2016年北京市西城区高考数学二模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 18 页） 2016 年北京市西城区高考数学二模试卷（文科） 一 大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1设全集 U=R，集合 A=x|x 0， B=x|x 1，则集合（ B=（ ） A（ ， 0） B（ ， 0 C（ 1， +） D 1， +） 2下列函数中，既是奇函数又在 R 上单调递减的是（ ） A y= B y=e x C y= y=设 x， y 满足约束条 件 ，则 z=x+3y 的最大值是（ ） A B C D 1 4执行如图所示的程序框图，如果输出的 S= ，那么判断框内应填入的条件是（ ）A i 3 B i 4 C i 5 D i 6 5在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 A+B） = ， a=3， c=4，则 ） A B C D 6 “m n 0”是 “曲线 为焦点在 x 轴上的椭圆 ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 7某市家庭煤气的使用量 x（ 煤气费 f（ x）（元）满足关系 f（ x） = ，已知某家庭今年前三个月的煤气费如表 月份 用气量 煤气费 一月份 44 元 第 2 页（共 18 页） 二月份 2514 元 三月份 3519 元 若四月份该家庭使用了 20煤气，则其煤气费为（ ） A B 11 元 C D 10 元 8设直线 l： 3x+4y+a=0，圆 C：（ x 2） 2+，若在直线 l 上存在一点 M，使得过 M 的圆 C 的切线 P， Q 为切点）满足 0，则 a 的取值范围是（ ） A 18， 6 B 6 5 ， 6+5 C 16， 4 D 6 5 ， 6+5 二、填空题：本大题共 6 小 题，每小题 5 分，共 30 分 9已知复数 z=（ 2 i）（ 1+i），则在复平面内， z 对应点的坐标为 10设平面向量 ， 满足 | |=| |=2， （ + ） =7，则向量 ， 夹角的余弦值为 11某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为 12设双曲线 C 的焦点在 x 轴上，渐近线方程为 y= x，则其离心率为 ；若点（ 4， 2）在 C 上，则双曲线 C 的方程为 13设函数 f（ x） = 那么 ff（ ） = ；若函数 y=f（ x） k 有且只有两个零点，则实数 k 的取值范围是 14在某中学的 “校园微电影节 ”活动中，学校将从微电影的 “点播量 ”和 “专家评分 ”两个角度来进行评优，若 A 电影的 “点播量 ”和 “专家评分 ”中至少有一项高于 B 电影，则称 A 电影不亚于 B 电影，已知共有 5 部微电影参展，如果某部电影不亚于其他 4 部，就称此部电影为优秀影片，那么在 这 5 部微电影中，最多可能有 部优秀影片 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 15已知函数 f（ x） =（ 1+ （ ）求函数 f（ x）的定义域和最小正周期； （ ）当 x （ 0， ）时，求函数 f（ x）的值域 16已知数列 前 n 项和 足 43，其中 n N* （ ）求证：数列 等比数列； （ ）设 4n，求数列 前 n 项和 第 3 页（共 18 页） 17如图，在周长为 8 的矩形 ， E， F 分别为 中点将矩形 着线段 起，使得 0设 G 为 一点，且满足 平面 （ ）求证： （ ）求证： G 为线段 中点； （ ）求线段 度的最小值 18某中学有初中学生 1800 人，高中学生 1200 人为了解学生本学期课外阅读时 间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了 100 名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按 “初中学生 ”和 “高中学生 ”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为 5 组： 0， 10），10， 20）， 20， 30）， 30， 40）， 40， 50，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图 （ ）写出 a 的值； （ ）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于 30 个小时的学生人数； （ ）从阅读时间不足 10 个小时的样本学生中随机抽取 2 人，求至少抽到 1 名高中生的 概率 19已知函数 f（ x） = （ ）若 f（ a） =1，求 a 的值； （ ）设 a 0，若对于定义域内的任意 存在 得 f（ f（ 求 a 的取值范围 20已知抛物线 C： y，过点 P（ 0， m）（ m 0）的动直线 l 与 C 相交于 A， B 两点，抛物线 C 在点 A 和点 B 处的切线相交于点 Q，直线 x 轴分别相交于点 E， F （ ）写出抛物线 C 的焦点坐标和准线方程； （ ）求证：点 Q 在直线 y= m 上； 第 4 页（共 18 页） （ ）判断是否存在点 P，使得四边形 矩形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由 第 5 页（共 18 页） 2016 年北京市西城区高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一 大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1设全集 U=R，集合 A=x|x 0， B=x|x 1，则集合（ B=（ ） A（ ， 0） B（ ， 0 C（ 1， +） D 1， +） 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 求出集合 A 的补集，从而求出其和 B 的交集即可 【解答】 解： 集 合 A=x|x 0， =x|x 0， B=x|x 1， （ B=x|x 0， 故选： B 2下列函数中，既是奇函数又在 R 上单调递减的是（ ） A y= B y=e x C y= y=考点】 函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断 【分析】 根据反比例函数的单调性，奇函数图象的对称性，指数函数和对数函数的图象，以及奇函数定义，减函数的定义便可判断 每个选项的正误，从而找出正确选项 【解答】 解： A反比例函数 在 R 上没有单调性， 该选项错误； B. ，图象不关于原点对称，不是奇函数， 该选项错误； C y= 定义域为 R，且（ x） 3=（ 该函数为奇函数； x 增大时， 大， 小，即 y 减小， 该函数在 R 上单调递减； 该选项正确； D对数函数 y=图象不关于原点对称，不是奇函数， 该选项错误 故选 C 3设 x， y 满足约束条件 ，则 z=x+3y 的最大值是（ ） A B C D 1 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可 【解答】 解：由 z=x+3y 得 ， 第 6 页（共 18 页） 作出不等式 组对应的平面区域如图（阴影部分）： 平移直线 由图象可知当直线 经过点 A 时，直线 的截距最大， 此时 z 也最大， ，解 ，即 A（ ， ） ， 代入目标函数 z=x+3y，得 z= +3 = 故 z=x+3y 的最大值为 故选： B 4执行如图所示的程序框图，如果输出的 S= ，那么判断框内应填入的条件是（ ）A i 3 B i 4 C i 5 D i 6 【考点】 程序框图 【分析】 根据程序框图，模拟运行过程，根据程序输出的 S 值，即可得出判断框内应填入的条件 【解答】 解：进行循环前 i=2， S=1， 计算 S= ，应满足循环条件， i=3； 第 7 页（共 18 页） 执行循环后 S= ，应满足循环条件， i=4； 执行循环后 S= ， 应满足循环条件， i=5； 执行循环后 S= ，应不满足条件循环条件，输出 S= ； 故判断框内应填入的条件是 i 5； 故选： C 5在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 A+B） = ， a=3， c=4，则 ） A B C D 【考点】 正弦定理 【分析】 由内角和定理及诱导公式知 A+B） =，再利用正弦定理求解 【解答】 解： A+B+C=， A+B） =， 又 a=3， c=4， = ， 即 = ， ， 故选 B 6 “m n 0”是 “曲线 为焦点在 x 轴上的椭圆 ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 由 “m n 0”，知 “方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆 ”；由 “方程 表示焦点在 x 轴上的椭圆 ”，知 “n m 0”所以 “m n 0”是 “方程 表示焦点在 的既不充分也不必要条件 【解答】 解： “m n 0”“方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆 ”， “方程 表示焦点在 x 轴上的椭圆 ”“n m 0”， “m n 0”是 “方程 表示焦点在 x 轴上的椭圆 ”的既不充分也不必要条件 故选 D 第 8 页（共 18 页） 7某市家庭煤气的使用量 x（ 煤气费 f（ x）（元）满足关系 f（ x） = ，已知某家庭今年前三个月的煤气费如表 月份 用气量 煤气费 一月份 44 元 二月份 2514 元 三月份 3519 元 若四月份该家庭使用了 20煤气，则其煤气费为（ ） A B 11 元 C D 10 元 【考点】 函数的值 【分析】 根据待定系数法求出 A、 B、 C 的值，求出 f（ x）的表达式，从而求出 f（ 20）的值即可 【解答】 解：由题意得： C=4， 将（ 25， 14），（ 35， 19）代入 f（ x） =4+B（ x A），得： ，解得 ， f（ x） = ， 故 x=20 时： f（ 20） = 故选： A 8设直线 l： 3x+4y+a=0，圆 C：（ x 2） 2+，若在直线 l 上存在一点 M，使得过 M 的圆 C 的切线 P， Q 为切点）满足 0，则 a 的取值范围是（ ） A 18， 6 B 6 5 ， 6+5 C 16， 4 D 6 5 ， 6+5 【考点】 圆的切线方程 【分析】 由切线的对称性和圆的知识将问题转化为 C（ 2， 0）到直线 l 的距离小于或等于 2，再由点到直线的距离公式得到关于 a 的不等式求解 【解答】 解：圆 C：（ x 2） 2+，圆心为：（ 2， 0）， 半径为 ， 在直线 l 上存在一点 M，使得过 M 的圆 C 的切线 P， Q 为切点）满足 0， 在直线 l 上存在一点 M，使得 M 到 C（ 2， 0）的距离等于 2， 只需 C（ 2， 0）到直线 l 的距离小于或等于 2， 故 2，解得 16 a 4， 故选： C 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9已知复数 z=（ 2 i）（ 1+i），则在复平面内， z 对应点的坐标为 （ 3， 1） 【考点 】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数代数形式的乘法运算化简复数 z，则在复平面内， z 对应点的坐标可求 【解答】 解： z=（ 2 i）（ 1+i） =3+i， 第 9 页（共 18 页） 则在复平面内， z 对应点的坐标为：（ 3， 1） 故答案为：（ 3， 1） 10设平面向量 ， 满足 | |=| |=2， （ + ） =7，则向量 ， 夹角的余弦值为 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 利用向量数量积的运算性质将 （ + ） =7 展开得出 =3，代入向量的夹角公式计算 【解答】 解： （ + ） = =7，即 4+ =7， =3， = = 故答案为： 11某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为 3 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图知该几何 体是一个四棱锥，由三视图求出几何元素的长度、判断出位置关系，由直观图求出该四棱锥最长棱的棱长 【解答】 解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥， 底面是一个直角梯形， B=2、 ， 底面 ， 该四棱锥最长棱的棱长为 = =3， 故答案为： 3 第 10 页（共 18 页） 12设双曲线 C 的焦点在 x 轴上， 渐近线方程为 y= x，则其离心率为 ；若点（ 4， 2）在 C 上，则双曲线 C 的方程为 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据双曲线渐近线和 a， b 的关系建立方程进行求解即可求出离心率的大小，利用待定系数法求 ，即可得到结论 【解答】 解： 双曲线 C 的焦点在 x 轴上，渐近线方程为 y= x， = ，即 = =1= ， 则 ，则 e= ， 设双曲线方程为 ， 0， 若点（ 4， 2）在 C 上， = =8 4=4， 即双曲线方程为 ， 即 ， 故答案为： 13设函数 f（ x） = 那么 ff（ ） = ；若函数 y=f（ x） k 有且只有两个零点，则实数 k 的取值范围是 （ ， +） 【考点】 函数零点的判定定理；函数的值 【分析】 由分段函数可知 f（ ） = ，则 ff（ ） =f（ ） = ，画出分段函数的图象，数形结合得答案 【解答】 解：由分段函数可知 f（ ） = ， ff（ ） =f（ ） = ； 第 11 页（共 18 页） 由 y=f（ x） k=0， 得 f（ x） =k 令 y=k 与 y=f（ x）， 作出函数 y=k 与 y=f（ x）的图象如图： 由图可知，函数 y=f（ x） k 有且只有两个零点，则实数 k 的取值范围是 故答案为： ；（ ， +） 14在某中学的 “校园微电影节 ”活动中，学校将从微电影的 “点播量 ”和 “专家评分 ”两个角度来 进行评优，若 A 电影的 “点播量 ”和 “专家评分 ”中至少有一项高于 B 电影，则称 A 电影不亚于 B 电影，已知共有 5 部微电影参展，如果某部电影不亚于其他 4 部，就称此部电影为优秀影片，那么在这 5 部微电影中，最多可能有 5 部优秀影片 【考点】 进行简单的合情推理 【分析】 记这 5 部微电影为 这 5 部微电影为先退到两部电影的情形，若 点播量 点播量，且 专家评分 专家评分，则优秀影片最多可能有 2 部，以此类推可知：这 5 部微电影中，优秀影片最多可能有 5 部 【解答】 解：记这 5 部微电影为 设这 5 部微电影为先退到两部电影的情形，若 点播量 点播量， 且 专家评分 专家评分，则优秀影片最多可能有 2 部； 再考虑 3 部电影的情形，若 点播量 点播量 点播量， 且 专家评分 专家评分 专家评分，则优秀影片最多可能有 3 部 以此类推可知：这 5 部微电影中，优秀影片最多可能有 5 部 故答案为： 5 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 15已知函数 f（ x） =（ 1+ （ ）求函数 f（ x）的定义域和最小正周期； （ ）当 x （ 0， ）时，求函数 f（ x）的值域 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法 【分析】 （ 1）由二倍角公式和两角和的正弦公式对函数化简，利用周期公式求得函数的最小正周期 第 12 页（共 18 页） （ 2）根据 x 的范围确定 2x+ 的范围，进而利用正弦函数的性质求得函数的值域 【解答】 解：（ ）函数 f（ x）的定义域为 x|x +k Z， f（ x） =（ 1+ = =2x+ ） + ， f（ x）的最小正周期为 T= （ ） x （ 0， ）， 2x+ ， 2x+ ） （ ， 1， f（ x） （ 0， ， 即当 x （ 0， ）时，求函数 f（ x）的值域为（ 0， 16已知数列 前 n 项和 足 43，其中 n N* （ ）求证：数列 等比数列； （ ）设 4n，求数列 前 n 项和 【考点】 数列的 求和；等比数列的通项公式 【分析】 （ ）根据数列的递推关系利用作差法即可证明数列 等比数列； （ ）求出数列 通项公式，利用累加法即可求出 通项公式 【解答】 （ ）证明：因为 43， 所以当 n=1 时， 43，解得 ； 当 n 2 时， 41 31=2， 3 分 由 ，得 441 3（ 1） =0， 所以 1， 由 ，得 0， 故 首项为 2，公比为 4 的等比数列 （ ）解：由（ ），得 4n 1 所以 4n=4n 1 4n， 则 前 n 项和 40+41+4n 1） 4（ 1+2+3+n） = 4 = 22n 第 13 页（共 18 页） 17如图，在周长为 8 的矩形 ， E， F 分别为 中点将矩形 着线段 起，使得 0设 G 为 一点，且满足 平面 （ ）求证： （ ）求证： G 为线段 中点； （ ）求线段 度的最小值 【考点】 直线与平面平行的判定 【分析】 （ ）由 E， F 分别为 中点，可证 而 平面可得证 （ ）由 证四边形 平行四边形连接 D=O，则O，又由 平面 用线面平行的性质可证 证 中位线，即 G 为线段 中点 （ ）由已知可得 等边三角形，且 得 平面 中点为 H，连接 得 DF=x，由题意得 42x） 2+（ x） 2= 16x+16，利用二次函数的图象和性质即可得解线段 度的最小值 【解答】 （本小题满分 14 分） （ ）证明：因为在折起前的矩形 ， E， F 分别为 中点， 所以 又因为 A=F， 所以 平面 又因为 面 所以 （ ）证明：因为在折起前的矩形 ， E， F 分别为 中点， 所以在立体图中， 即在立体图中，四边形 平行四边形 连接 D=O，则 O 又因为 平面 面 面 面 G， 所以 所以在 ， 中位线， 即 G 为线段 中点 （ ）解：因为 G 为线段 中点， 0 所以 等边三角形，且 又因为 A=F， 所以 平面 第 14 页（共 18 页） 设 中点为 H，连接 易得四边形 平行四边形， 所以 平面 所以 设 DF=x，由题意得 G= x， D=4 2x， 所以 4 2x） 2+（ x） 2= 16x+16， 所以当 x= 时， 所以线段 度的最小值为 18某中学有初中学生 1800 人，高中学生 1200 人为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽 取了 100 名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按 “初中学生 ”和 “高中学生 ”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为 5 组： 0， 10），10， 20）， 20， 30）， 30， 40）， 40， 50，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图 （ ）写出 a 的值； （ ）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于 30 个小时的学生人数； （ ）从阅读时间不足 10 个小时的样本学生中随机抽取 2 人，求至少抽到 1 名高中生的概率 【考点】 列举法计算基本事 件数及事件发生的概率；频率分布直方图 【分析】 （ ）由频率分布直方图中小矩形面积之和为 1，能求出 a 的值 （ ）由分层抽样，知抽取的初中生有 60 名，高中生有 40 名，从而求出所有的初中生中，阅读时间不小于 30 个小时的学生约有 450 人，高中生中，阅读时间不小于 30 个小时的学生人数约有 420 人由此能求出该校所有学生中，阅读时间不小于 30 个小时的学生人数约有多少人 第 15 页（共 18 页） （ ）记 “从阅读时间不足 10 个小时的样本学生中随机抽取 2 人，至少抽到 1 名高中生 ”为事件 A，利用列举法能求出至少抽到 1 名高中生的概率 【解答】 解： （ ）由频率分布直方图得（ a+ 10=1， a= （ ）由分层抽样，知抽取的初中生有 60 名，高中生有 40 名 初中生中，阅读时间不小于 30 个小时的学生频率为（ 10= 所有的初中生中，阅读时间不小于 30 个小时的学生约有 1800=450 人， 同理，高中生中，阅读时间不小于 30 个小时的学生频率为（ 10= 学生人数约有 1200=420 人 该校所有学生中，阅读时间不小于 30 个小时的学生人数约有 450+420=870 人 （ ）记 “从阅读时间不足 10 个小时的样本学生中随机抽取 2 人，至少抽到 1 名高中生 ”为事件 A， 初中生中，阅读时间不足 10 个小时的学生频率为 10=本人数为 60=3人 高中生中，阅读时间不足 10 个小时的学生频率为 10=本人数为 40=2人 记这 3 名初中生为 2 名高中生为 则从阅读时间不足 10 个小时的样本学生中随机抽取 2 人，所有可能结果有 10 种， 即：（ （ （ （ （ （ （ （ 1），（ （ 而事件 A 的结果有 7 种，它们是：（ （ （ （ （ （ （ 至少抽到 1 名高中生的概率 P（ A） = 19已知函数 f（ x） = （ ）若 f（ a） =1，求 a 的值； （ ）设 a 0，若对于定义域内的任意 存在 得 f（ f（ 求 a 的取值范围 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）求出函数的导数，得到关于 a 的方程，解出即可；（ ）问题转化为 f（ x）不存在最小值，通过讨论 a 的范围求出函数的单调性，判断函数有无最小值，从而确定 a 的范围即可 【解答】 （ ）解：函数 y=f（ x）的定义域 D=x|x R 且 x a， 由题意， f（ a）有意义，所以 a 0 求导，得 f（ x） = 所以 f（ a） = =1，解得： a= （ ）解： “对于定义域内的任意 存在 得 f（ f（ 等价于 “f（ x）不存在最小值 ” 第 16 页（共 18 页） 当 a=0 时， 由 f（ x） = ，得 f（ x）无最小值，符合题意 当 a 0 时， 令 f（ x） =0，得 x= a 或 x=3a 随着 x 的变化时， f（ x）与 f（ x）的变化情况如下表： x （ ， 3a） 3a （ 3a， a） a （ a，+） f（ x） 0 + 不存在 f（ x） 极小 不存在 所以函数 f（ x）的单调递减区间为（ ， 3a），（ a， +），单调递增区间为（ 3a， a） 因为当