2016年各地中考数学解析版试卷分类汇编(第2期)二次函数

二次函数 一、 选择题 1（ 2016山东省滨州市 3 分 ）抛物线 y=22 x+1 与坐标轴的交点个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【专题】二次函数图象及其性质 【分析】对于抛物线解析式，分别令 x=0 与 y=0 求出对应 y 与 x 的值，即可确定出抛物线与坐标轴的交点个数 【解答】解：抛物线 y=22 x+1， 令 x=0，得到 y=1，即抛物线与 y 轴交点为（ 0， 1）； 令 y=0，得到 22 x+1=0，即（ x 1） 2=0， 解得： x1=，即抛物线与 x 轴交点为（ ， 0）， 则抛物线与坐标轴的交点个数是 2， 故选 C 【点评】此题考查了抛物线与坐标轴的交点，抛物线解析式中令一个未知数为 0，求出另一个未知数的值，确定出抛物线与坐标轴交点 2（ 2016山东省滨州市 3 分 ）在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移 3 个单位长度，然后绕原点选择 180得到抛物线 y=x+6，则原抛物线的解析式是（ ） A y=（ x ） 2 B y=（ x+ ） 2 C y=（ x ） 2 D y=（ x+ ） 2+ 【考点】二次函数图象与几何变换 【分析】先求出绕原点旋转 180的抛物线解析式，求出向下平移 3 个单位长度的解析式即可 【解答】解： 抛物线的解析式为： y=x+6， 绕原点选择 180变为， y= x 6，即 y=（ x ） 2+ ， 向下平移 3 个单位长度的解析式为 y=（ x ） 2+ 3=（ x ） 2 故选 A 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数的图象旋转及平移的法则是解答此题的关键 3（ 2016 广西南宁 3 分）二次函数 y=bx+c（ a0）和正比例函数 y= x 的图象如图所示，则方程 b ） x+c=0（ a0）的两根之和（ ） A大于 0 B等于 0 C小于 0 D不能确定 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【分析】设 bx+c=0（ a0）的两根为 二次函数的图象可知 x1+0， a 0，设方程 b ） x+c=0（ a0）的两根为 a， b 再根据根与系数的关系即可得出结论 【解答】解：设 bx+c=0（ a0）的两根为 由二次函数的图象可知 x1+0， a 0， 0 设方程 b ） x+c=0（ a0）的两根为 a， b，则 a+b= = + ， a 0， 0， a+b 0 故选 C 【点评】本题考查的是抛物线与 x 轴的交点，熟知抛物线与 x 轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键 4（ 2016 贵州毕节 3 分）一次函数 y=ax+b（ a0）与二次函数 y=bx+c（ a0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A B C D 【考点】 二次函数的图象；一次函数的图象 【分析】 本题可先由一次函数 y=ax+b 图象得到字母系数的正负，再与二次函数 y=bx+ 【解答】 解： A、由抛物线可知， a 0，由直线可知，故本选项错误； B、由抛物线可知， a 0， x= 0，得 b 0，由直线可知， a 0， b 0，故本选项错误； C、由抛物线可知， a 0， x= 0，得 b 0，由直线可知， a 0， b 0，故本选项正确； D、由抛物线可知， a 0， x= 0，得 b 0，由直线可知， a 0， b 0 故本选项错误 故选 C 5.（ 2016福建龙岩 4 分）已知抛物线 y=bx+c 的图象如图所示，则 |a b+c|+|2a+b|=（ ） A a+a 2a 3a 【考点】 二次函数图象与系数的关系 【分析】 观察函数图象找出 “a 0， c=0， 2a b 0”，由此即可得出 |a b+c|=a b，|2a+b|=2a+b，根据整式的加减法运算即可得出结论 【解答】 解：观察函数图象，发现： 图象过原点， c=0； 抛物线开口向上， a 0； 抛物线的对称轴 01， 2a b 0 |a b+c|=a b， |2a+b|=2a+b， |a b+c|+|2a+b|=a b+2a+b=3a 故选 D 6.（ 2016广西桂林 3 分）已知直线 y= 3 x+3 与坐标轴分别交于点 A， B，点 P 在抛物线y= （ x 3 ） 2+4 上，能使 等腰三角形的点 P 的个数有（ ） A 3 个 B 4 个 C 5 个 D 6 个 【考点】 二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的判定 【分析】 以点 抛物线于点 C、 M、 N 点，连接 直线 y= x+3 可求出点 A、 合抛物线的解析式可得出 边三角形，再令抛物线解析式中 y=0 求出抛物线与 x 轴的两交点的坐标，发现该两点与 M、 N 重合，结合图形分三种情况研究 等腰三角形，由此即可得出结论 【解答】 解：以点 抛物线于点 C、 M、 N 点，连接 C，如图所示 令一次函数 y= x+3 中 x=0，则 y=3， 点 0， 3）； 令一次函数 y= x+3 中 y=0，则 x+3， 解得： x= ， 点 ， 0） 抛物线的对称轴为 x= ， 点 C 的坐标为（ 2 ， 3）， =C， 等边三角形 令 y= （ x ） 2+4 中 y=0，则 （ x ） 2+4=0， 解得： x= ，或 x=3 点 E 的坐标为（ ， 0），点 F 的坐标为（ 3 ， 0） 等腰三角形分三种情况： 当 P 时，以 度为半径做圆，与抛物线交于 C、 M、 N 三点； 当 P 时，以 度为半径做圆，与抛物线交于 C、 M 两点，； 当 P 时，作线段 垂直平分线，交抛物线交于 C、 M 两点； 能使 等腰三角形的点 P 的个数有 3 个 故选 A 7（ 2016 广西南宁 3 分） 二次函数 y=bx+c（ a0）和正比例函数 y= x 的图象如图所示，则方程 b ） x+c=0（ a0）的两根之和（ ） A大 于 0 B等于 0 C小于 0 D不能确定 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【分析】设 bx+c=0（ a0）的两根为 二次函数的图象可知 x1+0， a 0，设方程 b ） x+c=0（ a0）的两根为 a， b 再根据根与系数的关系即可得出结论 【解答】解：设 bx+c=0（ a0）的两根为 由二次函数的图象可知 x1+0， a 0， 0 设方 程 b ） x+c=0（ a0）的两根为 a， b，则 a+b= = + ， a 0， 0， a+b 0 故选 C 【点评】本题考查的是抛物线与 x 轴的交点，熟知抛物线与 x 轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键 8（ 2016 贵州毕节 3 分） 一次函数 y=ax+b（ a0）与二次函数 y=bx+c（ a0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A B C D 【考点】 二次函数的图象；一次函数的图象 【分析】 本题可先由一次函数 y=ax+b 图象得到字母系数的正负，再与二次函数 y=bx+ 【解答】 解： A、由抛物线可知， a 0，由直线可知，故本选项错误； B、由抛物线可知， a 0， x= 0，得 b 0，由直线可知， a 0， b 0，故本选项错误； C、由抛物线可知， a 0， x= 0，得 b 0，由直线可知， a 0， b 0，故本选项正确； D、由抛物线可知， a 0， x= 0，得 b 0，由直线可 知， a 0， b 0 故本选项错误 故选 C 9（ 2016 广西南宁 3 分） 二次函数 y=bx+c（ a0）和正比例函数 y= x 的图象如图所示，则方程 b ） x+c=0（ a0）的两根之和（ ） A大于 0 B等于 0 C小于 0 D不能确定 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【分析】设 bx+c=0（ a0）的两根为 二次函数的图象可知 x1+0， a 0，设方程 b ） x+c=0（ a0）的两根为 a， b 再根据根与系数的关系即可得出结论 【解答】解：设 bx+c=0（ a0）的两根为 由二次函数的图象可知 x1+0， a 0， 0 设方程 b ） x+c=0（ a0）的两根为 a， b，则 a+b= = + ， a 0， 0， a+b 0 故选 C 【点评】本题考查的是抛物线与 x 轴的交点，熟知抛物线与 x 轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键 10（ 2016 贵州毕节 3 分） 一次函数 y=ax+b（ a0）与二次函数 y=bx+c（ a0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是 （ ） A B C D 【考点】 二次函数的图象；一次函数的图象 【分析】 本题可先由一次函数 y=ax+b 图象得到字母系数的正负，再与二次函数 y=bx+ 【解答】 解： A、由抛物线可知， a 0，由直线可知，故本选项错误； B、由抛物线可知， a 0， x= 0，得 b 0，由直线可知， a 0， b 0，故本选项错误； C、由抛物线可知， a 0， x= 0，得 b 0，由直线可知， a 0， b 0，故本选项正确； D、由抛物线可知， a 0， x= 0，得 b 0，由直线可知， a 0， b 0 故本选项错误 故选 C 11. （ 2016浙江省绍兴市 4 分 ） 抛物线 y=x2+bx+c（其中 b， c 是常数） 过点 A（ 2， 6），且抛物线的对称轴与线段 y=0（ 1x3）有交点，则 c 的值不可能是（ ） A 4 B 6 C 8 D 10 【考点】 二次函数的性质 【分析】 根据抛物线 y=x2+bx+c（其中 b， c 是常数）过点 A（ 2， 6），且抛物线的对称轴与线段 y=0（ 1x3）有交点，可以得到 c 的取值范围，从而可以解答本题 【解答】 解： 抛物线 y=x2+bx+c（其中 b， c 是常数）过点 A（ 2， 6），且抛物线的对称轴与线段 y=0（ 1x3）有交点， 解得 6c14， 故选 A 12. （ 2016湖北随州 3 分 ） 二 次函数 y=bx+c（ a0）的部分图象如图所示，图象过点（1， 0），对称轴为直线 x=2，下列结论：（ 1） 4a+b=0；（ 2） 9a+c 3b；（ 3） 8a+7b+2c 0；（ 4）若点 A（ 3， 点 B（ ， 点 C（ ， 该函数图象上，则 5）若方程 a（ x+1）（ x 5） = 3 的两根为 1 5 中正确的结论有（ ） A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 【考点】 二次函数图象与系数的关系 【分析】 （ 1）正确根据对称轴公式计算即可 （ 2）错误，利用 x= 3 时， y 0，即可判断 （ 3）正确由图象可知抛物线经过（ 1， 0）和（ 5， 0），列出方程组求出 a、 b 即可判断 （ 4）错误利用函数图象即可判断 （ 5）正确利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题 【解答】 解：（ 1）正确 =2， 4a+b=0故正确 （ 2）错误 x= 3 时， y 0， 9a 3b+c 0， 9a+c 3b，故（ 2）错误 （ 3）正确由图象可知抛物线经过（ 1， 0）和（ 5， 0）， 解得 ， 8a+7b+2c=8a 28a 10a= 30a， a 0， 8a+7b=2c 0，故（ 3）正确 （ 4）错误， 点 A（ 3， 点 B（ ， 点 C（ ， 2= ， 2（ ） = ， 点 C 离对称轴的距离近， a 0， 3 2， （ 4）错误 （ 5）正确 a 0， （ x+1）（ x 5） = 3/a 0， 即（ x+1）（ x 5） 0， 故 x 1 或 x 5，故（ 5）正确 正确的有三个， 故选 B 13.（ 2016四川南充 ） 抛物线 y=x+3 的对称轴是（ ） A直线 x=1 B直线 x= 1 C直线 x= 2 D直线 x=2 【分析】先把一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质确定抛物线的对称轴方程 【解答】解： y=x+3=（ x+1） 2+2， 抛物线的对称轴为直线 x= 1 故选 B 【点评】本题考查了二次函数的性质：对于二次函数 y=bx+c（ a0），它的顶点坐标是（ ， ），对称轴为直线 x= 14 （ 2016四川泸州） 已知二次函数 y= 2（ a0）的图象的顶点在第四象限，且过点（ 1， 0），当 a b 为整数时， 值为（ ） A 或 1 B 或 1 C 或 D 或 【考点】 二次函数的性质 【分析】 首先根据题意确定 a、 b 的符号，然后进一步确定 a 的取值范围，根据 a b 为整数确定 a、 b 的值，从而确定答案 【解答】 解：依题意知 a 0， 0， a +b 2= 0， 故 b 0，且 b=2 a， a b= a（ 2 a） =2 a 2， 于是 0 a 2， 2 2a 2 2， 又 a b 为整数， 2a 2= 1， 0， 1， 故 a= ， 1， ， b= ， 1， ， 或 1， 故选 A 15 （ 2016四川攀枝花 ） 如图，二次函数 y=bx+c（ a 0）图象的顶点为 D，其图象与x 轴的交点 A、 1 和 3，则下列结论正确的是（ ） A 2a b=0 B a+b+c 0 C 3a c=0 D当 a= 时， 等腰直角三角形 【考点】二次函数图象与系数的关系 【分析】由于抛物线与 x 轴的交点 A、 1， 3，得到对称轴为直线 x=1，则 =1，即 2a+b=0，得出，选项 当 x=1 时， y 0，得出 a+b+c 0，得出选项 当 x= 1 时， y=0，即 a b+c=0，而 b= 2a，可得到 a与 c 的关系，得出选项 C 错误； 由 a= ，则 b= 1， c= ，对称轴 x=1 与 x 轴的交点为 E，先求出顶点 三角形边的关系得出 为等腰直角三角形，得出选项 D 正确；即可得出结论 【解答】解： 抛物线与 x 轴的交点 A、 1， 3， 抛物线的对称轴为直线 x=1，则 =1， 2a+b=0， 选项 当自变量取 1 时，对应的函数图象在 x 轴下方， x=1 时， y 0，则 a+b+c 0， 选项 1， 0）， a b+c=0，而 b= 2a， a+2a+c=0， 3a+c=0， 选项 C 错误； 当 a= ，则 b= 1， c= ，对称轴 x=1 与 x 轴的交点为 E，如图， 抛物线的解析式为 y= x ， 把 x=1 代入得 y= 1 = 2， D 点坐标为（ 1， 2）， ， ， ， 为等腰直角三角形， 选项 D 正确 故选 D 【点评】本题考查了二次函数 y=bx+c 的图象与系数的关系：当 a 0，抛物线开口向上；抛物线的对称轴为直线 x= ；抛物线与 y 轴的交点坐 标为（ 0， c） 16.（ 2016黑龙江齐齐哈尔 3 分 ） 如图，抛物线 y=bx+c（ a0）的对称轴为直线 x=1，与 x 轴的一个交点坐标为（ 1， 0），其部分图象如图所示，下列结论： 4 方程 bx+c=0 的两个根是 1， ； 3a+c 0 当 y 0 时， x 的取值范围是 1x 3 当 x 0 时， y 随 x 增大而增大 其中结论正确的个数是（ ） A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 【考点】 二次函数图象与系数的关系 【分析】 利用抛物线与 x 轴的交点个数可对 进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的一个交点坐标为（ 3， 0），则可对 进行判断；由对称轴方程得到 b= 2a，然后根据x= 1 时函数值为负数可得到 3a+c 0，则可对 进行判断；根据抛物线在 x 轴上方所对应的自变量的范围可对 进行判断；根据二次函数的性质对 进行判断 【解答】 解： 抛物线与 x 轴有 2 个交点， 40，所以 正确； 抛物线的对称轴为直线 x=1， 而点（ 1， 0）关于直线 x=1 的对称点的坐标为（ 3， 0）， 方程 bx+c=0 的两个根是 1， ，所以 正确； x= =1，即 b= 2a， 而 x= 1 时， y 0，即 a b+c 0， a+2a+c 0，所以 错误； 抛物线与 x 轴的两点坐标为（ 1， 0），（ 3， 0）， 当 1 x 3 时， y 0，所以 错误； 抛物线的对称轴为直线 x=1， 当 x 1 时， y 随 x 增大而增大，所以 正确 故选 B 17 （ 2016湖北黄石 3 分 ） 以 x 为自变量的二次函数 y=2（ b 2） x+1 的图象不经过第三象限，则实数 b 的取值范围是（ ） A b B b1或 b 1 C b2 D 1b2 【分析】 由于二次函数 y=2（ b 2） x+1 的图象不经过第三象限，所以抛物线在 x 轴的下方经过一、二、四象限，根据二次项系数知道抛物线开口方向向上，由此可以确定抛物线与 x 轴有无交点，抛物线与 y 轴的交点的位置，由此即可得出关于 不等式组即可求解 【解答】 解： 二次函数 y=2（ b 2） x+1 的图象不经过第三象限， 抛物线在 x 轴的上方或在 x 轴的下方经过一、二、四象限， 当抛物线在 x 轴的上方时， 二次项系数 a=1， 抛物线开口方向向上， 10， =2（ b 2） 2 4（ 1） 0， 解得 b ； 当抛物线在 x 轴的下方经过一、二、四象限时， 设抛物线与 x 轴的交点的横坐标分别为 x1+（ b 2） 0， 10， =2（ b 2） 2 4（ 1） 0， b 2 0， 1 0， 由 得 b ，由 得 b 2， 此种情况不存在， b ， 故选 A 【点评】 此题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是会根据图象的位置得到关于b 的不等式组解决问题 18 （ 2016湖北荆门 3 分 ） 若二次函数 y=x2+对称轴是 x=3，则关于 x 的方程 x2+的解为（ ） A ， B ， C ， 7 D 1， 【考点】 二次函数的性质；解一元二次方程 【分析】 先根据二次函数 y=x2+对称轴是 x=3 求出 m 的值，再把 m 的值代入方程x2+，求出 x 的值即可 【解答】 解： 二次函数 y=x2+对称轴是 x=3， =3，解得 m= 6， 关于 x 的方程 x2+ 可化为 6x 7=0，即（ x+1）（ x 7） =0，解得 1， 故选 D 19.（ 2016青海西宁 3 分 ） 如图，在 ， B=90， C= ， 点 P 从点 以 1cm/s 的速度移动，动点 开始沿边 点 C 以 2cm/ P， Q 两点分别从 A， 运动过程中， 最大面积是（ ） A 181293考点】 解直角三角形；二次函数的最值 【分析】 先根据已知求边长 根据点 P 和 Q 的速度表示 长，设 面积为 S，利用直角三角形的面积公式列关于 S 与 t 的函数关系式，并求最值即可 【解答】 解： C= ， = ， ， 由题意得： AP=t， t， t， 设 面积为 S， 则 S= Q= 2t（ 6 t）， S= t=（ 6t+9 9） =（ t 3） 2+9， P： 0t6， Q： 0t4， 当 t=3 时， S 有最大值为 9， 即当 t=3 时， 最大面积为 9 故选 C 20. （ 2016陕西 3 分 ） 已知抛物线 y= 2x+3 与 x 轴交于 A、 这条抛物线的顶点记为 C，连接 ） A B C D 2 【考点】 抛物线与 x 轴的交点；锐角三角函数的定义 【分析】 先求出 A、 B、 C 坐标，作 D，根据 即可计算 【解答】 解：令 y=0，则 2x+3=0，解 得 x= 3 或 1，不妨设 A（ 3， 0）， B（ 1， 0）， y= 2x+3=（ x+1） 2+4， 顶点 C（ 1， 4）， 如图所示，作 D 在 ， = =2， 故答案为 D 21. （ 2016四川眉山 3 分 ） 若抛物线 y=2x+3 不动，将平 面直角坐标系 沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直 方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（ ） A y=（ x 2） 2+3 B y=（ x 2） 2+5 C y=1 D y= 【分析】 思想判定出抛物线的平移规律，根据左加右减，上加下减的规律即可解决问题 【解答】 解：将平面直角坐标系 沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，这个相当于把抛物线向左平移有关单位，再向下平移 3 个单位， y=（ x 1） 2+2， 原抛物线图象的解析式应变为 y=（ x 1+1） 2+2 3=1， 故答案为 C 【点评】 本题考查二次函 数图象的平移，解题的关键是理解坐标系的平移和抛物线的平移是反方向的，记住左加右减，上加下减的规律，属于中考常考题型 二、 填空题 1（ 2016山东省 菏泽 市 3 分 ）如图，一段抛物线： y= x（ x 2）（ 0x2）记为 与 x 轴交于两点 O， 1旋转 180得到 x 轴于 2旋转 180得到 x 轴于 如此进行下去，直至得到 点 P（ 11， m）在第 6 段抛物线 m= 1 【考点】二次函数图象 与几何变换；抛物线与 x 轴的交点 【专题】规律型 【分析】将这段抛物线 x 轴的交点，由旋转的性质可以知道 2的顶点到 x 轴的距离相等，且 1 此类推可以推导知道点 P（ 11，m）为抛物线 而得到结果 【解答】解： y= x（ x 2）（ 0x2）， 配方可得 y=（ x 1） 2+1（ 0x2）， 顶点坐标为（ 1， 1）， 2， 0） 1旋转得到， 1 3， 1）， 4， 0）； 照此 类推可得， 5， 1）， 6， 0）； 7， 1）， 8， 0）； 9， 1）， 10， 0）； 11， 1）， 12， 0）； m= 1 故答案为： 1 【点评】本题考查了二次函数的性质及旋转的性质，解题的关键是求出抛物线的顶点坐标 2.（ 2016黑龙江哈尔滨 3 分）二次函数 y=2（ x 3） 2 4 的最小值为 4 【考点】 二次函数的最值 【分析】 题中所给的解析式为顶点式，可直接得到顶点坐标，从而得出解答 【解答】 解：二次函 数 y=2（ x 3） 2 4 的开口向上，顶点坐标为（ 3， 4）， 所以最小值为 4 故答案为： 4 3 （ 2016 河南） 已知 A（ 0， 3）， B（ 2， 3）是抛物线 y= x2+bx+c 上两点，该抛物线的顶点坐标是 （ 1， 4） 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征 【分析】把 A、 可得出方程组，求出方程组的解，即可得出解析式，化成顶点式即可 【解答】解： A（ 0， 3）， B（ 2， 3）是抛物线 y= x2+bx+c 上两点， 代入得： ， 解得： b=2， c=3， y= x+3 =（ x 1） 2+4， 顶点坐标为（ 1， 4）， 故答案为：（ 1， 4） 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征的应用，能求出函数的解析式是解此题的关键 4 （ 2016四川南充 ） 已知抛物线 y=bx+c 开口向上且经过点（ 1， 1），双曲线 y= 经过点（ a， 给出下列结论： 0； b+c 0； b， c 是关于 x 的一元二次方程 a 1） x+ =0 的两个实数根； a b c3其中正确结论是 （填写序号） 【分析】根据抛物线 y=bx+c 开口向上且经过点（ 1， 1），双曲线 y= 经过点（ a， 可以得到 a 0， a、 b、 c 的关系，然后对 a、 b、 c 进行讨论，从而可以判断 是否正确，本题得以解决 【解答】解： 抛物线 y=bx+c 开口向上且经过点（ 1， 1），双曲线 y= 经过点（ a， 0，故 正确； a 1 时，则 b、 c 均小于 0，此时 b+c 0， 当 a=1 时， b+c=0，则与题意矛盾， 当 0 a 1 时，则 b、 c 均大于 0，此时 b+c 0， 故 错误； a 1） x+ =0 可以转化为： b+c） x+，得 x=b 或 x=c，故 正确； b， c 是关于 x 的一元二次方程 a 1） x+ =0的两个实数根， a b c=a（ b+c） =a+（ a 1） =2a 1， 当 a 1 时， 2a 1 3， 当 0 a 1 时， 1 2a 1 3， 故 错误； 故答案为： 【点评】本题考查二次函数与图象的关系，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题 5 （ 2016四川泸州） 若二次函数 y=2 4x 1 的图象与 x 轴交于 A（ 0）、B（ 0）两点，则 + 的值为 【考点】 抛物线与 x 轴的交点 【分析】 设 y=0，则对应一元二次方程的解分别是点 A 和点 B 的横坐标，利用根与系数的关系即可求出 + 的值 【解答】 解： 设 y=0，则 24x 1 =0， 一元二次方程的解分别是点 A 和点 B 的横坐 标，即 =2， ， + = = ， 原式 = = ， 故答案为： 6 （ 2016四川内江 ） 二次函数 y c 的图象如图 11 所示，且 P |2a b| |3b2c|， Q |2a b| |3b 2c|，则 P， Q 的大小关系是 _ 答案 P Q 考点 二次函数的图象及性质。 解析 抛物线的开口向下， a 0 21， b 0 且 a2b |2a b| 0， |2a b| b 2a 抛物线与 y 轴的正半轴相交， c 0 |3b 2c| 3b 2c 由图象可知当 x 1 时， y 0，即 a b c 0 2b b c 0，即 3b 2c 0 |3b 2c| 3b 2c P 0 3b 2c 3b 2c 0， Q b 2a (3b 2c) (b 2c) 0 P Q 故答案为： P Q 7.（ 2016湖北荆州 3 分 ） 若函数 y=（ a 1） 4x+2a 的图象与 x 轴有且只有一个交点，则a 的值 为 1 或 2 或 1 【分析】 直接利用抛物线与 x 轴相交， 4，进而解方程得出答案 【解答】 解： 函数 y=（ a 1） 4x+2a 的图象与 x 轴有且只有一个交点， 当函数为二次函数时， 46 4（ a 1） 2a=0， 解得： 1， ， 当函数为一次函数时， a 1=0，解得： a=1 故答案为： 1 或 2 或 1 【点评】 此题主要考查了抛物线与 x 轴的交点，正确得出关于 a 的方程是解题关键 三、 解答题 1. （ 2016湖北随州 9 分 ） 九年级（ 3）班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种 商品在第 1x90，且 x 为整数）的售价与销售量的相关信息如下已知商品的进价为 30 元 /件，设该商品的售价为 y（单位：元 /件），每天的销售量为 p（单位：件），每天的销售利润为 w（单位：元） 时间 x（天） 1 30 60 90 每天销售量 p（件） 198 140 80 20 （ 1）求出 w 与 x 的函数关系式； （ 2）问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润； （ 3）该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于 5600 元？请直接写出结果 【考点】 二次函数的应用；一元一次不等式的应用 【分析】 （ 1）当 0x50 时，设商品的售价 y 与时间 x 的函数关系式为 y=kx+b，由点的坐标利用待定系数法即可求出此时 y 关于 x 的函数关系式，根据图形可得出当 50 x90 时，y=90再结合给定表格，设每天的销售量 p 与时间 x 的函数关系式为 p=mx+n，套入数据利用待定系数法即可求出 p 关于 x 的函数关系式，根据销售利润 =单件利润 销售数量即可得出 w 关于 x 的函数关系式； （ 2）根据 w 关于 x 的函数关系式，分段考虑其最值问题当 0x50 时，结合二次 函数的性质即可求出在此范围内 w 的最大值；当 50 x90 时，根据一次函数的性质即可求出在此范围内 w 的最大值，两个最大值作比较即可得出结论； （ 3）令 w5600，可得出关于 x 的一元二次不等式和一元一次不等式，解不等式即可得出 此即可得出结论 【解答】 解：（ 1）当 0x50 时，设商品的售价 y 与时间 x 的函数关系式为 y=kx+b（ k、 k0）， y=kx+b 经过点（ 0， 40）、（ 50， 90）， ，解得： ， 售价 y 与时间 x 的函数关系式为 y=x+40； 当 50 x90 时， y=90 售价 y 与时间 x 的函数关系式为 y= 由书记可知每天的销售量 p 与时间 x 成一次函数关系， 设每天的销售量 p 与时间 x 的函数关系式为 p=mx+n（ m、 n 为常数，且 m0）， p=mx+n 过点（ 60， 80）、（ 30， 140）， ，解得： ， p= 2x+200（ 0x90，且 x 为整数）， 当 0x50 时， w=（ y 30） p=（ x+40 30）（ 2x+200） = 280x+2000； 当 50 x90 时， w=（ 90 30）（ 2x+200） = 120x+12000 综上所示，每天的销售利润 w 与时间 x 的函数关系式是w= （ 2）当 0x50 时， w= 280x+2000= 2（ x 45） 2+6050， a= 2 0 且 0x50， 当 x=45 时， w 取最 大值，最大值为 6050 元 当 50 x90 时， w= 120x+12000， k= 120 0， w 随 x 增大而减小， 当 x=50 时， w 取最大值，最大值为 6000 元 6050 6000， 当 x=45 时， w 最大，最大值为 6050 元 即销售第 45 天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是 6050 元 （ 3）当 0x50 时，令 w= 280x+20005600，即 280x 36000， 解得： 30x50， 50 30+1=21（天）； 当 50 x90 时，令 w= 120x+120005600，即 120x+64000， 解得： 50 x53 ， x 为整数， 50 x53， 53 50=3（天） 综上可知： 21+3=24（天）， 故该商品在销售过程中，共有 24 天每天的销售利润不低于 5600 元 2. （ 2016湖北随州 12 分 ） 已知抛物线 y=a（ x+3）（ x 1）（ a0），与 x 轴从左至右依次相交于 A、 y 轴相交于点 C，经过点 y= x+b 与抛物线的 另一个交点为 D （ 1）若点 D 的横坐标为 2，求抛物线的函数解析式； （ 2）若在第三象限内的抛物线上有点 P，使得以 A、 B、 P 为顶点的三角形与 似，求点 P 的坐标； （ 3）在（ 1）的条件下，设点 E 是线段 的一点（不含端点），连接 动点 Q 从点 线段 每秒 1 个单位的速度运动到点 E，再沿线段 每秒 个单位的速度运动到点 D 后停止，问当点 E 的坐标是多少时，点 Q 在整个运动过程中所用时间最少？ 【考点】 二次函数综合题 【分析】 （ 1）根据二次函数的交点式确定点 A、 出直线的解析式，求出点 出抛物线的解析式； （ 2）作 x 轴于 H，设点 P 的坐标为（ m， n），分 据相似三角形的性质计算即可； （ 3）作 x 轴交抛物线于 M，作 x 轴于 N，作 F，根据正切的定义求出 Q 的运动时间 t=F 时， t 最小即可 【解答】 解：（ 1） y=a（ x+3）（ x 1）， 点 3， 0）、点 1， 0）， 直线 y= x+b 经过点 A， b= 3 ， y= x 3 ， 当 x=2 时， y= 5 ， 则点 D 的坐标为（ 2， 5 ）， 点 D 在抛物线上， a（ 2+3）（ 2 1） = 5 ， 解得， a= ， 则抛物线的解析式为 y= （ x+3）（ x 1） = 2 x+3 ； （ 2）作 x 轴于 H， 设点 P 的坐标为（ m， n）， 当 ， = ， = ，即 n= a（ m 1）， ， 解得， 4， （不合题意，舍去）， 当 m= 4 时， n=5a， = ，即 C 42= ， 解得， （不合题意，舍去）， ， 则 n=5a= ， 点 P 的坐标为（ 4， ）； 当 ， = ， = ，即 n= 3a（ m 1）， ， 解得， 6， （不合题意，舍去）， 当 m= 6 时， n=21a， = ，即 C 42= ， 解得， （不合题意，舍去）， ， 则点 P 的坐标为（ 6， ）， 综上所述，符合条件的点 P 的坐标为（ 4， ）和（ 6， ）； （ 3）作 x 轴交抛物线于 M，作 x 轴于 N，作 F， 则 = = ， 0， 0， = Q 的运动时间 t= + =F， 当 线时， t 最小， 则 y= 4 3. （ 2016湖北 武汉 10 分 ） 某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销 x 件已知产销两种产品的有关信息如下表： 产品 每件售价（万元） 每件成本（万元） 每年其他费用（万元） 每年最大产