2016年甘肃省张掖市高考数学三诊试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 22 页） 2016 年甘肃省张掖市高考数学三诊试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 小题每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1复数 的共轭复数在复平面上对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2若 R，则 “=0”是 “（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3设 等差数列 前 n 项和，若 ， 7，则该数列的首项 于（ ） A B C D 4某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的 N=5，则输出 i=（ ） A 6 B 7 C 8 D 9 5双曲线 2 的渐近线与圆 y+a） 2=1 相切，则正实数 a 的值为（ ） A B C D 6在如图所示的正方形中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分（曲线 C 为正态分布 N（1， 1）的密度曲线）的点的个数的估计值（ ） 附 “若 X N（ ， 则 P（ X +） = p（ 2 X +2） = 第 2 页（共 22 页） A 1193 B 1359 C 2718 D 3413 7已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（ ） A 16 B 4 C 8 D 2 8已知 0，函数 f（ x） =x+ ）在（ ， ）上单调递增，则 的取值范围是（ ） A ， B ， C ， D ， 9在 ， + =2 ， | |=1，点 P 在 且满足 =2 ，则 （ + ）等于（ ） A B C D 10已知二次函数 f（ x） =bx+c 的导数 f（ x）， f（ 0） 0，且 f（ x）的值域为 0， +），则 的最小值为（ ） A 3 B C 2 D 11已知椭圆 + =1（ a b 0）的左、右焦点分别为 c， 0）， c， 0），若椭圆上存在点 P 使 = ，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ） A（ 0， ） B（ ） C（ 0， ） D（ ， 1） 12若函数 f（ x） =x2+（ x 0）与 g（ x） =x2+x+a）图象上存在关于 y 轴对称的点，则 a 的取值范围是（ ） 第 3 页（共 22 页） A（ ） B（ ） C（ ） D（ ） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13二项式 的展开式中常数项为 14若变量 x， y 满足约束条件 且 z=5y x 的最大值为 a，最小值为 b，则 a 15我们知道，在边长为 a 的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值 ，类比上述结论，在棱长为 a 的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值 16设数列 （ n 1， n N）满足 ， ，且（ ）（ =2，若x表示不超过 x 的最大整数，则 + + = 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 . 17设函数 f（ x） = x+ ） （ 1）若 x （ 0， ），求 f（ x）的单调递增区间； （ 2）在锐角 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 f（ ） =0， b=1，求 18某超市从 2014 年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取 100个，并按 0， 10，（ 10， 20，（ 20， 30，（ 30， 40，（ 40， 50分组，得到频率分布直方图如图： 假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立 （ ）写出频率分布直方图（甲）中的 a 的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为 ， ，试比较 与 的大小；（只需写出结论） 第 4 页（共 22 页） （ ）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于 20 箱且另一个不高于 20 箱的概率； （ ）设 X 表示在未来 3 天内甲种酸奶的日销售量不高于 20 箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求 X 的数学期望 19在直三棱柱 ， C=2， ， 0， M 是 中点，N 是 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求点 平面 距离； （ 3）求二面角 B 平面角的余弦值大小 20设抛物线 C 的方程为 y， M 为直线 l： y= m（ m 0）上任意一点，过点 M 作抛物线 C 的两条切线 点分别为 A， B （ ）当 M 的坐标为（ 0， 1）时，求过 M， A， B 三点的圆的标准方程，并判断直线 位置关系； （ ）当 m 变化时，试探究直线 l 上是否存在点 M，使 存在，有几个这样的点，若不存在，请说明理由 21设函数 f（ x） =（ x 1） （ 1）当 a=1 时，讨论 f（ x）的单调性； （ 2）当 a 0 时，设 f（ x）在 x=取得最小值，求证： f（ 1 选做题 选修 4何证明选讲 22如图， O 的直径， 弦， 平分线 O 于点 D， 延长线于点 E， 点 F （ ）求证： O 的切线； （ ）若 = ，求 的值 选修 4标系与参数方程 第 5 页（共 22 页） 23在直角坐标系 ，曲线 参数方程为 （ t 是参数），以原点 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 极坐标方程为 =8 ） （ 1）求曲线 直角坐标方程，并指出其表示何种曲线； （ 2）若曲线 曲线 于 A， B 两点，求 |最大值和最小值 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =m |x 2|， m R，且 f（ x+2） 0 的解集为 1， 1 （ ）求 m 的值； （ ）设 a， b， c 为正数，且 a+b+4c=m，求 + + 的最大值 第 6 页（共 22 页） 2016 年甘肃省张掖市高考数学三诊试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1复数 的共轭复数在复平面上对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 化简复数，得出其共轭复数 【解答】 解： = = ， 复数 的共轭复数是 + 故选： A 2若 R，则 “=0”是 “（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【考 点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 当 “=0”可以得到 “当 “，不一定得到 “=0”，得到 “=0”是 “充分不必要条件 【解答】 解： “=0”可以得到 “ 当 “，不一定得到 “=0”，如 = 等， “=0”是 “充分不必要条件， 故选 A 3设 等差数列 前 n 项和，若 ， 7，则该数列的首项 于（ ） A B C D 【考点】 等差数列的性质 【分析】 利用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出 【解答】 解：设等差数列 公差为 d，由 ， 7，可得 ，解得 故选： D 4某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的 N=5，则输出 i=（ ） 第 7 页（共 22 页） A 6 B 7 C 8 D 9 【考点】 程序框图 【分析】 计算循环中 n 与 i 的值，当 n=1 时满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可 【解答】 解：模拟执行程序，可得 n=5， i=1 执行循环体，满足条件 n 是奇数， n=16， i=2， 不满足条件 n=1，执行循环体，不满足条件 n 是奇数， n=8， i=3， 不满足条件 n=1，执行循环体，不满足条件 n 是奇数， n=4， i=4， 不满足条件 n=1，执行循环体，不满足条件 n 是奇数， n=2， i=5， 不满足条件 n=1，执行循环体，不满足条件 n 是奇数， n=1， i=6， 满足条件 n=1，退出循环，输出 i 的值为 6 故选： A 5双曲线 2 的渐近线与圆 y+a） 2=1 相切，则正实数 a 的值为（ ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据圆方程，得到圆心坐标 C（ 0， a），圆与双曲线的渐近线相切，说明 C 到渐近线的距离等于半径 1，列出方程求出 a 的值即可 【解答】 解：圆 y+a） 2=1 圆心坐标 C（ 0， a），圆的半径为： 1 双曲线 的渐近线为 x 2y=0， 双曲线 的渐近线与圆 y+a） 2=1 相切， C 到渐近线的距离为 ，解得 a= 第 8 页（共 22 页） 故选： C 6在如图所示的正方形中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分（曲线 C 为正态分布 N（1， 1）的密度曲线）的点的个数的估计值（ ） 附 “若 X N（ ， 则 P（ X +） = p（ 2 X +2） = A 1193 B 1359 C 2718 D 3413 【考点】 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【分析】 根据正态分布的定义，可以求出阴影部分的面积，也就是 x 在（ 0， 1）的概率 【解答】 解：正态分布的图象如下图： 正态分布 N（ 1， 1）则在（ 0， 1）的概率如上图阴影部分， 其概率为 P（ 2 X +2） P（ X +） = （ = 即阴影部分的面积为 所以点落入图中阴影部分的概率为 p= = 投入 10000 个点，落入阴影部分的个数期望为 10000 359 故选 B 7已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（ ） 第 9 页（共 22 页） A 16 B 4 C 8 D 2 【考点】 由三视图求面积、体 积 【分析】 由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，并判断出位置关系，判断出几何体的外接球的球心位置，从而求出外接球的半径，代入求的表面积公式求解即可 【解答】 解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥，如图：底面是一个直角三角形， C， D 是 中点， 平面 且 、 ， ， =2， D=， 几何体的外接球的球心是 D，则球 的半径 r=1， 即几何体的外接球表面积 S=4， 故选： B 8已知 0，函数 f（ x） =x+ ）在（ ， ）上单调递增，则 的取值范围是（ ） A ， B ， C ， D ， 【考点】 由 y=x+）的部分图象确定其解析式 【分析】 根据函数 y=单调递增区间，结合函数在（ ， ）上单调递增 ，得出关于 的不等式（组），从而求出 的取值范围 【解答】 解： 函数 y=单调递增区间是 +22 k Z； +2x+ + 2k Z； 解得： + x （ k Z）， 函数 f（ x） =x+ ）在（ ， ）上单调递增， （ ， ） + ， （ k Z）， 解得 4k 2k ； 又 4k （ 2k ） 0，且 4k 0， 第 10 页（共 22 页） k=1， ， 故选： D 9在 ， + =2 ， | |=1，点 P 在 且满足 =2 ，则 （ + ）等于（ ） A B C D 【考点】 向量加减混合运算及其几何意义 【分析】 易得 M 是 中点， P 是三角形 重心，进而得 （ + ） = ，由数量积的定义可得答案 【解答】 解：由题意易知： M 是 中点， P 是三角形 重心， 因为 ，所以 ， ， 所以 （ + ） = 故选 D 10已知二次函数 f（ x） =bx+c 的导数 f（ x）， f（ 0） 0，且 f（ x）的值域为 0， +），则 的最小值为（ ） A 3 B C 2 D 【考 点】 二次函数的性质 【分析】 由 f（ x）的值域为 0， +），可得对于任意实数 x， f（ x） 0 成立求出 a 的范围及 a， b c 的关系，求出 f（ 1）及 f（ 0），作比后放缩去掉 c，通分后利用基本不等式求最值 【解答】 解： f（ x）的值域为 0， +）， 即 f（ x） 0 恒成立， ， c= 又 f（ x） =2ax+b， f（ 0） =b 0， f（ 1） =a+b+c =1+ =1+ =1+ 1+ =2 当且仅当 4a2=， “=”成立 即 的最小值为 2 故选： C 第 11 页（共 22 页） 11已知椭圆 + =1（ a b 0）的左、右焦点分别为 c， 0）， c， 0），若椭圆上存在点 P 使 = ，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ） A（ 0， ） B（ ） C（ 0， ） D（ ， 1） 【考点】 正弦定理；椭圆的简单性质 【分析】 由 “ ”的结构特征，联想到在 运用由正弦定理得： 两者结合起来，可得到 ，再由焦点半径公式，代入可得到： a（ a+=c（ a 出 椭圆的范围，建立关于离心率的不等式求解要注意椭圆离心率的范围 【解答】 解：在 ，由正弦定理得： 则由已知得： ， 即： 点 P（ 焦点半径公式， 得： a+a a（ a+=c（ a 解得： = 由椭圆的几何性质知： a 则 a， 整理得 e 1 0，解得： e 1 或 e 1，又 e （ 0， 1）， 故椭圆的离心率： e （ 1， 1）， 故选 D 12若函数 f（ x） =x2+（ x 0）与 g（ x） =x2+x+a）图象上存在关于 y 轴对称的点，则 a 的取值范围是（ ） A（ ） B（ ） C（ ） D（ ） 【考点】 函数的图象 【分析】 由题意可得 x0+a） =0 有负根，函数 h（ x） = x+a）为增函数，由此能求出 a 的取值范围 【解答】 解：由题意可得： 存在 （ ， 0），满足 =（ 2+ x0+a）， 第 12 页（共 22 页） 即 x0+a） =0 有负根， 当 x 趋近于负无穷大时， x0+a）也趋近于负无穷大， 且函数 h（ x） = x+a）为增函数， h（ 0） = 0， a ， a 的取值范围是（ ， ）， 故选： A 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13二项式 的展开式中常数项为 7 【考点】 二项式定理 【分析】 利用二项展开式的通项公式求出第 r+1 项，令 x 的指数 为 0 得常数项 【解答】 解： 展开式的通项是= 令 解得 r=6 故展开式的常数项为 =7 故答案为 7 14若变量 x， y 满足约束条件 且 z=5y x 的最大值为 a，最小值为 b，则 a 24 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出可行域，变形目标函数可得 y= x+ z，平移直线 y= x 易得最大值和最小值，作差可得答案 第 13 页（共 22 页） 【解答】 解：作出约束条件 所对应的可行域（如图阴影）， 变形目标函数可得 y= x+ z， 平移直线 y= x 可知当直线经过点 A（ 8， 0）时，目标函数取最小值 b= 8， 当直线经过点 B（ 4， 4）时，目标函数取最大值 a=16， a b=16（ 8） =24 故答案为： 24 15我们知道，在边长为 a 的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值 ，类比上述结论，在棱长为 a 的正四面体内任一点 到其四个面的距离之和为定值 【考点】 类比推理 【分析】 由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质固我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质 “正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值 ”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质 【解答】 解：类比在边长为 a 的正三角形内任一点到三边的距离之和为定 值 ， 在一个正四面体中，计算一下棱长为 a 的三棱锥内任一点到各个面的距离之和， 如图： 由棱长为 a 可以得到 a， O= ， 在直角三角形中，根据勾股定理可以得到 把数据代入得到 a， 第 14 页（共 22 页） 棱长为 a 的三棱锥内任一点到各个面的距离之和 4 a= a， 故答案为： a 16设数列 （ n 1， n N）满足 ， ，且（ ）（ =2，若x表示不超过 x 的最大整数，则 + + = 2015 【考点】 等差数列的通项公式 【分析】 构造 bn= 判数列 4 为首项 2 为公差的等差数列，累加法可得 an=n（ n+1），裂项相消法可得答案 【解答】 解：构造 bn= b1=， 由题意可得（ ）（ = ， 故数列 4 为首项 2 为公差的等差数列， 故 bn= +2（ n 1） =2n+2， 故 ， ， ， ， 1=2n， 以上 n 1 个式子相加可得 ，解得 an=n（ n+1）， 故 + + =2016（ + + ） =2016（ 1 + + ） =2016 ， + + =2015， 故答案为： 2015 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 . 17设函数 f（ x） = x+ ） （ 1）若 x （ 0， ），求 f（ x）的单调递增区间； （ 2）在锐角 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 f（ ） =0， b=1，求 第 15 页（共 22 页） 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；余弦定理 【分析】 （ 1）由三角恒等变换化简 f（ x），由此得到递增区间 （ 2）由等式得到 ，利用余弦定理及三角形面积公式即可 【解答】 解：（ ）由题意可知， = ， 由 ， 可解得： 又因为 x （ 0， ）， 所以 f（ x）的单调递增区间是 和 （ ）由 ，可得 ， 由题意知 B 为锐角，所以 ， 由 余弦定理 b2=a2+2 可得： ，即 ，且当 a=c 时等号成立， 因此 ， 所以 积的最大值为 18某超市从 2014 年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取 100个，并按 0， 10，（ 10， 20，（ 20， 30，（ 30， 40，（ 40， 50分组，得到频率分布直方图如图： 假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立 （ ）写出频率分布直方图（甲）中的 a 的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为 ， ，试比较 与 的大小；（只需写出结论） 第 16 页（共 22 页） （ ）估计在未 来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于 20 箱且另一个不高于 20 箱的概率； （ ）设 X 表示在未来 3 天内甲种酸奶的日销售量不高于 20 箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求 X 的数学期望 【考点】 离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差 【分析】 （ ）按照题目要求想结果即可 （ ）设事件 A：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于 20 箱；事件 B：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于 20 箱；事件 C：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于 20 箱且另一 个不高于 20 箱求出 P（ A）， P（ B）， P（ C） （ ） X 的可能取值为 0， 1， 2， 3，求出概率，得到分布列，然后求解期望 【解答】 （共 13 分） 解：（ ） a= （ ）设事件 A：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于 20 箱； 事件 B：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于 20 箱； 事件 C：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于 20 箱且另一个不高于20 箱则 P（ A） =P（ B） = 所以 （ ）由题意可知， X 的可能取值为 0， 1， 2， 3 P（ X=0） = P（ X=1） = P（ X=2） = P（ X=3） = 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以 X 的数学期望 19在直三棱柱 ， C=2， ， 0， M 是 中点，N 是 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求点 平面 距离； （ 3）求二面角 B 平面角的余弦值大小 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算 第 17 页（共 22 页） 【分析】 （ 1）由直三棱柱的几何特征，取 点 D，连 接 得四边形 后由线面平行的判定定理得到 平面 （ 2）可证 平面 平面 ，过 以点 平面 距离，在等腰三角形 ，可求 长 （ 3）在平面 E ， ，则 平面 得 二面角 B A 的平面角，在等腰三角形 ，可求 可求得 而可求二面角 B 平面角的余弦值 【解答】 （ 1）证明：如图所示，取 点 D，连接 1M， 四边形 平行四边形 面 面 平面 （ 2）解：直三棱柱 ， 0， 平面 在平面 ，过 以 点 平面 距离 在等腰三角形 ， ， 1M= （ 3）解：在平面 作 点 E， 点 F，则 平面 的射影， 二面角 B A 的平面角， 在等腰三角形 ， 1H= ， 即二面角 B 平面角的余弦值为 20设抛物线 C 的方程为 y， M 为直线 l： y= m（ m 0）上任意一点，过点 M 作抛物线 C 的两条切线 点分别为 A， B 第 18 页（共 22 页） （ ）当 M 的坐标为（ 0， 1）时，求过 M， A， B 三点的圆的标准方程，并判断直线 （ ）当 m 变化时，试探究直线 l 上是否存在点 M，使 存在，有几个这样的点，若不存在，请说明理由 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题 【分析】 （ ）设过 M 点的切线方程，代入 y，整理得 4=0，令 =0，可得 A，B 的坐标，利用 M 到 中点（ 0， 1）的距离为 2，可得过 M， A， B 三点的圆的方程，从而可判断圆与直线 l： y= 1 相切； （ ）设切点分别为 A（ B（ 直线 l 上的点为 M（ 可得 2 的两实根，从而 =此可得结论 【解答】 解：（ ）当 M 的坐标为（ 0， 1）时，设过 M 点的切线方程为 y=1，代入y，整理得 4=0， 令 =（ 4k） 2 4 4=0，解得 k= 1， 代入方程 得 x= 2，故得 A（ 2， 1）， B（ 2， 1） 因为 M 到 中点（ 0， 1）的距离为 2，从而过 M， A， B 三点的圆的标准方程为 y 1） 2=4 圆心坐标为（ 0， 1），半径为 2， 圆与直线 l： y= 1 相切 （ ）设切点分别为 A（ B（ 直线 l 上的点为 M（ 过抛物线上点 A（ 切线方程为 y y1=k（ x 因为 ， k= ， 从而过抛物线上点 A（ 切线方程为 y （ x 又切线过点 M（ 所以得 ，即 同理可得过点 B（ 切线方程为 ， 因为 ， ，且 方程 2 的两实根， 所以 所以 = 当 1，即 m=1 时，直线 l 上任意一点 M 均有 当 1，即 m 1 时， 垂直 综上所述，当 m=1 时，直线 l 上存在无穷多个点 M，使 m 1 时，直线 l 上不存在满足 条件的点 M 21设函数 f（ x） =（ x 1） （ 1）当 a=1 时，讨论 f（ x）的单调性； 第 19 页（共 22 页） （ 2）当 a 0 时，设 f（ x）在 x=取得最小值，求证： f（ 1 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 （ 1）当 a=1 时，求出函数 f（ x）的解析式和导函数，利用 f（ x） 0，函数单调递增， f（ x） 0，函数单调递减； （ 2）当 a 0 时，求导，利用导数求得函数的单调性，根据单调性求得函数的最小值，利用f（ =0，求得 a 的值，构造辅助函数 g（ x） = x+1），（ x 1），求导，求出函数的 g（ x）的极大值，由 g（ x） g（ 0） =0，即可证明 f（ 1 【解答】 解：（ 1）当 a=1 时， f（ x） =， 调递增， （ x 1）单调递增， f（ x）在（ 1， +）单调递增，且 f（ 0） =0， 当 1 x 0 时， f（ x） 0；当 x 0 时， f（ x） 0， 故 f（ x）在（ 1， 0）单调递减，在（ 0， +）单调递增； （ 2）证明：当 a 0 时， f（ x） =， 调递增， （ x 1）单调递增， f（ x）在（ 1， +）单调递增 又 f（ 2 1） =e ， 当 b 满足 1 b 且 b 0 时， f（ b） 0，故 f（ x）存在唯一零点，设零点为 当 x （ 1， ， f（ x） 0；当 x （ +）时， f（ x） 0 f（ x）在（ 1， 调递减，在（ +）单调递增， 当 x=， f（ x）取得最小值，由条件可得 x1=f（ x）的最小值为 f（ 由于 f（ =e =0， a= ） 2， f（ = ） = ）， 设 g（ x） = x+1），（ x 1）， 则 g（ x） = 3x） = x（ x+3） 令 g（ x） 0，得 1 x 0；令 g（ x） 0，得 x 0， 故