 【点评】 本题考查新定义，考查基本不等式的运用，正确理解新定义是关键 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分 . 13不等式 2x+3 0 的解集为 （ 3， 1） ；（用区间表示） 【分析】 把不等式化为（ x+3）（ x 1） 0，得出不等式对应方程的实数根，写出解集即可 【解答】 解：不等式 2x+3 0 可化为 x 3 0， 即（ x+3）（ x 1） 0， 解得 3 x 1， 所以该不等式的解集为（ 3， 1） 故答案为：（ 3， 1） 【点评】 本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目 14已知 ，则 【分析】 把所给的等式平方，利用同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式求得 值 【解答】 解： ，平方可得 1+，则 ， 故答案为： 【点评】 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式的应用，属于基础题 15已知 x， y 为正数，且 x+y=20，则 m=最大值为 2 【分析】 由基本不等式： a+b 2 （ a， b 0， a=b 取得等号），可得 最大值为 100，再由对数的运算性质，可得 m 的最大值 【解答】 解： x， y 为正数，且 x+y=20， 可得 x+y 2 ， 即有 2 20， 即 100， 当且仅当 x=y=10，取得等号 则 m= ， 即有 m 的最大值为 2 故答案为： 2 【点评】 本题考查最值的求法，注意运用基本不等式和对数的运算性质，考查运算能力，属于基础题 16如图，设 A， B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧，在 A 所在的河岸边选定一点 C，测出 距离为 50m， 5， 05后，则 A， B 两点的距离为 50 m 【分析】 先利用三角形的内角和 求出 B=30，再利用正弦定理，即可得出结论 【解答】 解：在 ， 5， 05 B=30 由正弦定理可得： =50 m 故答案为： 50 【点评】 本题考查解三角形的实际应用，解题的关键是利用正弦定理，求三角形的边 ，属于基础题 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 . 17已知向量 ， 满足 | |=3， | |= ，（ + ）（ 2 ） =4 （ 1）求 ； （ 2）求 | | 【分析】 （ 1）由条件进行数量积的运算便可得出 ，从而求出 的值；（ 2）根据上面求得的 及条件可求出 的值，从而得出 的值 【解答】 解：（ 1）根据条件， =9 =4； ； （ 2） =9 2+2 =9； 【点评】 考查向量数量积的运算，以及要求 而求 的方法 18已知函数 f（ x） = （ 1）求 f（ x）的最小正周期值； （ 2）求 f（ x）的单调递增区间； （ 3）求 f（ x）在 0， 上的最值及取最值时 x 的值 【分析】 （ 1）利用二倍角的正弦和余弦公式，及两角和的正弦公式，化简函数 f（ x），再由正弦函数的周期性得答案； （ 2）由正弦函数的单调性得答案； （ 3）由 x 0， ，得到 ， ，再求 f（ x）在区间 0， 上的最大值和最小值 【解答】 解：（ 1） f（ x） = = = = = ， ， f（ x）的最小正周期是 ； （ 2）由（ 1）得 ，（ k Z）， 即 ，（ k Z）， f（ x）的单调递增区间为： ， k Z； （ 3） x 0， ， ， 故当 = 时，即 时， f（ x）有最大值，最大值为 1， 故当 = 时，即 时， f（ x）有最小值，最小值为 1 【点评】 本题考查三角函数的二倍角公式和两角和的正弦公式，考查正弦函数的周期性和单调性，属于中档题 19已知数列 前 n 项和为，且 Sn=n2+n， （ 1）求数列 通项公式； （ 2）令 证： 数列 等比数列 【分析】 （ 1）利用递推关系即可得出 （ 2）利用等比数列的定义即可证明 【解答】 （ 1）解： Sn=n2+n， 当 n=1 时， 1=2； 当 n 1 时， n 1=n2+n （ n 1） 2+（ n 1） =2n， 综上所述，数列 通项公式为 n （ 2）证明：由（ 1）得 2n=9n = =9 为常数 则数列 以 9 为首项， 9 为公比的等比数列 【点评】 本题考查了等比数列的定义、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 20某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如表： 试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使 总利润达到最大，最大利润是多少？ 资金 单位产品所需资金（百元） 空调机 洗衣机 月资金供应量（百元） 成本 30 20 300 劳动力（工资） 5 10 110 单位利润 6 8 【分析】 利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用本题主要考查找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解 【解答】 解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是 x、 y 台，总利润是 P，则 P=6x+8y， 由题意有 30x+20y 300， 5x+10y 110， x 0， y 0， x、 y 均为整数 由图知直线 y= x+ P 过 M（ 4， 9）时，纵截距最大 这时 P 也取最大值 4+8 9=96（百元） 故当月供应量为空调机 4 台，洗衣机 9 台时，可获得最大利润 9600 元 【点评】 用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分 类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解 21在 ，内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，已知 a=2， c= ， （ 1）求 b 的值； （ 2）求 2A+ ）的值 【分析】 （ 1） ，利用同角三角函数的基本关系求出 由正弦定理求出 由余弦定理求得 b=1 （ 2）利用二倍角公式求得 值，由此求得 由两角和的余弦公式求出 2A+ ）= 的值 【解答】 解：（ 1） ，由 可得 再由 = 以及 a=2、 c= ，可得 由 a2=b2+2得 b2+b 2=0，解得 b=1 （ 2）由 、 可得 1= ， 故 2A+ ） = 【点评】 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，二倍角公式以及两角和的余弦公式，同角三角函数的基