广西河池市2015-2016学年高二上期末数学试卷(理)含答案解析

第 1 页（共 16 页） 2015年广西河池市高二（上）期末数学试卷（理科） 一、本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1命题 “ x R， ”的否定是（ ） A x R， B x R， C x R， D x R， 2设 a b 0， c 0，则下列不等式恒成立的为（ ） A B D 3下列各组空间向量相互垂直的是（ ） A =（ 0， 1， 2）， =（ 2， 0， 1） B =（ 3， 1， 1）， =（ 1， 0， 3） C =（ 0， 1， 2）， =（ 0， 2， 4） D =（ 3， 1， 1）， =（ 3， 1， 1） 4在 ， a， b， c 是角 A， B， C 的对边， A= ， C= ， a=2 ，则 b 等于（ ） A 4 B 2 C 3 D 2 5在公差为 d 的等差数列 ， 2， d ，则数列 前 n 项和为 最小的是（ ） A “x 2 或 x 5”是 “7x+10 0”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7抛物线 y= 的焦点为 F，点 P 在抛物线上，点 O 为坐标原点，若 |5，则 |于（ ） A 6 B 5 C 5 D 4 8已知数列 ， ， =3，若 100，则 n 的最大值为（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 9已知实数 x， y 满足不等式组 ，若目标函数 z=ax+y（ a 0）取得最小值时的最优解有无穷个，则实数 a 等于（ ） A 1 B C D 2 10在 ，角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，面积为 S，若 S b2+ac=a2+ a： b： c 等于（ ） A 3： 4： 5 B 1： 1： C 1： ： D 1： ： 2 第 2 页（共 16 页） 11如图，四棱锥 P ， 底面 边形 直角梯形， 0， E 为 中点， A= 平面 成的角的正弦值为（ ） A B C D 12已知点 P（ 1， ）是椭圆 + =1 上一点，点 A， B 是椭圆上两个动点，满足 +=3 ，则直线 斜率为（ ） A B C D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13在数列 ，若 ， =，则 14在 ，若 A= ， = 2，则 面积 S= 15已知点 F（ ， 0）是双曲线 =1（ a 0， b 0）的右焦点，且点 F 到双曲线的渐近线的距离等于 2，则过点 F 且与此双曲线只有一个交点的直线方程为 16给出以下命题： 方程 48x+3=0 的两个根可分别作为椭圆与双曲线的离心率； 若向量 =（ m， 2， 3）与 =（ 5， 1）的夹角为锐角，则 m 3； 在正项等差数列 ， + =1； 当 x 0 时，函数 f（ x） = 8x +22 的最小值是 4 其中正确命题的序号是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17已知 p： 0 m 3， q：（ m 2）（ m 4） 0，若 p q 为假， p q 为真，求实数 m 的取值范围 18已知双曲线 M： =1 与抛物线 N： p 0）的一个交点为 A（ 4， m） （ 1）求抛物线 N 的标准方程； 第 3 页（共 16 页） （ 2）设双曲线 M 在实轴上的顶点为 C、 D，求 的值 19已知数列 前 n 项和 足 Sn=n2+n，数列 足 ， =（ ） （ 1）求数列 通项公式； （ 2）若数列 足 cn=），求数列 前 n 项和 20在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知 = （ 1）求角 C 的大小， （ 2）若 c=2，求使 积最大时 a， b 的值 21如图，四棱锥 B ，平面 平面 中 梯形，D=2， （ 1）若 C 是线段 中点，求证： 平面 （ 2）若二面角 A D 的平面角的余弦值为 ，求 长 22已知椭圆 M 的对称轴为坐标轴，离心率为 ，且一个焦点坐标为（ ， 0） （ 1）求椭圆 M 的方程； （ 2）设直线 l 与椭圆 M 相交于 A、 B 两点，以 线段 邻边作平行四边形 中点 P 在椭圆 M 上， O 为坐标原点，求点 O 到直线 l 的距离的最小值 第 4 页（共 16 页） 2015年广西河池市高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1命题 “ x R， ”的否定是（ ） A x R， B x R， C x R， D x R， 【考点】 命题的否定 【分析】 由带量词的命题否定规则可得 【解答】 解： 命题 “ x R， ”是一个全称命题， 又 全称命题的否定是特称命题， 原命题的否定为 “ R， ” 故选： D 2设 a b 0， c 0，则下列不等式恒成立的为（ ） A B D 【考点】 不等式的基本性质 【分析】 利用不等式的基本性质即可判断出结论 【解答】 解： a b 0， c 0， ， ， 与 的大小关系与 c 的正负有关系， 故选： C 3下列各组空间向量相互垂直的是（ ） A =（ 0， 1， 2）， =（ 2， 0， 1） B =（ 3， 1， 1）， =（ 1， 0， 3） C =（ 0， 1， 2）， =（ 0， 2， 4） D =（ 3， 1， 1）， =（ 3， 1， 1） 【考点】 向量的数量积判断向量的共线与垂直 【分析】 根据 =0，即可判断 成立 【解答】 解：对于 A， =0+0+2=2 0， 不成立； 对于 B， = 3+0+3=0， 成立； 对于 C， =0+2 8= 6 0， 不成立； 对于 D， = 9 1 1= 11 0， 不成立 故 选： B 4在 ， a， b， c 是角 A， B， C 的对边， A= ， C= ， a=2 ，则 b 等于（ ） A 4 B 2 C 3 D 2 【考点】 正弦定理 第 5 页（共 16 页） 【分析】 由已知利用三角形内角和定理可得 B 的值，利用正弦定理即可求 b 的值 【解 答】 解： A= ， C= ， a=2 ， B= A C= ， 由正弦定理可得： b= =4 故选： A 5在公差为 d 的等差数列 ， 2， d ，则数列 前 n 项和为 最小的是（ ） A 考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 由题意和等差数列的性质可得前 5 项为负数，从第 6 项开始为正数，可得结论 【解答】 解： 在公差为 d 的等差数列 ， 2， d ， 数列 递增数列， a5=d 0， a6=d 0， 等差数列 前 5 项为负数，从第 6 项开始为正数， 数列 前 n 项和为 最小的是 故选： A 6 “x 2 或 x 5”是 “7x+10 0”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 7x+10 0，解得 x 5 或 x 2即可判断出结论 【解答】 解： 7x+10 0，解得 x 5 或 x 2 “x 2 或 x 5”是 “7x+10 0”的必要不充分条件 故选： B 7抛物线 y= 的焦点为 F，点 P 在抛物线上，点 O 为坐标原点，若 |5，则 |于（ ） A 6 B 5 C 5 D 4 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 求出抛物线的焦点和准线方程，设出 P 的坐标，运用抛物线的定义，可得 |d（ d 为 P 到准线的距离），求出 P 的坐标，即可得到所求值 【解答】 解：抛物线 y 的焦点 F（ 0， 1），准线 l 为 y= 1， 设抛 物线的点 P（ m， n）， 则由抛物线的定义，可得 |d（ d 为 P 到准线的距离）， 即有 n+1=5， 解得， n=4， P（ 4， 4）， 第 6 页（共 16 页） |4 故选： D 8已知数列 ， ， =3，若 100，则 n 的最大值为（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 【考点】 数列递推式 【分析】 =3，可得数列 1是 公比为 3，首项为 1 的等比数列，利用等比数列的通项公式即可得出 【解答】 解： =3， 数列 1是公比为 3，首项为 1 的等比数列， n 1+1， 2， 44， 100，则 n 的最大值为 5 故选： B 9已知实数 x， y 满足不等式组 ，若目标函数 z=ax+y（ a 0）取得最小值时的最优解有无穷个，则实数 a 等于（ ） A 1 B C D 2 【考点】 简单线性规划 【分析】 由题意作出可行域，变形目标函数，平移直线 y= 合直线重合斜率相等可得结论 【解答】 解：作出不等式组 所对应的可行域（如图 变形目标函数可得 y= ax+z， a 0，平移直线 y= 知， 当直线和 直线 x+2y 2=0）重合时，会使得目标函数取得最小值时的最优解有无穷个， 故 a= ，解得 a= 故选： C 第 7 页（共 16 页） 10在 ，角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，面积为 S，若 S b2+ac=a2+ a： b： c 等于（ ） A 3： 4： 5 B 1： 1： C 1： ： D 1： ： 2 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 利用三角形面积公式表示出 S，代入已知不等式确定出 值，进而求出 C 度数，利用余弦定理列出关系式，求出 B 的度数，进而确定出 A 的度数，求出 a， b， c 的比值即可 【解答】 解： S= S 1， 1 1， ，即 C= ， b2+ac=a2+ a2+b2= = ，即 B= ， 在 ， A= ，即 a= c， 则 a： b： c=1： ： 2， 故选： D 11如图，四棱锥 P ， 底面 边形 直角梯形， 0， E 为 中点， A= 平面 成的角的正弦值为（ ） 第 8 页（共 16 页） A B C D 【考点】 直线与平面所成的角 【分析】 以 A 为原点， 在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出 平面 成的角的正弦值 【解答】 解：以 A 为原点， 在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， 则 P（ 0， 0， 2）， D（ 2， 0， 0）， B（ 2， 1， 0）， E（ 1， ， 0）， A（ 0， 0， 0）， =（ 0， 0， 2）， =（ 2， 0， 2）， =（ 1， ， 0）， 设平面 一个法向量为 =（ a， b， c）， 则 ，取 a=3，得 =（ 3， 2， 3）， 设 平面 成的角为 ， = = 平面 成的角的正弦值为 故选： C 12已知点 P（ 1， ）是椭圆 + =1 上一点，点 A， B 是椭圆上两个动点，满足 +=3 ，则直线 斜率为（ ） A B C D 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 设 A（ B（ 由向量知识求出 ，把A， B 代入椭圆方程，利用点差法能求出直线 斜率 【解答】 解：设 A（ B（ 第 9 页（共 16 页） + =3 ，点 P（ 1， ）， =3（ 1， ）， ， 把 A， B 代入椭圆方程，得： ， 两式相减，得： 3（ x1+ +4（ y1+ =0， = ， x1+ 1， ， = = 故选： A 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13在数列 ， 若 ， =，则 【考点】 数列的概念及简单表示法 【分析】 由 ， =，可得 a2=2，同理可得： 【解答】 解： ， =， a2=2，同理可得： ， 故答案为： 14在 ，若 A= ， = 2，则 面积 S= 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 先根据向量的数量积公式求出 | | |=4，再根据三角形的面积公式计算即可 【解答】 解： ， A= ， = 2， =| | | 2， | | |=4， 第 10 页（共 16 页） S= | | | 4 = 故答案为： 15已知点 F（ ， 0）是双曲线 =1（ a 0， b 0）的右焦点，且点 F 到双曲线的渐近线的距离等于 2，则过点 F 且与此双曲线只有一个交点的直线方程为 y=2x 2 或 y= 2x+2 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 设双曲线 =1 的渐近线方程为 y= x，运用点到直线的距离公式可得 b=2，解方程可得 a=1，求得渐近线的斜率，由直线与渐近线平行时只有一个交点，可得所求直线的方程 【解答】 解：设双曲线 =1 的渐近线方程为 y= x， 由题意可得 c= ，即 a2+， 点 F 到双曲线的渐近线的距离等于 2， 即为 =2，解得 b=2， a=1， 双曲线的方程为 =1， 渐近线方程为 y= 2x， 当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点 即有直线的方程为 y= 2（ x ） 故答案为： y=2x 2 或 y= 2x+2 16给出以下 命题： 方程 48x+3=0 的两个根可分别作为椭圆与双曲线的离心率； 若向量 =（ m， 2， 3）与 =（ 5， 1）的夹角为锐角，则 m 3； 在正项等差数列 ， + =1； 当 x 0 时，函数 f（ x） = 8x +22 的最小值是 4 其中正确命题的序号是 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 求出方程的根，结合椭圆和双曲线离心率的关系进行判断 根据向量数量积的应用进行求解 第 11 页（共 16 页） 根据等差数列的性质进行求解 利用换元法结合基本不等式以及一元二次函数的性质进行求解 【解答】 解： 由 48x+3=0 得 x= 或 x= ，即方程的两个根可分别作为椭圆与双曲线的离心率；故 正确， 若向量 =（ m， 2， 3）与 =（ 5， 1）的夹角为锐角，则 0，（ 两个向量方向不相同）， 5m 2 0，即 25m 3 0，得 m 3；故 正确， 在正项等差数列 ， + = =1，故 正确； 当 x 0 时，函数 f（ x） = 8x +22=（ x+ ） 2 8（ x+ ） +20， 设 t=x+ ，则 t 2，此时函数等价为 y=8t+20=（ t 4） 2+4， 故当 t=4 时，函数取得的最小值 4，故 正确， 故答案为： 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17已知 p： 0 m 3， q：（ m 2）（ m 4） 0，若 p q 为假， p q 为真，求实数 m 的取值范围 【考点】 复合命题的真假 【分析】 先求出关于 q 中 m 的范围，结合 p q 为假， p q 为真，从而求出 m 的范围即可 【解答】 解：对 q：由（ m 2）（ m 4） 0， 解得： 2 m 4， p q 为假， p q 为真， p， q 一真一假， 若 p 真 q 假，则 0 m 2， 若 p 假 q 真，则 3 m 4， m 0， 2） （ 3， 4 18已知双曲线 M： =1 与抛物线 N： p 0）的一个交点为 A（ 4， m） （ 1）求抛物线 N 的标准方程； （ 2）设双曲线 M 在实轴上的顶点为 C、 D，求 的值 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 （ 1）将 A 的坐标代入双曲线的方程，可得 m，再将 A 的坐标代入抛物线的方程可得 p，即可得到抛物线的方程； （ 2）求得双曲线的顶点 C， D 的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求值 【解答】 解：（ 1）将 A（ 4， m）代入双曲线的方程可得 第 12 页（共 16 页） =1，解得 m= ， 再将 A（ 4， ），代入抛物线的方程可得 15=8p，解得 p= ， 则 x； （ 2）双曲线 M 在实轴上的顶点为 C（ 2， 0）、 D（ 2， 0）， 又 A（ 4， m）， 则 =（ 2 4， m） （ 2 4， m） =（ 6） （ 2） +12+15=27 19已知数列 前 n 项和 足 Sn=n2+n，数列 足 ， =（ ） （ 1）求数列 通项公式； （ 2）若数列 足 cn=），求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）由 n=1 时， 1； n 1 时， n 1，可得数列 通项公式；再由指数的运算性质，可得数列 通项公 式； （ 2）求得 cn=） =2n2n=n2n+1，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和 【解答】 解：（ 1） n=1 时， 1=2； n 1 时， n 1=n2+n（ n 1） 2（ n 1） =2n，对 n=1 也符合， 则数列 通项公式为 n； =（ ） 有 =2n， 可得 n 1； （ 2） cn=） =2n2n=n2n+1， 数列 前 n 项和 22+223+324+n2n+1， 223+224+325+n2n+2， 两式相减可得， 2+23+24+2n+1 n2n+2， = n2n+2， 化简可得， n 1） 2n+2+4 20在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知 = （ 1）求 角 C 的大小， （ 2）若 c=2，求使 积最大时 a， b 的值 【考点】 正弦定理；余弦定理 【分析】 （ 1）已知等式左边利用正弦定理化简，右边利用诱导公式变形，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据 为 0 求出 值，即可确定出 第 13 页（共 16 页） （ 2）利用余弦定理列出关系式，将 c 与 值代入并利用基本不等式求出 最大值，进而确定出三角形 积的最大值，以及此时 a 与 b 的值即可 【解答】 解：（ 1） A+C= B，即 A+C） = 由正弦定理化简已知等 式得： = ， 整理得： 2 2B+C）= 0， ， C 为三角形内角， C= ； （ ） c=2， ， 由余弦定理得： c2=a2+2 4=a2+b2+2ab+ ，（当且仅当 a=b 时成立）， S= ， 当 a=b 时， 积最大为 ，此时 a=b= ， 则当 a=b= 时， 面积最大为 21如图，四棱锥 B ，平面 平面 中 梯形，D=2， （ 1）若 C 是线段 中点，求证： 平面 （ 2）若二面角 A D 的平面角的余弦值为 ，求 长 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）推导出 而 平面 而 此能证明 平面 （ 2）设 AB=a，以 F 为原点， x 轴， y 轴，过 F 作平面 垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出 长 【解答】 证明：（ 1）在直角梯形 ， F=2， C 是线段 中点， 又 平面 平面 第 14 页（共 16 页） 平面 平面 又 C=A， 平面 解：（ 2）设 AB=a，以 F 为原点， x 轴， y 轴， 过 F 作平面 垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 F（ 0， 0， 0）， A（ 2， 0， 0）， E（ ， 0， 0）， D（ 1， ， 0）， B（ 2， 0， a