高考数学 11.3 圆的方程复习课件 理.ppt

11 3圆的方程 1 圆x2 y2 4x 6y 3 0的圆心和半径分别是 a 4 6 16b 2 3 4c 2 3 4d 2 3 16 c 2 方程ax2 ay2 4 a 1 x 4y 0表示圆 则a的取值范围是 a a rb a 1且a rc a 0且a rd a 4 解析 方程表示圆 则a 0 4 a 1 2 16 4 0 0 解得a 0 a r 故选c c 3 当a取不同的实数时 由方程x2 y2 2ax 2ay 1 0可以得到不同的圆 则 a 这些圆的圆心都在直线y x上b 这些圆的圆心都在直线y x上c 这些圆的圆心都在直线y x或y x上d 这些圆的圆心不在同一条直线上 a 4 经过圆c x 1 2 y 2 2 4的圆心且斜率为1的直线方程为 a x y 3 0b x y 3 0c x y 1 0d x y 3 0 a 5 若圆x2 y2 a2 1 x 2ay a 0关于直线x y 1 0对称 则实数a的值为 解析 由已知 圆心在直线x y 1 0上 则解得a 1或a 3 而当a 1时 原方程不能表示圆 当a 3时 原方程表示圆 故a 3为所求 3 1 圆的标准方程为 其中圆心为 a b 半径为r r 0 特别地 圆心在圆点 半径为r的圆的方程为x2 y2 r2 x a 2 y b 2 r2 2 圆的一般方程为x2 y2 dx ey f 0 d2 e2 4f 0 圆心为 半径r 0 注意 1 当d2 e2 4f0时 表示圆 2 当d2 e2 4f0时 表示一个点 3 当d2 e2 4f0时 不表示任何图形 3 确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的主要方法是待定系数法 大致步骤为 根据题意 选择标准方程或一般方程 根据条件列出关于a b r或d e f的方程组 解出a b r或d e f 代入标准方程或一般方程 4 点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种 设圆的标准方程为 x a 2 y b 2 r2 点m x0 y0 点在圆上 点在圆外 点在圆内 x0 a 2 y0 b 2 r2 x0 a 2 y0 b 2 r2 x0 a 2 y0 b 2 r2 考点1 求圆的方程例题1 已知圆心为c的圆经过点a 1 1 和b 2 2 且圆心c在直线l x y 1 0上 求圆心为c的圆的标准方程 分析 要求圆的标准方程 必须找出圆心坐标和半径 解析 由已知求得ab的垂直平分线l 的方程为x 3y 3 0 圆心c的坐标是方程组x 3y 3 0 x y 1 0的解 解得x 3 y 2 半径故所求圆的方程为 x 3 2 y 2 2 25 点评 充分探究已知条件所涉及的几何性质并灵活运用 既能准确获知求解思路 又能简化解答过程 拓展训练 根据下列条件求圆的方程 1 圆心在直线y 4x上 且与直线l x y 1 0相切于点p 3 2 解析 过切点p 3 2 且与直线x y 1 0垂直的直线方程为y 2 x 3 与y 4x联立可求得圆心为 1 4 所以半径所求圆的方程为 x 1 2 y 4 2 8 2 过三点a 1 12 b 7 10 c 9 2 解析 设圆的一般方程x2 y2 dx ey f 0 1 144 d 12e f 0则49 100 7d 10e f 081 4 9d 2e f 0 解得d 2 e 4 f 95 所以所求圆的方程为x2 y2 2x 4y 95 0 点评 求圆的方程时 应根据条件选用合适的圆的方程 一般来说 求圆的方程有两种方法 几何法 通过研究圆的性质进而求出圆的基本量 代数法 即设出圆的方程 用待定系数法求解 考点2 与圆的方程有关的综合问题例题2 已知实数x y满足方程x2 y2 4x 1 0 1 求y x的最大值和最小值 2 求x2 y2的最大值和最小值 分析 根据代数式的几何意义 借助于平面几何知识 数形结合求解 点评 与圆有关的最值问题 常见的有以下几种类型 形如 形式的最值问题 可转化为动直线斜率的最值问题 形如t ax by形式的最值问题 可转化为动直线截距的最值问题 形如 x a 2 y b 2形式的最值问题 可转化为动点到定点的距离平方的最值问题 考点3与圆有关的轨迹问题例题3 点p 4 2 与圆x2 y2 4上任一点连线的中点的轨迹方程是 a x 2 2 y 1 2 1b x 2 2 y 1 2 4c x 4 2 y 2 2 4d x 2 2 y 1 2 1 a 点评 求与圆有关的轨迹问题时 根据题设条件的不同常采用以下做法 直接法 直接根据题目提供的条件列出方程 定义法 根据圆 直线等定义列方程 几何法 利用圆与圆的几何性质列方程 代入法 找到要求点与已知点的关系 代入已知点满足的关系式等 此外还有交轨法 参数法等 不论哪种方法 充分利用圆与圆的几何性质 找出动点与定点之间的关系是解题的关键 考点4与圆的方程有关的综合问题 点评 本例是直线与圆的位置关系 等比数列 向量的数量积的综合问题 问题分析求解的关键是运用转化化归思想 即将题设和目标转化为坐标关系式 通过变式运算实现问题的解决 已知a b为两个定点 且 ab 2a 动点m到a与到b的距离之比为常数 求点m的轨迹方程 并说明轨迹是什么曲线 解析 以直线ab为x轴 线段ab的垂直平分线为y轴 建立平面直角坐标系 如图所示 则a a 0 b a 0 设m x y 因为所以化简得 1 2 x2 1 2 y2 2a 1 2 x 1 2 a2 0 当 1时 轨迹方程为x 0 它表示的轨迹是直线 即y轴 当 1时 轨迹方程为它表示的轨迹是以为圆心 为半径的圆 1 求圆的方程问题求一个圆的方程需要三个独立条件 待定系数法是求圆的方程的基本方法 应熟练掌握 若由已知条件易求圆心坐标 半径或需要由圆心坐标列方程 常选用圆的标准方程 若所求圆与圆心 半径关系不密切 或更突出方程的二次形式 常选用圆的一般方程 2 与圆有关的轨迹方程 关于轨迹问题 应注意建立适当的坐标系 然后根据条件 选择适当的方法 如坐标法 定义法等 求得轨迹方程 3 与圆有关的几何量的应用处理与圆有关的问题 要注意圆心 半径及平面几何知识的运用 如弦心距 半径 弦长的一半构成的直角三角形在解题中的应用 利用圆的几何量之间的关系解题 往往能使问题简化 易错点 对动点轨迹的