徐州市2015-2016学年高二上期末数学试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 16 页） 2015年江苏省徐州市高二（上）期末数学试卷（文科） 一、填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5分，共计 70 分） 1抛物线 2x 的焦点坐标是 2命题 “xR， ”的否定为 3底面边长为 2，高为 3 的正三棱锥的体积为 4已知椭圆 + =1 的两个焦点分别为 P 是椭圆上一点，则 周长为 5已 知正方体的体积为 64，则与该正方体各面均相同的球的表面积为 6已知函数 f（ x） = f（ ） = 7双曲线 =1 的焦点到渐近线的距离为 8 “m ”是 “方程 + =1 表示在 y 轴上的 椭圆 ”的 条件（填写 “充分不必要 ”、 “必要不充分 ”、 “充要 ”“既不充分也不必要 ”之一） 9若直线 4x 3y=0 与圆 x2+2x+=0 相切，则实数 a 的值为 10若函数 f（ x） =（ 1， +）上单调增，则实数 a 的最大值为 11已知 F 为椭圆 C： + =1（ a b 0）的右焦点， A、 B 分别为椭圆 C 的左、上顶点，若 垂直平分线恰好过点 A， 则椭圆 C 的离心率为 12若直线 l 与曲线 y=切于点 P，且与直线 y=3x+2 平行，则点 P 的坐标为 13在平面直角坐标系 ，已知圆（ x m 1） 2+（ y 2m） 2=4 上有且只有两个点到原点 O 的距离为 3，则实数 m 的取值范围为 14已知函数 f（ x） =a（ x 1） 2 g（ x） = ，若对任意的 0， e，总存在两个不同的 0， e，使得 f（ =f（ =g（ 则实数 a 的取 值范围为 二、解答题：本大题共 6小题，共计 90分 . 15已知 p： 42x 70， q： a 3xa+3 （ 1）当 a=0 时，若 p 真 q 假，求实数 x 的取值范围； （ 2）若 p 是 q 的充分条件，求实数 a 的取值范围 16如图，在四棱锥 P ，四边形 矩形，平面 平面 M 为点求证： （ 1） 平面 （ 2） 第 2 页（共 16 页） 17已知直线 l 与圆 C： x2+x 4y+a=0 相交于 A， B 两 点，弦 中点为 M（ 0， 1） （ 1）若圆 C 的半径为 ，求实数 a 的值； （ 2）若弦 长为 4，求实数 a 的值； （ 3）求直线 l 的方程及实数 a 的取值范围 18如图， 长方形硬纸片， 00硬纸片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸箱，设切去的小正方形的白边长为 x（ （ 1）若要求纸箱的侧面积 S（ 大，试问 x 应取何值？ （ 2）若要求纸箱的容积 V（ 大，试问 x 应 取何值？ 19在平面直角坐标系 ，椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，连接椭圆C 的四个顶点所形成的四边形面积为 4 （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）如图，过椭圆 C 的下顶点 A 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆 C 于点 M， N，设直线 斜率为 k，直线 l： y= x 分别与直线 于点 P， Q，记 1， 否存在直线 l，使得 = ？若存在，求出所有直线 l 的方程；若不存在，说明理由 第 3 页（共 16 页） 20已知函数 f（ x） =（ aR） （ 1）当 a=1 时，求函数 f（ x）的极大 值； （ 2）若对任意的 x（ 0， +），都有 f（ x） 2x 成立，求 a 的取值范围； （ 3）设 h（ x） =f（ x） +任意的 0， +），且 明： 恒成立 第 4 页（共 16 页） 2015年江苏省徐州市高二（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5分，共计 70 分） 1抛物线 2x 的焦点坐标是 （ 3， 0） 【考点】 抛 物线的简单性质 【分析】 确定抛物线的焦点位置，进而可确定抛物线的焦点坐标 【解答】 解：抛物线 2x 的焦点在 x 轴上，且 p=6， =3， 抛物线 2x 的焦点坐标为（ 3， 0） 故答案为：（ 3， 0） 2命题 “xR， ”的否定为 xR， 0 【考点】 命题的否定 【分析】 直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可 【解答】 解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题 “xR， ”的否定为： xR，0 故答案为： xR， 0 3底面边长为 2，高为 3 的正三棱锥的体积为 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 求出正三棱锥的底面面积，然后求解体积 【解答】 解：底面边长为 2，高为 3 的正三棱锥的体积为： = 故答案为： 4已知椭圆 + =1 的两个焦点分别为 P 是椭圆上一点，则 周长为 18 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 由题意知 a=5， b=3， c=4，从而可得 |2a=10， |2c=8 【解答】 解：由题意作图如右图， 椭圆的标准方程为 + =1， a=5， b=3， c=4， |2a=10， |2c=8， 第 5 页（共 16 页） 周长为 10+8=18； 故答案为： 18 5已知正方体的体积为 64，则与该正方体各面均相同的球的表面积为 16 【考点】 球内接多面体；球的体积和表面积 【分析】 由已知求出正方体的棱长为 4，所以正方体的内切球的半径为 2，由球的表面积公式得到所求 【解答】 解：因为正方体的体积为 64，所以棱长为 4， 所以正方体的内切球的半径为 2，所以该正方体的内切球的表面 积为 422=16 故答案为： 16 6已知函数 f（ x） = f（ ） = 【考点】 导数的运算 【分析】 直接求出函数的导数即可 【解答】 解：函数 f（ x） = f（ x） = f（ ） = 故答案为： 7双曲线 =1 的焦点到渐近线的距离为 2 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求出双曲线 的焦点坐标，渐近线方程，利用距离公式求解即可 【解答】 解：双曲线 =1 的一个焦点（ ， 0），一条渐近线方程为： y= ， 双曲线 =1 的焦点到渐近线的距离为： =2 第 6 页（共 16 页） 故答案为： 2 8 “m ”是 “方程 + =1 表示在 y 轴上的椭圆 ”的 必要不充分 条件（填写 “充分不必要 ”、 “必要不充分 ”、 “充要 ”“既不充分也不必要 ”之一） 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 根据椭圆的定义，求出 m 的范围，结合集合的包含关系判断充分必要性即可 【解答】 解：若 “方程 + =1 表示在 y 轴上的椭圆 ”， 则 ，解得： 1 m ， 故 “m ”是 “方程 + =1 表示在 y 轴上的椭圆 ”的必要不充分条件， 故答案为：必要不充分 9若直线 4x 3y=0 与圆 x2+2x+=0 相切，则实数 a 的值为 1 或 4 【考点】 圆的切线方程 【分析】 把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和圆的半径，然后根据直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于圆的半径，列出关于 a 的方程，求出方程的解即可得到 a 的值 【解答】 解：把圆的方程化为标准方程得：（ x 1） 2+（ y+ ） 2= ， 所以圆心坐标为（ 1， ），半径 r=| |， 由已知直线与圆相切，得到圆心到直线的距离 d= =r=| |， 解得 a= 1 或 4 故答案为： 1 或 4 10若函数 f（ x） =（ 1， +）上单调增，则实数 a 的最大值为 e 【考点】 变化的快慢与变化率 【分析】 根据导数和函数单调性的关系，再分离参数，求出 最值即可 【解答】 解： f（ x） =a 函数 f（ x）在区间（ 1， +）上单调递增 函数 f（ x） =a0 在区间（ 1， +）上恒成立， aex区间（ 1， +）上成立 而 e， ae 故答案为： e 第 7 页（共 16 页） 11已知 F 为椭圆 C： + =1（ a b 0）的右焦点， A、 B 分别为椭圆 C 的左、上顶点，若 垂直平分线恰好过点 A，则椭圆 C 的离心率为 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 利用线段垂直平分线的性质可得线段 垂直平分线的方程，进而得出 【解答】 解：由已知可得： A（ a， 0）， B（ 0， b）， F（ c， 0）， 线段 中点 M ， ，可得线段 垂直平分线的斜率为 线段 垂直平分线的方程为： y = ， 垂直平分线恰好过点 A， 0 = ， 化为： 2e 1=0， 解得 e= 故答案为： 12若直线 l 与曲线 y=，且与直线 y=3x+2 平行，则点 P 的坐标为 （ 1， 1），（ 1， 1） 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 利用直线平行斜率相等求出切线的斜率，再利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率求出切线斜率，列出方程解得即可 【解答】 解：设切点 P（ m， 由 y=导数为 y=3 可得切线的斜率为 k=3 由切线与直线 y=3x+2 平行， 可得 3，解得 m=1， 可得 P（ 1， 1），（ 1， 1） 故答案为：（ 1， 1），（ 1， 1） 13在平面直角坐标系 ，已知圆（ x m 1） 2+（ y 2m） 2=4 上有且只有两个点到原点 O 的距离为 3，则实数 m 的取值范围为 （ ， ） （ 0， 2） 【考点】 圆的标准方程 【分析】 由已知得圆 C：（ x m 1） 2+（ y 2m） 2=4 与圆 O： x2+ 恰有两个交点，由此能求出实数 m 的取值范围 【解答】 解：圆（ x m 1） 2+（ y 2m） 2=4 上有且只有两个点到原点 O 的距离为 3， 圆 C：（ x m 1） 2+（ y 2m） 2=4 与圆 O： x2+ 恰有两个交点， 圆 C 的圆心 C（ m+1， 2m），半径 ， 圆 O 的圆心 O（ 0， 0），半径 ， 第 8 页（共 16 页） 圆心距离 | = ， 3 2 3+2， 解得 m 或 0 m 2 实数 m 的取值范围为（ ， ） （ 0， 2） 故答案为：（ ， ） （ 0， 2） 14已知函数 f（ x） =a（ x 1） 2 g（ x） = ，若对任意的 0， e，总存在两个不同的 0， e，使得 f（ =f（ =g（ 则实数 a 的取值范围为 a 【考点】 导数在最大值、最小值问题中的应用；函数与方程的综合运用 【分析】 求导数，确定函数的单调性，即可求函数 f（ x）的值域； g（ x） （ 0， e，分类讨论，研究 f（ x）的单调性，即可求 a 的取值范围 【解答】 解： g（ x） = ，令 =0，解得 x=1， 0， x（ 0， 1）时， g（ x） 0； x（ 1， e时， g（ x） 0， g（ x）在（ 0， 1上单调递增，在（ 1， e单调单调递减，根据极大值的定义知： g（ x）极大值是 g（ 1） =1，又 g（ 0） =0， g（ e） = ，所以 g（ x）的值域是（ 0， 1 函数 f（ x） =a（ x 1） 2 x 0， f（ x） =22a = ， 令 h（ x） =221， h（ x）恒过（ 0， 1）， 当 a=0 时， f（ x） 0， f（ x）是减函数，不满足题意 h（ x） =0，可得 221=0， =4a， 0 解得 a 2 或 a 0 当 2 a 0 时， h（ x）的对称轴为： x= ， h（ x） 0 恒成立， f（ x） 0， f（ x）是减函数，不满足题意 当 a 2 时， x（ 0， ）， h（ x） 0 恒成立， f（ x） 0， f（ x）是减函数， x ， f（ x） 0， f（ x）是增函数， x ，f（ x） 0， f（ x）是减函数， 若对任意的 0， e，总存在两个不同的 0， e，使得 f（ =f（ =g（ 第 9 页（共 16 页） 可知 f（ x） 极大值 1， f（ x） 极小值 0可得 ， f（ x） =a（ x 1） 2 ，不等式不成立 当 a 0 时， x（ 0， ）， h（ x） 0 恒成立， f（ x） 0， f（ x）是减函数， x ， f（ x） 0， f（ x）是增函数，因为 x=1 时， f（ 1） =0，只需 f（ e）1 可得： a（ e 1） 2 11， 解得 a 综上：实数 a 的取值范围为： a 二、解答题：本大题共 6小题，共计 90分 . 15已知 p： 42x 70， q： a 3xa+3 （ 1）当 a=0 时，若 p 真 q 假，求实数 x 的取值范围； （ 2）若 p 是 q 的充分条件，求实数 a 的取值范围 第 10 页（共 16 页） 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假 【分析】 （ 1）将 a=0 代入 q，求出 x 的范围即可；（ 2）根据集合的包含关系得到关于 a 的不等式组，解出即可 【解答】 解：由 42x 70，解得： x ， q： a 3xa+3 （ 1）当 a=0 时， q： 3x3， 若 p 真 q 假，则 x 3； （ 2）若 p 是 q 的充分条件， 则 ， 解得： x ，（ “=”不同时取到） 16 如图，在四棱锥 P ，四边形 矩形，平面 平面 M 为点求证： （ 1） 平面 （ 2） 【考点】 直线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）连接 点 O，连接 证明出 而根据线面平行的判定定理证明出 平面 （ 2）先证明出 平面 而根据线面垂直的性质证明出 【解答】 证明：（ 1）连接 点 O，连接 M 为 中点， O 为 中点， 面 面 平面 （ 2） 平面 平面 面 面 D， 面 平面 面 第 11 页（共 16 页） 17已知直线 l 与圆 C： x2+x 4y+a=0 相交于 A， B 两点，弦 中点为 M（ 0， 1） （ 1）若圆 C 的半径为 ，求实数 a 的值； （ 2） 若弦 长为 4，求实数 a 的值； （ 3）求直线 l 的方程及实数 a 的取值范围 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 （ 1）利用配方法得到圆的标准方程，根据圆 C 的半径为 ，求实数 a 的值； （ 2）求出直线 l 的方程，求出圆心到直线的距离，根据弦 长为 4，求实数 a 的值； （ 3）点与圆的位置关系即可求出 a 的取值范围 【解答】 解：（ 1）圆的标准方程为（ x+1） 2+（ y 2） 2=5 a， 则圆心 C（ 1， 2），半径 r= ， 圆 C 的半径为 ， = ， a=2； （ 2） 弦的中点为 M（ 0， 1） 直线 斜率 k= 1， 则直线 l 的斜率 k=1， 则直线 l 的方程为 y 1=x，即 x y+1=0 圆心 C 到直线 x y+1=0 的距离 d= = ， 若弦 长为 4，则 2+4=5 a=6， 解得 a= 1； （ 3）由（ 2）可得直线 l 的方程为 x y+1=0 弦 中点为 M（ 0， 1） 点 M 在圆内部，即 ， 5 a 2，即 a 3 18如图， 长方形硬纸片， 00硬纸片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸箱，设切去的小正方形的白边长为 x（ （ 1）若要求纸箱 的侧面积 S（ 大，试问 x 应取何值？ （ 2）若要求纸箱的容积 V（ 大，试问 x 应取何值？ 第 12 页（共 16 页） 【考点】 基本不等式在最值问题中的应用 【分析】 （ 1）求出纸箱的侧面积 S，利用基本不等式，求最大值； （ 2）求出纸箱的容积 V，利用导数，求最大值 【解答】 解：（ 1） S=2x（ 50 2x+80 2x） =2x = ， 当且仅当 4x=130 4x，即 x= 箱的侧面积 S（ 大； （ 2） V=x（ 50 2x）（ 80 2x）（ 0 x V=（ 50 2x）（ 80 2x） 2x（ 80 2x） 2x（ 50 2x） =4（ 3x 100）（ x 10）， 0 x 10， V 0， 10 x V 0， x=10， V 最大 19在平面直角坐标系 ，椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，连接椭圆C 的四个顶点所形成的四边形面积为 4 （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）如图，过椭圆 C 的下顶点 A 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆 C 于点 M， N，设直线 斜率为 k，直线 l： y= x 分别与直线 于点 P， Q，记 别为 否存在直线 l，使得 = ？若存在，求出所有直线 l 的方程；若不存在，说明理由 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）由椭圆的离心率公式及菱形的面积公式求得 a 和 b 的值，可求得椭圆的方程； （ 2）利用椭圆方程及直线 方程求得 k 的 值，求得直线方程 第 13 页（共 16 页） 【解答】 解：（ 1）由题意可知： e= = = ，且 2 ，且 b2= 解得 a=2， b= ， 椭圆的标准方程： ， （ 2）由（ 1）可知， A（ 0， ），则直线 方程为 y=， 将直线方程代入椭圆方程得：消去并整理得：（ 3+48 ， 解得 ， 直线 方程 y= ，同理可得： ， 解得 k，同理可得 ， = =丨 丨 = = ， 即 310=0， 解得 或 ， 所以 = 或 ， 故存在直线 l： y= x， y= x，满足题意 20已知函数 f（ x） =（ aR） （ 1）当 a=1 时，求函数 f（ x）的极大值； （ 2）若对任意的 x（ 0， +），都有 f（ x） 2x 成立，求 a 的