2016年山东省高考数学模拟试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 17 页） 2016 年山东省高考数学模拟试卷（理科） 一、选择题：本大题共 10个小题，每小题 5分，共 50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1若复数 z=（ a 1） +3i（ aR）在复平面内对应的点在直线 y=x+2 上，则 a 的值等于（ ） A 1B 2C 5D 6 2已知集合 ，则集合 A 的真子集的个数为（ ） A 3B 4C 1D 2 3已知函数 f（ x） = ，若 f（ 1） =2f（ a），则 a 的值等于（ ） A 或 B C D 4将 800 个个体编号为 001 800，然后利用系统抽样的方法从中抽取 20 个个体作为样本，则在编号为 121 400 的个体中应抽取的个体数为（ ） A 10B 9C 8D 7 5 “数列 等比数列 ”是 “数列 成等差数列 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6已知直线 l 的方程为 y 3=0，且 a 5， 4，则直线 l 的斜率不小于 1 的概率为（ ） A B C D 7一个 空间几何体的三视图如图，其中主视图是腰长为 3 的等腰三角形，俯视图是边长分别为 1， 2 的矩形，则该几何体的体积等于（ ） A 2B C D 8已知向量 ，若向量 的夹角为 ，则有（ ） A =B = C = D = 2 第 2 页（共 17 页） 9已知不等式 2x+m+ 0 对一切 x（ 1， +）恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ） A m 10B m 10C m 8D m 8 10在三角形 ，角 A、 B、 C 的对边分别为 a， b， c，且满足 = = ，则=（ ） A B C D 二、填空题（每题 5分，满分 25分，将答案填在答题纸上） 11阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是 12从 0， 2， 4 中选两个数字，从 1， 3 中选一个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为 13若不等式 |2x+a| b 的解集为 x|1 x 4，则 于 14若函数 f（ x） = （ a 0， a1）的图象经过定点 P（ m， n），则函数 g（ x） =）的最大值等于 15已知双曲线 =1（ a 0， b 0）的一条渐近线与抛物线 p 0）的准线的交点坐标为 ，且双曲线与抛物线的一个公共点 M 的坐标（ 4），则双曲线的方程为 三、解答题（本大题共 6小题，共 75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16已知函数 f（ x） =x+ ） x+ ） + （ 1）若 f（ + ） = ， 0 ，求 （ 2）求函数 f（ x）的最小正周期和单调递增区间 17在 2015 年 8 月世界杯女排比赛中，中国女排以 11 战 10 胜 1 负的骄人战绩获得冠军世界杯女排比赛，采取 5 局 3 胜制，即每场比赛中，最先获胜 3 局的队该场比赛获胜，比赛结第 3 页（共 17 页） 束，每场比赛最多进行 5 局比赛比赛的积分规则是： 3 0 或者 3 1 取胜的球队积 3 分，负队积 0 分； 3 2 取胜的球队积 2 分，负队积 1 分在本届世界杯中，中国队与美国队在第三轮相遇，根据以往数据统计分析，中国队与美国队的每局比赛中，中国队获胜的概率为 （ 1）在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的概率是多少？ （ 2）试求中国队与美国队比赛中，中国队获得积分的分布列与期望 18如图，矩形 梯形 在平面互相垂直 ， ， （ 1）求证： 平面 （ 2）若 ，且 =，当 取何值时，直线 成角的大小为 600？ 19已知数列 前 n 项和 Sn= （ 1）求数列 通项公式； （ 2）若 ，且数列 前 n 项和为 20已知椭圆 =1（ a b 0）经过点 ，且离心率等于 （ 1）求椭圆的方程； （ 2）若直线 l： y=x+m 与椭圆交于 A， B 两点，与圆 x2+ 交于 C， D 两点 当 |2 时，求直线 l 的方程； 若 = ，试求 的取值范围 21已知函数 f（ x） =） + （ aR） （ 1）若函数 f（ x）在定义域上是单调递增函数，求实数 a 的取值范围； （ 2）若函数在定义域上有两个极值点 问：是否存在实数 a，使得 f（ +f（ 3？ 第 4 页（共 17 页） 2016年山东省高考数学模拟试卷（理科） 参考答 案与试题解析 一、选择题：本大题共 10个小题，每小题 5分，共 50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1若复数 z=（ a 1） +3i（ aR）在复平面内对应的点在直线 y=x+2 上，则 a 的值等于（ ） A 1B 2C 5D 6 【考点】 复数的代数表示法及其几何意义 【分析】 求出对应点的坐标，代入直线方程，然后求解 a 的值 【解答】 解：复数 z=（ a 1） +3i（ aR）在复平面内对应的点在直线 y=x+2 上， 可得 3=a 1+2，解得 a=2 故选： B 2已知集合 ，则集合 A 的真子集的个数为（ ） A 3B 4C 1D 2 【考点】 子集与真子集 【分析】 先求出集合 A，由此能求出集合 A 的子集的个数 【解答】 解： 集合 =2， 集合 A 的真子集只有一个为 故选： C 3已知函数 f（ x） = ，若 f（ 1） =2f（ a），则 a 的值等于（ ） A 或 B C D 【考点】 分段函数的应用 【分析】 利用分段函数的表达式建立方程关系进行求解即可 【解答】 解： f（ 1） =（ 1） 2=1， 则由 f（ 1） =2f（ a），得 1=2f（ a）， 即 f（ a） = ， 若 a 0，由 f（ a） = 得 ，得 a= ， 若 a 0，由 f（ a） = 得 ，得 a= 或 （舍）， 综上 a 的值等于 或 ， 第 5 页（共 17 页） 故选： A 4将 800 个个体编号为 001 800，然后利用系统抽样的方法从中抽取 20 个个体作为样本，则在编号为 121 400 的个体中应抽取的个体数为（ ） A 10B 9C 8D 7 【考点】 系统抽样方法 【分析】 根据题意，求出系统抽样的分组组距，再求编号为 121 400 的个体中应抽取的个体数即可 【解答】 解：把这 800 个个体编上 001 800 的号码，分成 20 组， 则组距为 =40； 所以编号为 121 400 的个体中应抽取的个体数为 =7 故选： D 5 “数列 等比数列 ”是 “数列 成等差数列 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 等差关系的确定 【分析】 数列 等比数列，公比为 q若 0 时，则 没有意义由数列 成等差数列，则（ +1）（ ） = 为常数，则 为非 0 常数即可判断出结论 【解答】 解： 数列 等比数列，公比为 q 若 0 时，则 没有意义 由数列 成等差数列，则（ +1）（ ） = 为常数，则 为非 0常数 “数列 等比数列 ”是 “数列 成等差数列 ”的必要不充分条件 故选： B 6已知直线 l 的方程为 y 3=0，且 a 5， 4，则直线 l 的斜率不小于 1 的概率为（ ） A B C D 【考点】 直线的斜率 【分析】 先求出直线的斜率的范围，再根据几何概型的概率 公式计算即可 【解答】 解：由 y 3=0 得到 y= x+ ，故直线的斜率为 ， 直线 l 的斜率不小于 1， 第 6 页（共 17 页） 1，即 a 2， 且 a 5， 4， 5a 2， 直线 l 的斜率不小于 1 的概率为 = ， 故选： C 7一个空间几何体的三视图如图，其中主视图是腰长为 3 的等腰三角形，俯视图是边长分别为 1， 2 的矩形，则该几何体的体积等于（ ） A 2B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图易得这个几何体是一个四棱锥，四棱 锥的底面是一个边长是 1、 2 的长方形，顶点在底面的射影是长边的中点，短侧棱长为： 3，求出棱锥的高，即可求解四棱锥的体积 【解答】 解：由三视图知，这是一个四棱锥， 四棱锥的底面是一个边长是 1、 2 的长方形，顶点在底面的射影是长边的中点，短侧棱长为3， 棱锥的高： =2 ， 四棱锥的体积是： 122 = 故选： D 8已知向量 ，若向量 的夹角为 ，则有（ ） A =B = C = D = 2 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据向量的夹角公式和两角和的余弦公式以及诱导公式，再根据向量的夹角的范围即可求出 【解答】 解： 向量， 第 7 页（共 17 页） | |= =1， | |=1， = ）， = ） = ）， （ ， 2）， （ 0， ）， = ， 故选： C 9已知 不等式 2x+m+ 0 对一切 x（ 1， +）恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ） A m 10B m 10C m 8D m 8 【考点】 基本不等式 【分析】 不等式 2x+m+ 0 化为： 2（ x 1） + m 2，利用基本不等式的性质可得 2（ x 1） + 的最小值，即可得出 【解答】 解： 不等式 2x+m+ 0 化为： 2（ x 1） + m 2， x 1， 2（ x 1） + 2 =8，当且仅当 x=3 时取等号 不等式 2x+m+ 0 对一切 x（ 1， +）恒成立， m 2 8， 解得 m 10， 故选： A 10在 三角形 ，角 A、 B、 C 的对边分别为 a， b， c，且满足 = = ，则=（ ） A B C D 【考点】 正弦定理；余弦定理 【分析】 由题意设 = = =k，可得 a=6k， b=4k， c=3k，由余弦定理可得 由正弦定理可得 = ，代值化简可得 【解答】 解：由题意设 = = =k，（ k 0）， 则 a=6k， b=4k， c=3k， 由余弦定理可得 第 8 页（共 17 页） = = ， 由正弦定理可得 = = = = ， 故选： A 二、填空题（每题 5分，满分 25分，将答案填在答题纸上） 11阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是 11 【考点】 循环结构 【分析】 按照循环结构的流程，列举出每个循环的变量的取值，与循环条件对比即可得结果 【解答】 解：依此程序框图，变量 a 的变化依次为 1， 12+2=3， 32+2=11 不满足循环条件 a 10，故输出 11 故答案为 11 12从 0， 2， 4 中选两个数字，从 1， 3 中选一个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为 20 【考点】 计数原理的应用 【分析】 根据 0 的特点，分三类进行，当 0 在个为和十位时，当没有 0 参与时，根据分类计数原理可得 【解答】 解：若三位数的个位为 0，则有 22 个； 若十位为 0，则有 21=4 个； 若这个三位数没有 0，则有 21 个 综 上，要求的三位偶数的个数为 8+8+4=20 个， 故答案为： 20 13若不等式 |2x+a| b 的解集为 x|1 x 4，则 于 15 【考点】 绝对值不等式的解法 第 9 页（共 17 页） 【分析】 解出不等式 |2x+a| b，得到关于 a， b 的不等式组，求出 a， b 的值，从而求出 【解答】 解： |2x+a| b， b 2x+a b， a b 2x b a， x ， 由不等式的解集为 x|1 x 4， 则 ，解得： a= 5， b=3 则 15， 故答案为： 15 14若函数 f（ x） = （ a 0， a1）的图象经过定点 P（ m， n），则函数 g（ x） =）的最大值等于 1 【考点】 函数与方程的综合运用；函数的最值及其几何意义 【分析】 求出 m、 n，然后利用对数函数的性质，以及二次函数的性质求解函数的最值 【解答】 解：函数 f（ x） = （ a 0， a1）的图象经过定点 P（ m， n）， 可知 m= 2， n= ，函数 g（ x） =） = x+4） =（ x+1） 2+3 1 函数 g（ x） =）的最大值： 1 故答案为： 1 15已知双曲线 =1（ a 0， b 0）的一条渐近线与抛物线 p 0）的准线的交点坐标为 ，且双曲线与抛物线的一个公共点 M 的坐标（ 4），则双曲线的方程为 x25 y220=1 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求得双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程，由题意可得 p= ， =2，求得 M（ 3， 4）代入双曲线的方程，解方程可得 a， b，进而得到双曲线的方程 【解答】 解：双曲线 =1 的渐近线方程为 y= x， 抛物线 准线方程为 x= ， 第 10 页（共 17 页） 由题意可得 = ，即 p= ， =2，即 b=2a 又 M 的坐标（ 4），可得 16=2 解得 ， 将 M（ 3， 4）代入双曲线的方程可得 =1 由 解得 a= ， b=2 ， 即有双曲线的方程为 =1 故答案为： =1 三、解答题（本大题共 6小题，共 75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16已知函数 f（ x） =x+ ） x+ ） + （ 1）若 f（ + ） = ， 0 ，求 （ 2）求函数 f（ x）的最小正周期和单调递增区间 【考点】 三角函数中 的恒等变换应用；正弦函数的图象 【分析】 （ 1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得 f（ x） = 2x ），由 f（ + ） = ，可解得 0 ，可由同角三角函 数关系式即可求 （ 2）由 f（ x） = 2x ），根据周期公式可求 T，由 22x 2， k 【解答】 解：（ 1） f（ x） =x+ ） x+ ） + =+ = 2x ）， f（ + ） = ，故有： （ + ） = + ） = + ） = ， 可解得： ， 0 ， = ， 第 11 页（共 17 页） = = （ 2） f（ x） = 2x ）， T= = 由 22x 2， kZ 可解得： x， ， kZ 函数 f（ x）的最小正周期是 ，单调递增区间是： x， ， kZ 17在 2015 年 8 月世界杯女排比赛中，中国女排以 11 战 10 胜 1 负的骄人战绩获得冠军世界杯女排比赛，采取 5 局 3 胜制，即每场比赛中，最先获胜 3 局的队该场比赛获胜，比赛结束，每场比赛最多进行 5 局比赛比赛的积分规则是： 3 0 或者 3 1 取胜的球队积 3 分，负队积 0 分； 3 2 取胜的球队积 2 分，负队积 1 分在本届世界杯中，中国队与美国队在第三轮相遇，根据以往数据统计分析，中国队与美国队的每局比赛中，中国队获胜的概率为 （ 1）在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的概率是多少？ （ 2）试求中国队与美国队比赛中，中国队获得积分的分布列与期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ 1）在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的可能性有两种：连胜 3局或前 3 局两胜 1 负，第五局胜，由此能求出在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的概率 （ 2）中国队与美国队比赛中，中国队获得积分 X 的可能取值为 0， 1， 2， 3，分别求出相应的概率，由此能求出中国队获得积分 X 的分布列和数学期望 【解答】 解：（ 1） 根据以往数据统计分析，中国队与美国队的每局比赛中，中国队获胜的概率为 ， 在中国队先输一局的情况下，中国队本场比赛获胜的概率： p= + = （ 2）中国队与美国队比赛中，中国队获得积分 X 的可能取值为 0， 1， 2， 3， P（ X=0） = = ， P（ X=1） = = ， P（ X=2） = = ， P（ X=3） = （ ） = ， 第 12 页（共 17 页） 中国队获得积分 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P = 18如图，矩形 梯形 在平面互相垂直， ， （ 1）求证： 平面 （ 2）若 ，且 =，当 取何值时，直线 成角的大小为 600？ 【考点】 异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）推导出面 面 此能证明 面 （ 2）以 C 为坐标原点，以 别为 x， y， z 轴建系，利用向量法能求出当 取 1 时，直线 成角的大小为 60 【解答】 证明：（ 1） B=B， D=C， 面 面 又 面 解：（ 2） ，且面 面 面 C 为坐标原点，以 别为 x， y， z 轴建系， ，且 =， ） ， A（ ，（ ） ， 0）， E（ ， 0， ）， F（ 0， 0， ）， B（ ， 0， 0）， =（ 0，（ 1 ） ， ）， =（ ， 0， ）， 直线 成角的大小为 60， = ， 由 0，解得 =1， 当 取 1 时，直线 成角的大小为 60 第 13 页（共 17 页） 19已知数列 前 n 项和 Sn= （ 1）求数列 通项公式； （ 2）若 ，且数列 前 n 项和为 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）由于数列 前 n 项和 Sn=，可得a1+a2= 2，解得 n2 时， 1=1+ 2，可得： an=1+ n 2 2，化简整理即可得出 （ 2） ，可得 1= 即可得 出 【解答】 解：（ 1） 数列 前 n 项和 Sn=， a1+a2= 2，解得 当 n2 时， 1=1+ 2，可得： an=1+ n 2 2， 解得 1=n+1 an=n+2，当 n=1 时也成立 第 14 页（共 17 页） an=n+2 （ 2） ， 1= = = 数列 前 2n 项和 + = 20已知椭圆 =1（ a b 0）经过点 ，且离心率等于 （ 1）求椭圆的方程； （ 2）若直线 l： y=x+m 与椭圆交于 A， B 两点，与圆 x2+ 交于 C， D 两点 当 |2 时，求直线 l 的方程； 若 = ，试求 的取值范围 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）运用椭圆的离心率公式和点 M 满足椭圆方程，结合 a， b， c 的关系，解方程可得 a， b，进而得到椭圆方程； （ 2） 求出 O 到直线的距离，由圆的弦长公式可得 2 ，解方程可得 m 的值，进而得到直线的方程； 将直线 y=x+m 代入椭圆方程，运用判别式大 于 0，运用韦达定理和弦长公式，再由直线和圆相交的条件和弦长公式，化简整理，即可得到所求范围 【解答】 解：（ 1）由题意可得 e= = ， b2= 将 M 的坐标代入椭圆方程，可得 + =1， 解得 a=2 ， b=c=2， 即有椭圆的方程 为 + =1； （ 2） O 到直线 y=x+m 的距离为 d= ， 由弦长公式可得 2=2 ， 第 15 页（共 17 页） 解得 m= ， 可得直线的方程为 y=x ； 由 y=x+m 代入椭圆方程 ， 可得 38=0， 由判别式为 =1612（ 28） 0， 化简可得 12， 由直线和圆相交的条件可得 d r， 即有 ，即为 4， 综上可得 m 的范围是（ 2， 2） 设 A（ B（ 可得 x1+ ， ， 即有弦长 | = = ， |2 = ， 即有 = = = ， 由 0 4 ，可得 2， 即有 则 的取值范围是 ， +）