2016年山东省德州市高考数学二模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 21 页） 2016 年山东省德州市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题：本大题共 题，每小题 5分，共 50分把正确答案涂在答题卡上 1 R 表示实数集，集合 M=x|0 x 2， N=x|x2+x 60，则下列结论正确的是（ ） A MC M已知复数 z 满足 z（ 1 i） =2，则 虚部是（ ） A 4B 4 4 4 3已知命题 p： xR， x+3=0，则 p 是（ ） A xR， x+30B xR， x+3=0 C xR， x+30D xR， x+3=0 4两个相关变量满足如下关系： x 2 3 4 5 6 y 25 50 56 64 根据表格已得回归方程： =中有一数据模糊不清，请推算该数据是（ ） A 37B 39D 把函数 图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵 坐标不变），再将图象向右平移 个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（ ） A B C D 6一个几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图和侧（左）视图是腰长为 l 的两个全等的等腰直角三角形，则该多面体的各条棱中最长棱的长度 为（ ） A B C D 7已知双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的焦距为 2 ，抛物线 y= 与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线 C 的方程为（ ） A =1B =1C =1D 8在（ 1+ ）（ 1+ ） （ 1+ ）（ nN+， n2）的展开式中， x 的系数为 ，则 系数为（ ） 第 2 页（共 21 页） A B C D 9设集合 M=（ m， n） |0 m 2， 0 n 2， m， nR，则任取（ m， n） M，关于 x 的方程 x+n=0 有实根的概率为（ ） A B C D 10已知函数 f（ x） = 的值域是 0， 2，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ 0， 1B 1， C 1， 2D ， 2 二、填空题：本大题共 5小题，每小题 5分，共 25分把答案填在答题卡的相应位置 11已知 | |=1， | |= ， | +2 |= ，则向量 ， 的夹角为 12若存在实数 x 使 |x a|+|x 1|3 成立，则实数 a 的取值范围是 13已知变量 x， y 满足 ，则 的最大值为 14执行如图所示的程序框图，若输入 x=6，则输出 y 的值为 15已知函数 f（ x） = ， g（ x） =5 2a（ a 0），若对任意的 0， 1，总存在 0， 1，使得 f（ =g（ 立，则实数 a 的取值范围是 三、解答题：本大题共 6小题，共 75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16已知函数 f（ x） =2x+ ） （ 1）求 f（ x）的最小正周期及 x ， 时 f（ x）的值域； 第 3 页（共 21 页） （ 2）在 ，角 A、 B、 C 所对的边为 a， b， c，且角 C 为锐角， S ， c=2，f（ C+ ） = 求 a， b 的值 17在一次购物抽奖活动中，假设某 奖券中有一等奖券 1 张，可获得价值 100 元的奖品，有二等奖券 3 张，每张可获得价值 50 元的奖品，其余 6 张没有奖，某顾客从此 奖券中任抽 2 张，求 （ I）该顾客中奖的概率； （ ）该顾客获得奖品总价值 X 的 概率分布列和数学期望 18已知数列 足 ， + an= 1（ nN），数列 前 n 项和为 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设 ， 数列 前 n 项和，求使得 对所有 nN，都成立的最小正整数 m 19如图，在四棱锥 P ， 平面 D=2 ， ， ，点 M 在线段 （ I）求证： （ ）若二面角 M D 的余弦值为 ，求 平面 成角的正弦值 20 已知函数 f（ x） = a 1） x aR 且 a0） （ I）求函数 f（ x）的单调递增区间； （ ）记函数 y=F（ x）的图象为曲线 C设点 A（ B（ 曲线 C 上的不同两点如果在曲线 C 上存在点 M（ 使得： ； 曲线 C 在点 M 处的切线平行于直线 称函数 F（ x）存在 “中值和谐切线 ”当 a=2 时，函数 f（ x）是否存在 “中值和谐切线 ”，请说明理由 21如图，椭圆 E： 的右焦点 抛物线 x 的焦点重合，过 x 轴垂直的直线 l 与椭圆交于 S、 T 两点，与抛物线交于 C、 D 两点，且 （ ）求椭圆 E 的方程； （ ）若过点 M（ 2， 0）的直线与椭圆 E 相交于两点 A， B，设 P 为椭圆 E 上一点，且满足 （ O 为坐标原点），当 时，求实数 t 的取值范围 第 4 页（共 21 页） 第 5 页（共 21 页） 2016 年山东省德州市高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 题，每小题 5分，共 50分把正确答案涂在答题卡上 1 R 表示实数集，集合 M=x|0 x 2， N=x|x2+x 60，则下列结论正确的是（ ） A MC M考点】 元素与集合关系的判断 【分析】 化简 N=x|x2+x 60=x| 3x2，从而确定 MN；从而求得 【解答 】 解： N=x|x2+x 60=x| 3x2， 而 M=x|0 x 2， MN； 故选 D 2已知复数 z 满足 z（ 1 i） =2，则 虚部是（ ） A 4B 4 4 4 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出 【解答】 解：复数 z 满足 z（ 1 i） =2， z（ 1 i）（ 1+i） =2（ 1+i）， z=1+i， i， 则 2i） 2（ 1+i） = 4（ 1+i） = 4 4i 的虚部是 4 故选： D 3已知命题 p： xR， x+3=0，则 p 是（ ） A xR， x+30B xR， x+3=0 C xR， x+30D xR， x+3=0 【考点】 命题的否定 【分析】 直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可 【解答】 解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题 p： xR， x+3=0，则 p 是：xR， x+30 故选： A 4两个相关变量满足如下关系： x 2 3 4 5 6 y 25 50 56 64 根据表格已得回归方程： =中有一数据模糊不清，请推算该数据是（ ） A 37B 39D 考点】 线性回归方程 【分析】 求出 代入回归方程解出 ，从而得出答案 【解答】 解： = ， =+ 第 6 页（共 21 页） 设看不清的数据为 a，则 25+a+50+56+64=5 =234 解得 a=39 故选 C 5把函数 图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再将图象向右平移 个单位，那么所得图象的一条对称轴方程 为（ ） A B C D 【考点】 正弦函数的对称性 【分析】 先对函数 进行图象变换，再根据正弦函数对称轴的求法，即令x+= 即可得到答案 【解答】 解： 图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 ； 再将图象向右平移 个单位，得函数 ，根据对称轴处一定取得最大值或最小值可知 是其图象的一条对称轴方程 故选 A 6一个几何体的 三视图如图所示，其中正（主）视图和侧（左）视图是腰长为 l 的两个全等的等腰直角三角形，则该多面体的各条棱中最长棱的长度为（ ） A B C D 【考点】 简单空间图形的三视图 【分析】 几何体为四棱锥，底面是正方形，根据三视 图数据计算出最长棱即可 【解答】 解：由三视图可知几何体为四棱锥 P 中底面 正方形， 平面 且 B=1， 几何体的最长棱为 = 故选 B 第 7 页（共 21 页） 7已知双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的焦距为 2 ，抛物线 y= 与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线 C 的方程为（ ） A =1B =1C =1D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 由题意可得 c= ，即 a2+，求出渐近线方程代入抛物线的方程，运用判别式为 0，解方程可得 a=2， b=1，进而得到双曲线的方程 【解答】 解：由题意可得 c= ，即 a2+， 双曲线的渐近线方程为 y= x， 将渐近线方程和抛物线 y= 联立， 可得 x+ =0， 由直线和抛物线相切的条件，可得 = 4 =0， 即有 解得 a=2， b=1， 可得双曲线的方程为 故选： D 8在（ 1+ ）（ 1+ ） （ 1+ ）（ nN+， n2）的展开式中， x 的系数为 ，则 系数为（ ） 第 8 页（共 21 页） A B C D 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 在（ 1+ ）（ 1+ ） （ 1+ ）（ nN+， n2）的展开式中， x 的系数 = + ，可得 1 = ，解得 n=4因此（ 1+ ）（ 1+ ） 的展开式中 + + + ，即可得出 【解答】 解：在（ 1+ ）（ 1+ ） （ 1+ ）（ nN+， n2）的展开式中， x 的系数 =+ = =1 ， 1 = ，解得 n=4 （ 1+ ）（ 1+ ） 的展开式中 系数为： + + + = 故选： C 9设集合 M=（ m， n） |0 m 2， 0 n 2， m， nR，则任取（ m， n） M，关于 x 的方程 x+n=0 有实根的概率为（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 首先根据关于 x 的方程 x+n=0 有实根，推得 ；然后作出图象，求出相应的面积；最后根据几何概型的概率的求法，关于 x 的方程 x+n=0 有实根的概率即可 【解答】 解：若关于 x 的方程 x+n=0 有实根，则 =22 4， ； M=（ m， n） |0 m 2， 0 n 2， m， nR，总事件表示的面积为 22=4， 方程有实根时，表示的面积为 2 +2 +=1+2 关于 x 的方程 x+n=0 有实根的概率为 ， 故选： B 第 9 页（共 21 页） 10已知函数 f（ x） = 的值域是 0， 2，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ 0， 1B 1， C 1， 2D ， 2 【考点】 分段函数的应用 【分析】 画出函数的图象，令 y=2 求出临界值，结合图象，即可得到 a 的取值范围 【解答】 解： 函数 f（ x） = 的图象如下图所示： 函数 f（ x）的值域是 0， 2， 10， a，即 a1， 又由当 y=2 时， 3x=0， x= （ 0， 舍去）， a a 的取值范围是 1， 故选： B 二、填空题：本大题共 5小题，每小 题 5分，共 25分把答案填在答题卡的相应位置 11已知 | |=1， | |= ， | +2 |= ，则向量 ， 的夹角为 4 【考点】 平面向量数量积的运算 第 10 页（共 21 页） 【分析】 | +2 |= ，则两边平方，运用向量的数量积的定义和向量的平方等于向量的模的平方，即可得到答案 【解答】 解：设向量 ， 的夹角 为 ， | |=1， | |= ， | +2 |2=| |2+4| |2+4| | |+42+4 ， ， 0， = 故答案为： 12若存在实数 x 使 |x a|+|x 1|3 成立，则实数 a 的取值范围是 2， 4 【考点】 绝对值不等式的解法 【分析】 利用绝对值的几何意义，可得到 |a 1|3，解之即可 【解答】 解：在数轴上， |x a|表示横坐标为 x 的点 P 到横坐标为 a 的点 A 距离， |x 1|就表示点 P 到横坐标为 1 的点 B 的距离， （ | a 1|， 要使得不等式 |x a|+|x 1|3 成立，只要最小值 |a 1|3 就可以了， 即 |a 1|3， 2a4 故实数 a 的取值范围是 2a4 故答案为： 2， 4 13已知变量 x， y 满足 ，则 的最大值为 4 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求表达式的最大值 【解答】 解：作出不等式组 对应的平面区域： =1+ 的几何意义为区域内的点到 P（ 2， 2）的斜率加 1， 由图象知， 斜率最大， 由 ，得 ，即 A（ 2， 3）， 故 斜率 k= = 第 11 页（共 21 页） 所求表达式的最大值为： 1+ = 故答案为： 14执行如图所示的程序框图，若输入 x=6，则输出 y 的值为 2 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序，依次写出每次循环得到的 x， y 的值，当 x= 1， y= 时，满足条件 |y x| 1，退出循环，输出 y 的值为 ，即可得解 【解答】 解：模拟执行程序，可得 x=6 y=2 不满足条件 |y x| 1， 执行循环体， x=2， y=0 不满足条件 |y x| 1，执行循环体， x=0， y= 1 不满足条件 |y x| 1，执行循环体， x= 1， y= 满足条件 |y x| 1，退出循环，输出 y 的值为 第 12 页（共 21 页） 故答案为： 15已知函数 f（ x） = ， g（ x） =5 2a（ a 0），若对任意的 0， 1，总存在 0， 1，使得 f（ =g（ 立，则实数 a 的取值范围是 2， 33 【考点】 分段函数的应用；函数的零点与方程根的关系 【分析】 根据 f（ x）的解析式求出其值域，再求出 g（ x）在 x0， 1上的值域，由对任意的 0， 1，总存在 0， 1，使得 f（ =g（ 立得到关于 a 的不等式组，从而求出 a 的取值范围 【解答】 解： x（ ， 1时， f（ x） = ， f（ x） = ， 当 x（ ， 1时， f（ x） 0，函数 f（ x）在（ ， 1上为增函数， f（ x） （ ， ； 当 x0， 时，函数 f（ x）为减函数， f（ x） 0， ； 在 0， 1上 f（ x） 0， ； 又 g（ x） = 2a+5 中， 当 x0， 1时， 0， 1， g（ x） 2a+5， a+5； 若对任意的 0， 1，总存在 0， 1，使得 f（ =g（ 立， 则 ，解得： a ， 故答案为： ， 三、解答题：本大题共 6小题，共 75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16已知函数 f（ x） =2x+ ） （ 1）求 f（ x）的最小正周期及 x ， 时 f（ x）的值域； 第 13 页（共 21 页） （ 2）在 ，角 A、 B、 C 所对的边为 a， b， c，且角 C 为锐角， S ， c=2，f（ C+ ） = 求 a， b 的值 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【分析】 （ 1）由两角和的正弦公式及二倍角公式，化简求得 f（ x） ，根据正弦函数的图象和性质，求出周期和 f（ x）的值域； （ 2） f（ C+ ） = ，求得 C= ，由三角形的面积公式求得 ，余弦定理求得 a2+6，联立求得 a、 b 的值 【解答】 解：（ 1） f（ x） =2x+ ） （ 21） ， = ， f（ x）的最小正周期 ， x ， ， 2x ， ， f（ x）的值域 ， ； （ 2） f（ x） = ， f（ C+ ） = C+ ） = ， 2C+ ） = ， ，角 C 为锐角， C= ， S= ， S ， ， 由余弦定理可知： c2=a2+2 a2+6， 解得 b=2， a=2 或 b=2 ， a=2， 17在一次购物抽奖活动中，假设某 奖券中有一等奖券 1 张，可获得价值 100 元的奖品，有二等奖券 3 张，每张可获得价值 50 元的奖品，其余 6 张没有奖，某顾客从此 奖券中任抽 2 张，求 （ I）该顾客中奖的概率； （ ）该顾客获得奖品总价值 X 的概率分布列和数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ ）由题意求出该顾客没有中奖的概率，由此利用对立事件概率计算公式能求出该顾客中奖的概率 （ ）根据题意可得 X 的所有可能取值为 0， 50， 100， 150（元），分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和数学期望 第 14 页（共 21 页） 【解答】 解：（ ）由题意得该顾客没有中奖的概率 为 = ， 该顾客中奖的概率为： P=1 = ， 该顾客中奖的概率为 （ ）根据题意可得 X 的所有可能取值为 0， 50， 100， 150（元）， P（ X=0） = = ， P（ X=50） = = ， P（ X=100） = = ， P（ X=150） = = ， X 的分布列为： X 0 50 100 150 P X 的数学期望为 =50 18已知数列 足 ， + an= 1（ nN），数列 前 n 项和为 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设 ， 数列 前 n 项和，求使得 对所有 nN，都成立的最小正整数 m 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）通过 + 1+ an= 1 与 + 1=1 作差，进而计算可知 = （ nN）， 利用累乘法计算可知数列 通项公式； 第 15 页（共 21 页） （ 2）通过（ 1），利用等差数列的求和公式裂项可知 （ ），进而利用并项相消法可知 ，从而问题转化为数列 最大值，计算即得结论 【解答】 解：（ 1） + 1+ an= 1（ nN）， 当 n2 时， + 1=1， 两式相减得： an= = ， 又 = = 满足上式， = （ nN）， 当 n2 时， 21 =n， 又 满足上式， 数列 通项公式 an=n； （ 2）由（ 1）可知 = =2（ ）， （ 1 + + ） =2（ 1 ） = ， 随着 n 的增大而增大， 不等式 对所有 nN 都成立 求数列 最大值， 又 =2， 2，即 m20， 故满足题意的最小正整数 m=20 19如图，在四棱锥 P ， 平面 D=2 ， ， ，点 M 在线段 （ I）求证： （ ）若二面角 M D 的余弦值为 ，求 平面 成角的正弦值 第 16 页（共 21 页） 【考点】 直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质 【分析】 （ I）取 中点 E，连接 可证 出 平面 而 （ ，以 A 为原点建立坐标系，求出平面 法向量 ，令 |， |= 解出 ，得出 的坐标，则 | |为 平面 成角的正弦值 【解答】 证明：（ I）取 中点 E，连接 D=2 ， ， 四边形 正方形， 到腰直角三角形， 5， 5， 0，即 平面 面 面 面 C=A， 平面 面 （ A 为原点，分别以 坐标轴建立空间直角坐标系 A 则 A（ 0， 0， 0）， B（ 2 ， 2 ， 0）， C（ 2 ， 2 ， 0）， P（ 0， 0， 2）， D（ 0， 2 ，0） =（ 0， 2 ， 2） . =（ 2 ， 2 ， 0）， =（ 0， 0， 2） 设 =（ 0， 2 ， 2），则 = =（ 0， 2 ， 2 2） 设平面 一个法向量为 =（ x， y， z），则 ， ，令 y= 得 =（ ， ， ） z 轴 平面 =（ 0， 0， 1）为平面 一个法向量 = = 二面角 M D 的余弦值为 ， = 解得 =（ 0， ， ）， =（ 2 ， 2 ， 0）， = =（ 2 ， ， ） 平面 为平面 一个法向量 第 17 页（共 21 页） ， = = = 平面 成角的正弦值为 20已知函数 f（ x） = a 1） x aR 且 a0） （ I）求函数 f（ x）的单调递增区间； （ ）记函数 y=F（ x）的图象为曲线 C设点 A（ B（ 曲线 C 上的不同两点如果在曲线 C 上存在点 M（ 使得： ； 曲线 C 在点 M 处的切线平行于直线 称函数 F（ x）存在 “中值和谐切线 ”当 a=2 时，函数 f（ x）是否存在 “中值和谐切线 ”，请说明理由 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ I）根据对数函数的定义求得函数的定义域，再根据 f（ x）的解析式求出 f（ x）的导函数，然后分别令导函数大于 0 和小于 0 得到关于 x 的不等式，求出不等式的解集即可得到相应的 x 的范围即分别为函数的递增和递减区间； （ 设函数 f（ x）的图象上存在两点 A（ B（ 使得 在 “中值相依切线 ”，根据斜率公式求出直线 斜率，利用导数的几何意义求出直线 斜率，它们相等，再通过构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值即可证明结论 【解答】 解： （ ）函数 f（ x）的定义域是（ 0， +）， 由已知得， f（ x） = ， （ 1）当 a 0 时，令 f（ x） 0，解得 x 1； 令 f（ x） 0，解得 0 x 1 所以函数 f（ x）在（ 1， +）上单调递增； （ 2）当 a 0 时， 当 1 时，即 a 1 时，令 f（ x） 0，解得： x 1； 函数 f（ x）在（ ， 1）上单调递增； 当 =1 时，即 a= 1 时，显然，函数 f（ x）在（ 0， +）上单调递减，无增区间； 当 1 时，即 1 a 0 时，令 f（ x） 0，解得 1 x 函数 f（ x）在（ 1， ）上单调递增； 第 18 页（共 21 页） 综上所述，（ 1）当 a 0 时，函数 f（ x）在（ 1， +）上单 调递增； （ 2）当 a 1 时，函数 f（ x）在（ ， 1）上单调递增； （ 3）当 a= 1 时，函数 f（ x）无单调递增区间； （ 4）当 1 a 0 时，函数 f（ x）在（ 1， ）上单调递增； （ ）假设函数 f（ x）存在 “中值相依切线 ” 设 A（ B（ 曲线 y=f（ x）上的不同两点，且 0 则 =x2