河北省邯郸市2015-2016学年高一上期末数学试题含答案解析

第 1 页（共 16 页） 2015年河北省邯郸市高一（上）期末数学试卷 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知集合 A=1， 2， 3， B=1， 3，则 AB=（ ） A 2 B 1， 2 C 1， 3 D 1， 2， 3 2已知直线 l 的方程为 y= x+1，则该直线 l 的倾斜角为（ ） A 30 B 45 C 60 D 135 3函数 f（ x） = 的定义域是（ ） A 3， 1 B（ 3， 1） C（ ， 3 1， +） D（ ， 3） （ 1， +） 4函数 y=f（ x）的图象与直线 x=1 的公共点数目是（ ） A 1 B 0 C 0 或 1 D 1 或 2 5底面边长为 2 的正四棱锥 V ，侧棱长为 ，则二面角 V C 的度数为（ ） A 30 B 60 C 90 D 120 6 a=， b= c=（ ） ） A a b c B a c b C b c a D b a c 7设 m， n 是两条不同直线， ， 是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A m ， n 且 ，则 m n B m ， n 且 ，则 m n C m ， n， m n，则 D m， n， m ， n ，则 8函数 y=e|图象大致为（ ） A B CD 9圆台的上下底面半径分别为 1 和 2，它的侧面展开图对应扇形的圆心角为 180，那么圆台的表面积是（ ） A 5 B 7 C 9 D 11 10下列函数中，与 y= 的奇偶性和单调性都相同的是（ ） 第 2 页（共 16 页） A f（ x） =x 1 B f（ x） =x C f（ x） = f（ x） =1如图是一个四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（ ） A 16 B 12 C 9 D 8 12定义域为 R 的偶函数 f（ x）满足：对任意 x R 都有 f（ 2 x） =f（ x），且当 x 0，1时， f（ x） =x 1，若函数 y=f（ x） x+1）在（ 0， +）上至少有三个零点，则 ） A（ 0， ） B（ ， 1） C（ 0， ） D（ ， 1） 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13在正方体 ， 成的角是 14已知函数 f（ x） = ，则 f（ ） +f（ 2）的值为 15已知集合 A=x|x 1=0，若集合 A 中只有一个元素，则实数 m 的值为 16已知三棱锥 S 有顶点都在球 O 的球面上，且 平面 B=1， 20，则球 D 的表面积为 三、解答题（共 6 小题，满分 70 分） 17已知点 A（ 2， 1）， B（ 2， 3）， C（ 0， 3） （ 1）若 中点为 D，求直线 方程； （ 2）求 面积 18如图 圆 O 的直径，点 C 是圆 O 上不同于 A， B 的一点，点 V 是圆 O 所在平面外一点 （ ）若点 E 是 中点，求证： 平面 （ ）若 B=B，求直线 平面 成角 第 3 页（共 16 页） 19已知直线 2x y=0 和直线 3x y 1=0，它们的交点为 A，分别求满足下列条件的直线方程 （ ）若直线 m 过点 A 且与直线 3x+y 2=0 平行，求直线 m 的方程； （ ）若点 A 关于直线 x y+2=0 的对称点为点 A，直线 n 经过 A且与直线 m 垂直，求 直线 n 的方程 20如图所示的几何体中，四边形 等腰梯形， 0， 平面 D=CF=a （ ）求证：平面 平面 （ ）求三棱锥 A 体积 21某企业生产 A、 B 两种产品，根据市场调查与市场预测， A 产品的利润与投资成正比，其关系如图（ 1）； B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（ 2）（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元） （ 1）分别求出 A、 B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式； （ 2）该企业已筹集到 10 万元资金，并全部投入 A、 B 两种产品的生产，问：怎样分配这10 万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 22已知函数 f（ x） =3x， x 1， 1，函数 g（ x） =f（ x） 2 2x） +3 （ ）当 a=0 时，求函数 g（ x）的值域； （ ）若函数 g（ x）的最小值为 h（ a），求 h（ a）的表达式； （ ）是否存在实数 m， n 同时满足下列两个条件： m n 3； 当 h（ a）的定义 域为n， m时，值域为 若存在，求出 m， n 的值；若不存在，请说明理由 第 4 页（共 16 页） 2015年河北省邯郸市高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知集合 A=1， 2， 3， B=1， 3，则 AB=（ ） A 2 B 1， 2 C 1， 3 D 1， 2， 3 【考点】 交集及其运算 【分析】 直接利用集合的交集的求法求解即可 【解答】 解：集合 A=1， 2， 3， B=1， 3，则 AB=1， 3 故选： C 2已知直线 l 的方程为 y= x+1，则该直线 l 的倾斜角为（ ） A 30 B 45 C 60 D 135 【考点】 直线的倾斜角 【分析】 利用直线的倾斜角与斜率之间的关系即可得出 【解答】 解：设此直线的倾斜角为 ， 0， 180） 直线的斜截式方程是 y= x+1， ， =60 故选： C 3 函数 f（ x） = 的定义域是（ ） A 3， 1 B（ 3， 1） C（ ， 3 1， +） D（ ， 3） （ 1， +） 【考点】 函数的定义域及其求法 【分析】 由根式内部的代数式大于 0 求解一元二次不等式得答案 【解答】 解：由 x 3 0， 得（ x 1）（ x+3） 0， 即 x 3 或 x 1 函数 f（ x） = 的定义域是（ ， 3） （ 1， +） 故选： D 4 函数 y=f（ x）的图象与直线 x=1 的公共点数目是（ ） A 1 B 0 C 0 或 1 D 1 或 2 【考点】 函数的概念及其构成要素 【分析】 根据函数的定义，对于每一个自变量的值，有且只有一个元素与它对应，需要针对于函数在 x=1 处有没有定义，若有则有一个交点，若没有，则没有交点，综合可得答案 【解答】 解：若函数在 x=1 处有意义， 在函数 y=f（ x）的图象与直线 x=1 的公共点数目是 1， 第 5 页（共 16 页） 若函数在 x=1 处无意义，在两者没有交点， 有可能没有交点，如果有交点，那么仅有一个 故选 C 5底面边长为 2 的正四 棱锥 V ，侧棱长为 ，则二面角 V C 的度数为（ ） A 30 B 60 C 90 D 120 【考点】 二面角的平面角及求法 【分析】 过 V 作平面 垂线 平面 O 点，过 O 作 E，连结 二面角 V C 的平面角，由此能求出二面角 V C 的度数 【解答】 解：过 V 作平面 垂线 平面 O 点， 过 O 作 E，连结 由三垂线定理的逆定理得 二面角 V C 的平面角， 底面边长为 2 的正四棱锥 V ，侧棱长为 ， E=， =2， ， 0， 二面角 V C 的度数为 60 故选： B 6 a=， b= c=（ ） ） A a b c B a c b C b c a D b a c 【考点】 对数值大小的比较 【分析】 利用指数与对数函数的单调性即可得出 【解答】 解： a= 0， b=1， 0 c=（ ） 1， a c b 故选： B 第 6 页（共 16 页） 7设 m， n 是两条不同直线， ， 是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A m ， n 且 ，则 m n B m ， n 且 ，则 m n C m ， n， m n，则 D m， n， m ， n ，则 【考点】 平面与平面垂直的性质 【分析】 对于 A、由面面平行的判定定理，得 A 是假命题 对于 B、由 m ， n 且 ，可知 m 与 n 不平行，借助于直线平移先得到一个与 m 或n 都平行的平面， 则所得平面与 、 都相交，根据 m 与 n 所成角与二面角平面角互补的结论 对于 C、通过直线与平面平行的判定定理以及平面与平面平行的性质定理，判断正误即可； 对于 D、利用平面与平面平行的判定定理推出结果即可 【解答】 解：对于 A，若 m ， n 且 ，说明 m、 n 是分别在平行平面内的直线，它们的位置关系应该是平行或异面，故 A 错； 对于 B，由 m ， n 且 ，则 m 与 n 一定不平行，否则有 ，与已知 矛盾，通过平移使得 m 与 n 相交， 且设 m 与 n 确定的平面为 ，则 与 和 的交线所成的角即为 与 所成的角，因为 ，所以 m 与 n 所成的角为 90， 故命题 B 正确 对于 C，根据面面垂直的性质，可知 m ， n， m n， n ， 也可能 =l，也可能 ，故 C 不正确； 对于 D，若 “m， n， m ， n ”，则 “ ”也可能 =l，所以 D 不成立 故选 B 8函数 y=e|图象大致为（ ） A B CD 【考点】 函数的图象 【分析】 根据复合函数的单调性即可判断 【解答】 解：因为 t=| ， 当 0 x 1 时，函数 y=|减函数， 第 7 页（共 16 页） 当 x 1 时，函数 y=|增函数， 又因为 y=增函 数， 所以 y=e|（ 0， 1）上为减函数，在 1， +）为增函数， 故选： A 9圆台的上下底面半径分别为 1 和 2，它的侧面展开图对应扇形的圆心角为 180，那么圆台的表面积是（ ） A 5 B 7 C 9 D 11 【考点】 旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 【分析】 作出圆台侧面展开图，根据圆台的结构特征求出圆台的母线长，代入面积公式计算 【解答】 解：作出圆台侧面展开图如图所示，则 1， 2， ， ， 圆台的母线 l= 圆台的表面积 S= 12+ 22+ 1 2+ 2 2=11 故选： D 10下列函数中，与 y= 的奇偶性和单调性都相同的是（ ） A f（ x） =x 1 B f（ x） =x C f（ x） = f（ x） =考点】 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明 【分析】 先判断出 y=x 的奇偶性和单调性，再根据指数函数、二次函数、幂函数的奇偶性和单 调性，依次判断出个选项中函数的奇偶性和单调性，可得答案 【解答】 解：函数 y= 是奇函数，且在 R 上是单调递增函数， A、 f（ x） =x 1 是奇函数，且在 R 上不是单调递增函数，故 A 不正确； B、 f（ x） = 不是奇函数，故 B 不正确； C、 f（ x） =偶函数，故 C 不正确； D、 f（ x） = x R，又 f（ x） = f（ x），所以此函数是奇函数， y= R 上是增函数，故 D 正确， 故选 D 11如图是一个四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（ ） 第 8 页（共 16 页） A 16 B 12 C 9 D 8 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 根据四棱锥的三视图，得出该四棱锥底面为直角梯形的直四棱锥，结合图中数据求出它的体积 【解答】 解：根据四棱锥的三视图，得； 该四棱锥是如图所示的直四棱锥， 四棱锥的底面为直角梯形，梯形的上底长为 2，下底长为 4，高为 4； 所以，该四棱锥的体积为 V= S 底面积 h= （ 2+4） 4 4=16 故选： A 12定义域为 R 的偶函数 f（ x）满足：对任意 x R 都有 f（ 2 x） =f（ x），且当 x 0，1时， f（ x） =x 1，若函数 y=f（ x） x+1）在（ 0， +）上至少有三个零点，则 ） A（ 0， ） B（ ， 1） C（ 0， ） D（ ， 1） 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 由 f（ 2 x） =f（ x）得出函数的周期，由 y=f（ x） x+1） =0 得到 f（ x） =x+1），利用函数的周期性和偶函数的性质，分别作出函数 y=f（ x）和 y=x+1）的图象，利用图象确定 a 的取值范围 【解答】 解：对任意 x R 都有 f（ 2 x） =f（ x） f（ x）的周期是 2， 且当 x 0， 1时， f（ x） =x 1， x 1， 0时， f（ x） = x 1， 若函数 y=f（ x） x+1）在（ 0， +）上至少有三个零点， 即 f（ x）和 y=x+1）在（ 0， +）上至少有三个零点， 画出函数图象，如图示： 第 9 页（共 16 页） 由图象得： 1，解得； 0 a ， 故选： C 二、填空题（ 共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13在正方体 ， 成的角是 60 【考点】 异面直线及其所成的角 【分析】 通过平移直线作出异面直线 成的角，在三角形中即可求得 【解答】 解：如图，连结 在正方体 ， 由 1知 所以 是异面直线 成角， 在正方体 ， 其三个面上的对角线，它们相等 所以 正三角形， 0 故异面直线 成角的大小为 60 故答案为 60 14已知函数 f（ x） = ，则 f（ ） +f（ 2）的值为 【考点】 函数的值 【分析】 利用分段函数的性质即可得出 第 10 页（共 16 页） 【解答】 解： 函数 f（ x） = ， f（ ） = = 2 f（ 2） =2 2= 则 f（ ） +f（ 2） = 2+ = 故答案为： 15已知集合 A=x|x 1=0，若集合 A 中只有一个元素，则实数 0或 1 【考点】 集合的表示法 【分析】 当 m=0 时，经检验满足条件；当 m 0 时，由判别式 =4+4m=0，解得 m 的值，由此得出结论 【解答】 解：当 m=0 时，显然满足集合 x|x 1=0有且只有一个元素， 当 m 0 时，由集合 x|x 1=0有且只有一个元素，可得判别式 =4+4m=0，解得 m= 1， 实数 m 的值为 0 或 1 故答案为： 0 或 1 16已知三棱锥 S 有 顶点都在球 O 的球面上，且 平面 B=1， 20，则球 D 的表面积为 8 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 求出 得 接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积 【解答】 解： ， ， 20， = ， 三角形 外接圆直径 2r= =2， r=1， 面 ，三角形 等腰三角形， 该三棱锥的外接球的半径 R= ， 该三棱锥的外接球的表面积为 S=4 （ ） 2=8 故答案为： 8 三、解答题（共 6 小题，满分 70 分） 17已知点 A（ 2， 1）， B（ 2， 3）， C（ 0， 3） （ 1）若 中点为 D，求直线 方程； （ 2）求 面积 【考点】 中点坐标公式；点到直 线的距离公式 【分析】 （ 1）利用中点坐标公式、两点式即可得出 第 11 页（共 16 页） （ 2）利用两点之间的距离公式可得 |再利用点到直线的距离公式可得 A（ 2， 1）到直线 距离 d，利用三角形面积计算公式即可得出 【解答】 解：（ 1） B（ 2， 3）， C（ 0， 3）， D（ 1， 0）， 直线 方程为 整理得： x 3y+1=0 （ 2） B（ 2， 3）， C（ 0， 3）， ， 又直线 方程为 3x+y+3=0，则 A（ 2， 1）到直线 距离为 面积为 18如图 圆 O 的直径，点 C 是圆 O 上不同于 A， B 的一点，点 V 是圆 O 所在平面外一点 （ ）若点 E 是 中点，求证： 平面 （ ）若 B=B，求直线 平面 成角 【考点】 直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定 【分析】 （ ）由 三角形中位线定理得 此能证明 平面 （ ）连接 导出 直线 平面 成角，由此能求出直线 平面 成角 【解答】 证明：（ ）在 ， O、 E 分为 点， 又 面 面 平面 解：（ ）连接 O 为 中点，且 B， 又 C、 C， 平面 直线 平面 成角， B=2 0 直线 平面 成角为 60 第 12 页（共 16 页） 19已知直线 2x y=0 和直线 3x y 1=0，它们的交点为 A，分别求满足下列条件的直线方程 （ ）若直线 m 过点 A 且与直线 3x+y 2=0 平行，求直线 m 的方程； （ ）若点 A 关于直线 x y+2=0 的对称点为点 A，直线 n 经过 A且与直线 m 垂直，求直线 n 的方程 【考点】 待定系数法求直线方程；直线的一般式方程与直线的平行关系 【分析】 （ 1）求出交点 A 的坐标，代入所求方程即可； （ 2）求出 A坐标，求出直线 n 的斜率，从而求出直线 n 的方程 【解答】 解：（ ）由题意联立直线方程 ，解得 A（ 1， 2） 又因为直线 3x+y 2=0 的斜率为 3，则直线 m 的方程为 3x+y 5=0 （ ）设 A（ m， n），则 ，解得 ，即 A（ 0， 3） 又因为与直线 3x+y 5=0 垂直的直线 n 的斜率为 ， 则所求直线方程为 ， 得直线 n 的方程为 x 3y+9=0 20如图所示的几何体中，四边形 等腰梯形， 0， 平面 D=CF=a （ ）求证：平面 平面 （ ）求三棱锥 A 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ I）根据等腰三角 形和等腰梯形性质可得 0，又 出 平面 而平面 平面 第 13 页（共 16 页） （ F 【解答】 证明：（ ）在等腰梯形 ， 0， 20 又 D， 0， 0，即 又 平面 面 E=A， 平面 又 面 平面 平面 （ ） D=AD=a， 20， S = ， 平面 CF=a， ， 三棱锥 A 体积为 21某企业生产 A、 B 两种产品，根据市场调查与市场预测， A 产品的利润与投资成正比，其关系如图（ 1）； B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（ 2）（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位 为万元） （ 1）分别求出 A、 B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式； （ 2）该企业已筹集到 10 万元资金，并全部投入 A、 B 两种产品的生产，问：怎样分配这10 万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 【考点】 函数模型的选择与应用 【分析】 （ 1）根据函数的模型设出函数解析式，从两个图中分别找出特殊点坐标，代入函数解析式求出两个函数解析式 （ 2）将企业获利表示成对产品 B 投资 x 的函数；令 ，将 函数转化为二次函数，求出对称轴，求出函数的最值 【解答】 解：（ 1）设投资为 x 万元， A 产品的利润为 f（ x）万元， B 产品的利润为 g（ x）万元， 第 14 页（共 16 页） 由题意知 f（ x） =， 由图可知 f（ 2） =1， ， g（ 4） =4， 从而 ， （ 2）设 A 产品投入 x 万元，则 B 产品投入（ 10 x）万元 ，设企业利润为 y 万元 则 ， 令 ，则 ， 当 t=2 时， ，此时 x=10 4=6（万元） 所以当 A 产品投入 6 万元， B 产品投入 4 万元时，企业获得