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必修五模块提升讲义 第一讲 解斜三角形【知识要点归纳】正弦定理 余弦定理公式变形应用三角形内角和定理锐角三角函数【典例分析】例1、解下列三角形已知在中，求和；已知在中，求和；中，求和。例2、解下列三角形中，求和；中，的对边分别为若且，则= 。例3、如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinx(A0, 0) x0,4的图象，且图象的最高点为S(3，2)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定MNP=120。（I）求A , 的值和M，P两点间的距离；（II）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？例4、在中，所对的边分别为，已知，且，求。例5、设中的内角所对的边分别为，求。例6、中，所对的边分别为，。求；若，求。例7、根据已知条件判断三角形形状。；，且。【课堂练习】1、在中，若，则为 ；若，则为 ；若且且，则为 。2、在中，则三角形为 。3、如图，三个顶点坐标为，。求。ABC4、在中，证明下列各式：；。5、在中，是方程的两根，且，求：角的度数；的长度；的面积。6、在中，分别为内角的对边，且。求的大小；若，试判断的形状。7、在中，分别为内角的对边，设为的面积。满足。求角的大小；求的最大值。8、在中，。证明：；若，求的值。第二讲 等差数列与等比数列基础梳理【知识要点归纳】【典例分析】例1、求解下列问题已知为等差数列，则= ；已知为等差数列，且，则公差 ；已知等比数列的公比为正数，且，则 。例2、设是等差数列的前项和，已知，则= 。公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, ,则等于 A.18 B.24 C.60 D.90例3、在等差数列中，求数列的前项和。例4、求解下列问题设首项为正数的等比数列，它的前项和为80，前项和为6560，且前项中数值最大的项为54，求此数列的首项和公比；在和之间插入个正数，使这个数依次成等比数列，求所插入的个数之积。例5、设等差数列满足，。求的通项公式；求的前项和及使得最大的序号的值。例6、设等差数列的前项和为，且，求公差的取值范围；指出中哪个最大，并说明理由。【课堂练习】1.等差数列前项和为，且，则公差= 。2.设等比数列的前项和为，若，则 。3.已知等差数列中，。以表示的前项和，则使得达到最大值的是 。4. 设（），则 。5. 若数列满足：，（），则 ；前8项的和 。6. 在等差数列，的相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列，求新数列的通项。7. 已知等差数列中，求的前项和。8. 等比数列的前项和为，已知，成等差数列。求的公比；求，求。9. 已知是一个公差大于0的等差数列，且满足，。求的通项公式；若数列和数列满足等式：（为正整数）。求数列的前项和。第三讲 等差数列与等比数列综合例1、等差数列中，且，成等比数列，求数列的前20项的和。例2、一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列。例3、已知实数成等差数列，成等比数列，则的取值范围是 。例4、在数列中，。设。证明：数列是等差数列。例5、已知数列满足，。令，证明：是等比数列。例6、在数列中，且（，）。设（），证明：是等比数列。【课堂练习】1、等差数列的公差不为零，首项，是和的等比中项，则数列的前10项之和是 。2、给定正数，其中，若成等比数列，成等差数列，则一元二次方程（ ）A.无实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个同号的相异实数根 D.有两个异号的相异的实数根 3、已知成等比数列，和都成等差数列，且，那么= 。4、已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则 。5、在数列中，。证明数列是等比数列。ABC12337136、已知数列的前项和为是关于正自然数的二次函数，其图像上有三个点求数列的通项公式，并指出是否为等差数列，说明理由。第四讲 求通项公式和前n项和【要点归纳】一、求通项公式的方法1.累加法2.累乘法3.公式法4.减项做差法5.其他二、求和的方法1.公式法2.倒序相加3.错位相减4.裂项相消【典例分析】例1、设为数列的前项和，已知下列式子，求通项公式，其中是常数；，（）例2、已知数列满足，（），求。例3、已知数列满足，（）证明：数列是等比数列；求数列的通项公式。例4、已知，求。例5、设数列是首项为1的正项数列，且（），则它的通项公式 。例6、求和：；例7、求数列：，的前项和。例8、等比数列的前项和为，已知对任意的，点，均在函数（且，均为常数）的图像上。求的值；当时，记（），求数列的前项和。【课堂练习】1、已知数列中，则 。2、已知数列中，则 。3、数列，的前项和 。4、等差数列的前项和为18，前项和为28，则前项和为 。5、数列中，（是常数，）且成公比不为1的等比数列。求的值；求的通项公式。6、已知数列的前项和（为正整数）。令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式。7、若数列的通项，求此数列的前项和。8、求数列，的前项和。9、已知数列的通项公式，设，求数列的前项和。第五讲 解不等式和线性规划【要点归纳】一、不等式的类型和解法二、线性规划的方法【典例分析】例1、解不等式： 例2、例3、例4、例5、解关于的一元二次不等式（为实数）。例6、若、满足条件，求的最大值和最小值。例7、设x，y满足约束条件 ，若目标函数z=ax+by（a0，b0）的值是最大值为12，则的最小值为 ( ). A. B. C. D. 4例8、设等差数列的前项和为，若，则的最小值为 。【课堂练习】1. 若实数满足则的最小值为_.2.已知不等式组，表示的平面区域的面积为，点在所给平面区域内，则的最大值为 。3. 某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为_元。4.解下列不等式： 5.解关于的不等式。第六讲 均值不等式【要点归纳】1.均值不等式2.对勾函数与均值不等式的关系【典例分析】例1、求函数；求函数的最小值；已知，函数的最大值为 。例2、求，的最小值。例3、求（）的值域。例4、平面直角坐标系有点，求向量和的夹角的余弦用表示的函数；求的最值。例5、围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：元)。（）将y表示为x的函数： （）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。【课堂练习】1. 函数，的值域是 。2. 函数的值域是 。3. 设，若恒成立，则实数的取值范围是 。4. 设若的最小值为（ ） A 8 B 4 C 1 D 5. 函数的值域是 。6.函数的最大值是 。第七讲 点线面位置关系【要点归纳】1、平面图形知识2、空间图形知识3、位置关系【典例分析】例1、将正三棱柱截去三个角（如图所示，分别是三边的中点）得到几何体如图，则该几何体按所示方向的侧视图为（ ）EBEEEBBBBACDABCDEFHIGABCDEF侧视22222正（主）视图侧（左）视图俯视图例2、根据三视图还原图形。2322正（主）视图侧（左）视图俯视图202020201010正视图侧视图俯视图例3、某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为和的线段，则的最大值为（ ）A. B. C. D.例4、在长方体中，哪些棱与平行？异面？垂直？例5、在长方体中，哪些面与平行？垂直？例6、判断下列说法是否正确？垂直于同一直线的两条直线相互平行；平行于同一直线的两个平面平行；平行直线的平行投影重合；若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若、与所成角相等，则；若，则；若，则；若，则；如果，、是异面直线，那么；若平面内有不共线三点到平面的距离相等，则。例7、已知一个平面，那么对于空间内的任意一条直线，在平面内一定存在一条直线，使得与（ ）A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直【课堂练习】1、将装有水的长方体的水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度，则倾斜后水槽的水形成的几何体是（ ）1111333正视图侧视图俯视图A.棱柱 B.棱台 C.棱柱与棱锥组合体 D.不能确定2、若是两条异面直线，外的任意一点，则（ ）A.过点有且仅有一条直线与，都平行；B.过点有且仅有一条直线与，都垂直；C.过点有且仅有一条直线与，都相交；D.过点有且仅有一条直线与，都异面；3、若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是 。6666344334、一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：）为（ ）A. B. C. D.5、长方体中，一只蚂蚁从点出发沿表面爬行到点，求蚂蚁爬行的最短路线的长。第八讲 平行于垂直【要点归纳】1、平行的判定和性质2、垂直的判定和性质【典例分析】例1、如图，已知正方体中，、分别是和的中点。证明：平面。OABCDMN例2、如图，在四棱锥中，底面是四边长为1的菱形。，底面，为的中点，为的中点。证明：直线平面。例3、如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，的中点，设是的中点。PABCOFEG证明：平面；ABCDE例4、四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，。证明：。ABCA1B1C1例5、如图，在直三棱柱中，平面侧面。求证：。例6、如图，在三棱锥中，底面，点，分别在棱上，且求证：平面；例7、如图，四棱锥的底面是正方形，点E在棱PB上.求证：平面； ACBA1B1C1例8、如图，斜三棱柱的底面是直角三角形，点在底面上的射影恰好是的中点，且。求证：平面平面;求证：。例9、如图，在直三棱柱中，、分别是、的中点，点在上，。 求证：（1）EF平面ABC； （2）平面平面.【课堂练习】1. 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥PEFGH,下半部分是长方体ABCDEFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.（1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图;（2）求该安全标识墩的体积（3）证明:直线BD平面PEGABCDEPQ2.如图，平面，、分别为，的中点。证明：平面。E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 3.如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB/CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。证明：直线EE/平面FCC；4.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，以的中点为球心、为直径的球面交于点求证：平面平面；5.如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD=2a，点E是SD上的点，且求证：对任意的，都有ABCDEFPM6. 如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，（I）求证：；（II）设线段、的中点分别为、，求证： 第九讲 直线方程【要点归纳】1、直线方程2、直线系方程3、两条直线的位置关系4、距离公式5、直线中得分对称问题【典例分析】例1、根据下列条件，求直线方程：求过点且与原点的距离为1的直线的方程；求过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程；矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点 在边所在直线上。求边所在直线的方程。例2、求证：不论为什么实数，直线都通过一定点；已知直线方程为。证明：直线恒过定点；若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，求面积的最小值及此时直线的方程。例3、已知直线与直线，根据下列条件，求的值。；。例4、求下列直线方程：过点且与直线平行；过直线和的交点，且与直线垂直。例5、求解下列问题：过点且与原点距离最大的直线方程是（ ）A. B. C. D.已知点，试在直线上找一点使最小，并求出最小值。例6、求直线关于直线对称的直线的方程。例7、是轴上两点，点的横坐标为 ，且，若直线的方程为，则直线的方程为 ；【课堂练习】1.下列四个命题中真命题的序号是 。经过定点的直线都可以用方程表示；经过任意两个不同点，的直线都可以用方程表示；不经过原点的直线都可以用方程表示；经过定点的直线都可以用方程表示。2.已知点、，直线与线段相交，则直线的斜率的范围是（ ）A.或 B. C. D.3.若直线与直线平行，则实数的值等于（ ）A. B. C.或 D. 或4.下面给出的四个点中，到直线的距离为，且满足不等式的点是（ ）A. B. C. D.5.过点且方向向量为的直线方程为 。6.过点的直线交轴、轴正半轴于、两点，求使：面积最小时的方程；最小时的方程。第十讲 圆的方程【要点归纳】1、圆的方程2、直线和圆的位置关系3、圆与圆的位置关系【典例分析】例1、根据下列条件求圆的方程经过坐标原点和点，并且圆心在直线上；已知一圆过、两点，且在轴上截得的线段长为，求圆的方程。例2、若直线与圆总有两个不同的交点，则的取值范围是 ；已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切，则圆的方程为 。例3、已知圆和直线交于、两点，且（为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径。例4、已知圆及直线（）证明：不论取什么实数，直线与圆恒相交；求直线被圆截得的弦长的最短长度及此时的直线方程。例5、已知点是圆上任意