四川省巴中市2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案解析

2015年四川省巴中市高一（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求 . 1已知 是锐角，那么 2是（ ） A第一象限角 B第二象限角 C小于 180的正角 D第一或第二象限角 2若角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，且终边上一点的坐标为（ ， ），则 ） A B C D 3 值为（ ） A正数 B负数 C零 D不存在 4下列函数中，在区间（ 0， +）上是增函数的是（ ） A y= 4x+5 B y=9 y=（ ） x D y=|x| 5已知函数 f（ x） = ，则 ff（ 3） 的值为（ ） A 3 B 1 C 3 D 21 6函数 f（ x） =的零点所在的区间是（ ） A（ 0， 1 B（ 1， 10 C（ 10， 100 D（ 100， +） 7若 a=b=c= a， b， c 的大小关系是（ ） A a b c B a c b C b c a D b a c 8将函数 y=xR 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为（ ） A y= xR B y=xR C y= xR D y=2xR 9某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为 p，第二年的增长率为 q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（ ） A B C 10如图，已知 A， B， C 为直线 y=1 与函数 y=y=图象在第一象限的三个相邻交点 ，若线段 长度记为 |则 | |（ ） A 1： 2 B 1： 3 C 1： 4 D 1： 5 11已知函数 f（ x） =32x ），则下列结论正确的是（ ） A f（ x）的最小正周期为 2 B f（ x）的图象关于直线 x= 对称 C函数 f（ x）在区间上（ ， ）是增函数 D由函数 y=3图象向右平移 个单位长度可得到函数 f（ x）的图象 12若函数 f（ x）， g（ x）分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，且满足 f（ x） +g（ x） =下列结论正确的是（ ） A f（ x） = 且 0 f（ 1） g（ 2） B f（ x） = 且 0 f（ 1） g（ 2） C f（ x） = 且 g（ 2） f（ 1） 0 D f（ x） = 且 g（ 2） f（ 1） 0 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20分 . 13化简：（ 1+ ） 14设 f（ x）是周期为 2 的奇函数，当 0x1 时， f（ x） =2x（ 1 x），则 = 15若 1（ a 0 且 a1），则实数 a 的取值范围是 16巴山市某重点中学 “发现数学的美丽 ”尖峰团队的记为同学弘扬 “砥砺自为 ”的校训精神，在周末自觉抵制网络游戏，发挥 的正能量作用开展 “共探共享 ”自主研究性学习活动，这是他们以人教 中的函数： f（ x） =基本素材，取得的部分研究结果： 友 ”通过乡下富起来 “发现：函数 f（ x）的定义域为（ 1， 1）； 友 “南江红叶红起来 ”发现：对于任意 a， b（ 1， 1），都有 f（ a） +f（ b） =f（ ）恒成立； 友 “巴中二环通起来 ”发现：函数 f（ x）是偶函数； 友 “平昌水乡美起来 ”发现：函数 f（ x）只有一个零点； 友 “恩阳机场飞起来 ”发现：对于函数 f（ x）定义域中任意不同实数 满足 0其中所有的正确研究成果的序号是 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17设全集为 R，集合 A=x| 1x 3， B=x|y= +x 1） ； （ ）求 A B， R（ AB）； （ ）若集合 C=x|2x+a 0，满足 B C=C，求实数 a 的取值范围 18已知函数 f（ x） =x ，求证： （ ） f（ x）是奇函数； （ ） f（ x）在（ ， 0）上是增函数 19（ 1）已知 +） = ，求 的值； （ ）已知 ，且 0 ，求 20已知函数 f（ x） =1， x ， （ ）当 ，求 f（ x）的最大值和最小值； （ ）若 f（ x）在 x ， 上是单调函数，且 0， 2，求 的取值范围 21函数 f（ x） =2 x+ ）（ 0）在一个周期内的图象如图所示， A 为图象的最高点， B，C 为图象与 x 轴的交点，且 正三角 形 （ ）指出函数 f（ x）的值域； （ ）求函数 f（ x）的解析式； （ ）若 f（ = ，且 ， ），求 f（ ）的值 22已知定义在 R 上的函数 f（ x），对任意的 x， yR 都有 f（ x+y） =f（ x） +f（ y），且当 x 0 时，f（ x） 0 （ ）求 f（ 0）的值，判断 f（ x）的奇偶性并说明理由； （ ）求证： f（ x）在（ ， +）上是增函数； （ ）若不等式 f（ k2x） +f（ 2x 4x 2） 0 对任意 xR 恒成立，求实数 k 的取值范围 2015年四川省巴中市高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求 . 1已知 是锐角，那么 2是（ ） A第一象限角 B第二象限角 C小于 180的正角 D第一或第二象限角 【考点】 象限角、轴线角 【专题】 计算题 【分析】 根据 是锐角求出 的范围，再求出 2的范围，就可得出结论 【解答】 解： 是锐角， 0 90 0 2 180， 2是小于 180的正角 故选 C 【点评】 本题主要考查角的范围的判断，学生做题时对于锐角，第一象限角这两个概念容易混淆 2若角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，且终边上一点的坐标为（ ， ），则 ） A B C D 【考点】 任意角的三角函数的定义 【专题】 计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值 【分析】 利用三角函数的定义，即可得出结论 【解答】 解： 点（ ， ）是角 终边上一点， ， 故选： A 【点评】 本题考查三角函数的定义，考查学生的计算能力，比较基础 3 值为（ ） A正数 B负数 C零 D不存在 【考点】 三角函数值的符号 【专题】 计算题；函数思想；数学模型法；三角函数的求值 【分析】 利用三角函数的诱导公式化简得答案 【解答】 解： 5360+216） = 0 故选： B 【点评】 本题考查三角函数的诱导公式，考查了三角函数值的符号，是基础题 4下列函数中，在区间（ 0， +）上是增函数的是（ ） A y= 4x+5 B y=9 y=（ ） x D y=|x| 【考点】 函数单调性的判断与证明 【专题】 证明题；函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 根据一次函数、二次函数、指数函数的单调性便可判断每个选项函数在（ 0， +）上的单调性，从而找出正确选项 【解答】 解： A y= 4x+5 在（ 0， +）上为减函数， 该选项错误； B由 y=9 图象知，该函数在（ 0， +）上为减函数， 该选项错误； C指数函数 在（ 0， +）上为减函数， 该选项错误； D x 0 时， y=|x|=x 为增函数， 该选项正确 故选： D 【点评】 考查一次函数，二 次函数，及指数函数的单调性，要熟悉 每个选项函数的图象，根据函数图象判断函数单调性的方法 5已知函数 f（ x） = ，则 ff（ 3） 的值为（ ） A 3 B 1 C 3 D 21 【考点】 函数的值 【专题】 计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 利用分段函数的性质求解 【解答】 解： 函数 f（ x） = ， f（ 3） =（ 3） 2 4（ 3） =21， ff（ 3） =f（ 21） =1 故选： B 【点评】 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用 6函数 f（ x） =的零点所在的区间是（ ） A（ 0， 1 B（ 1， 10 C（ 10， 100 D（ 100， +） 【考点】 函数的零点；二分法的定义 【专题】 计算题 【分析】 先求出 f（ 1） f（ 10） 0，再由二分法进行判断 【解答】 解：由于 f（ 1） f（ 10） =（ 0 ）（ 1 ） =（ 1） 0， 根据二分法，得函数在区间（ 1， 10内存在零点 故选 B 【点评】 本题考查函数的零点问题，解题时要注意二分法的合理运用 7若 a=b=c= a， b， c 的大小关系是（ ） A a b c B a c b C b c a D b a c 【考点】 对数值大小的比较；指数函数的单调性与特殊点 【专题】 计算题 【分析】 由 0 a=， b=， c=20=1，能比较 a， b， c 的大小关系 【解答】 解： 0 a=， b=， c=20=1， b a c， 故选 D 【点评】 本题考查对数值和指数值大小的比较，是基础题解题时要认真审题， 仔细解答，注意合理地进行等价转化 8将函数 y=xR 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，所得图象 对应的函数解析式为（ ） A y= xR B y=xR C y= xR D y=2xR 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【专题】 转化思想；综合法；三角函数的图像与性质 【分析】 由条件利用函数 y=x+）的图象变换规律，得出结论 【解答】 解：将函数 y=xR 的图象上所有点的横坐标缩短为原 来的一半，纵坐标不变， 所得图象对应的函数解析式为 y=图象， 故选： B 【点评】 本题主要考查函数 y=x+）的图象变换规律，属于基础题 9某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为 p，第二年的增长率为 q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（ ） A B C 【考点】 有理数指数幂的化简求值 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 设该市这两年生产总值的年平均增长率为 x，可得（ 1+p）（ 1+q） =（ 1+x） 2，解出即可 【解答】 解：设该市这两年生 产总值的年平均增长率为 x， 则（ 1+p）（ 1+q） =（ 1+x） 2， 解得 x= 1， 故选： D 【点评】 本题考查了指数的运算性质、乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 10如图，已知 A， B， C 为直线 y=1 与函数 y=y=图象在第一象限的三个相邻交点，若线段 长度记为 |则 | |（ ） A 1： 2 B 1： 3 C 1： 4 D 1： 5 【考点】 正切函数的图象 【专题】 转化思想；综合法；三角函数的图像与性质 【分析】 先根据条件求得 A、 B、 C 的 值，可得 | |值，从而求得 | |值 【解答】 解： A， B， C 为直线 y=1 与函数 y=y=图象在第一象限的三个相邻交点， A= ，点 B 的坐标为（ ， 1），且 ， C（ ， ）， C= | = ， | = ， | |1： 3， 故选： B 【点评】 本题主要考查特殊角的三角函数的值，把线段的长度之比化为横坐标的差之比，属于基础题 11已知函数 f（ x） =32x ），则下列结论正确的是（ ） A f（ x）的最小正周期为 2 B f（ x）的图象关于直线 x= 对称 C函数 f（ x）在区间上（ ， ）是增函数 D由函数 y=3图象向右平移 个单位长度可得到函数 f（ x）的图象 【考点】 正弦函数的图象；命题的真假判断与应用 【专题】 函数思想；转化法；三角函数的图像与性质 【分析】 A根据三角函数的周期公式进行计算 B根据三角函数的对称性进行判断 C根据三角函数的单调性进行判断 D根据三角函数的图象关系进行判断 【解答】 解： A f（ x）的最小正周期 T= =，故 A 错 误， B当 x= 时， f（ ） =32 ） =3 ） =3 3，不是最值，故 f（ x）的图象关于直线 x= 不对称，故 B 错误， C当 x 时， 2x ，则 y=（ ， ）上单调递增函数，故 D函数 y=3图象向右平移 个单位长度得到 y=3x ） =32x ），则不能得到函数 f（ x）的图象，故 D 错误， 故选： C 【点评】 本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，涉及三角函数的图象和性质，考查学生的运算和推理能力 12若函数 f（ x）， g（ x）分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，且满足 f（ x） +g（ x） =下列结论正确的是（ ） A f（ x） = 且 0 f（ 1） g（ 2） B f（ x） = 且 0 f（ 1） g（ 2） C f（ x） = 且 g（ 2） f（ 1） 0 D f（ x） = 且 g（ 2） f（ 1） 0 【考点】 函数奇偶性的性质 【专题】 计算题；转化思想；函数的性质及应用 【分析】 函数 f（ x）， g（ x）分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，且满足 f（ x） +g（ x） =得 f（ x） +g（ x） =e x，即 f（ x） +g（ x） =e x，与 f（ x） +g（ x） =出即可得出 【解答】 解： 函数 f（ x）， g（ x）分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，且满足 f（ x） +g（ x） = f（ x） +g（ x） =e x，即 f（ x） +g（ x） =e x，与 f（ x） +g（ x） = 可得 g（ x） = ， f（ x） = 而 f（ 1） = ， g（ 2） = ， 0 f（ 1） g（ 2） 故选： B 【点评】 本题考查了函数的奇偶性、 单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20分 . 13化简：（ 1+ ） 1 【考点】 三角函数的化简求值 【专题】 转化思想；综合法；三角函数的求值 【 分析】 由条件利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值 【解答】 解：（ 1+ ） ， 故答案为： 1 【点评】 本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题 14设 f（ x）是周期为 2 的奇函数，当 0x1 时， f（ x） =2x（ 1 x），则 = 【考点】 函数的周期性；函数奇偶性的性质；函数的值 【专题】 计算题 【分析】 由题意得 =f（ ） = f（ ），代入已知条件进行运算 【解答】 解： f（ x）是周期为 2 的奇函数，当 0x1 时， f（ x） =2x（ 1 x）， =f（ ） = f（ ） = 2 （ 1 ） = ， 故答案为： 【点评】 本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值 15若 1（ a 0 且 a1），则实数 a 的取值范围是 （ 0， ） （ 1， +） 【考点】 其他不等式的解法 【专题】 计算题； 不等式的解法及应用 【分析】 把 1 变成底数的对数，讨论底数与 1 的关系，确定函数的单调性，根据函数的单调性整理出关于 a 的不等式，得到结果，把两种情况求并集得到结果 【解答】 解： 1= 当 a 1 时，函数是一个增函数，不等式成立， 当 0 a 1 时，函数是一个减函数，根据函数的单调性有 a ， 综上可知 a 的取值是（ 0， ） （ 1， +）， 故答案为：（ 0， ） （ 1， +） 【点评】 本题主要考查对数函数单调性的应用、不等式的解法等基础知识，本题解题的关键是对于底数与 1 的关系，这里应用分类 讨论思想来解题 16巴山市某重点中学 “发现数学的美丽 ”尖峰团队的记为同学弘扬 “砥砺自为 ”的校训精神，在周末自觉抵制网络游戏，发挥 的正能量作用开展 “共探共享 ”自主研究性学习活动，这是他们以人教 中的函数： f（ x） =基本素材，取得的部分研究结果： 友 ”通过乡下富起来 “发现：函数 f（ x）的定义域为（ 1， 1）； 友 “南江红叶红起来 ”发现：对于任意 a， b（ 1， 1），都有 f（ a） +f（ b） =f（ ）恒成立； 友 “巴中二环通起来 ”发现：函数 f（ x）是偶函数； 友 “平昌水乡美起来 ”发现：函数 f（ x）只有一个零点； 友 “恩阳机场飞起来 ”发现：对于函数 f（ x）定义域中任意不同实数 满足 0其中所有的正确研究成果的序号是 【考点】 对数函数的图象与性质 【专题】 计算题；函数的性质及应用 【分析】 由 0 解得 1 x 1； 作差法可得 f（ a） +f（ b） f（ ） =0； 化简 f（ x） +f（ x） =0； 解方程 0 可得 x=0； 可判断 f（ x） =（ 1， 1）上是减函数；从而依次分别判断即 可 【解答】 解：由 0 解得 1 x 1，故 正确； f（ a） +f（ b） f（ ） = = ） = 0， 故 正确； f（ x） +f（ x） =0， f（ x）是奇函数，故 不正确； 令 0 解得， x=0；故 成立； f（ x） = 1+ ）在（ 1， 1）上是减函数， 0 故 不正确； 故答案为： 【点评】 本题考查了对数函数的性质的判断及应用 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70分，解答须写出文字说明 、证明过程或演算步骤 . 17设全集为 R，集合 A=x| 1x 3， B=x|y= +x 1） ； （ ）求 A B， R（ AB）； （ ）若集合 C=x|2x+a 0，满足 B C=C，求实数 a 的取值范围 【考点】 交、并、补集的混合运算；集合的包含关系判断及应用 【专题】 计算题；集合思想；综合法；集合 【分析】 （ ）求出集合 B，从而求出 A B， R（ AB）即可；（ ）求出集合 C，根据 B C=C，得到关于 a 的不等式，解出即可 【解答】 解：集合 A=x| 1x 3， B=x|y= +x 1） =x|x2； （ ） A B= 1， 3）， R（ AB） =x|x3 或 x 2； （ ）若集合 C=x|2x+a 0=x|x ， 满足 B C=C， 2，解得： a 4 【点评】 本题考查了集合的运算，考查导数函数，二次根式的性质，是一道基础题 18已知函数 f（ x） =x ，求证： （ ） f（ x）是奇函数； （ ） f（ x）在（ ， 0）上是增函数 【考点】 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 （ I）先求函数的定义域，然 后根据函数的奇偶性的定义进行判定即可； （ ）利用取值、作差、变形、判断符号、下结论这五步进行证明，主要利用通分和提取公因式进行变形 【解答】 证明：（ ） f（ x）的定义域为 （ ， 0） （ 0， +），关于原点对称， ， f（ x） = f（ x）， f（ x）是奇函数； （ ）设任意的 ， 0），且 则=， 0， 0，且 0， 0， f（ f（ 0， 即 f（ f（ f（ x）在（ ， 0）上是增函数 【 点评】 本题主要考查函数奇偶性的判定，以及单调性的判断和证明，利用定义法和导数法是解决函数单调性的基本方法要求熟练掌握常见证明函数单调性的方法属于基础题 19（ 1）已知 +） = ，求 的值； （ ）已知 ，且 0 ，求 【考点】 同角三角函数基本关系的运用 【专题】 转化思想；综合法；三角函数的求值 【分析】 由条件利用本题主要考查同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值 【解答】 解：（ 1） 已知 +） = ， = = = （ ） 已知 ， 1 2， 2， 0 ， 0、 0， = = ， ， ， = 【点评】 本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题 20已知函数 f（ x） =1， x ， （ ）当 ，求 f（ x）的最大值和最小值； （ ）若 f（ x）在 x ， 上是单调函数，且 0， 2，求 的取值范围 【考点】 三角函数中 的恒等变换 应用；正弦函数的图象；三角函数的最值 【专题】 计算题；数形结合；函数的性质及应用；三角函数的求值；三角函数的图像与性质 【分析】 （ 1）由题目条件，可以确定函数的解析式 f（ x） =x2+x 1=（ x+ ） 2 ，从而利用二次函数的单调性求得函数 f（ x）的最大值和最小值； （ 2）由 f（ x）在 x ， 上是单调增函数，利用对称轴与给定区间的关系，求出 即可得到 的取值范围 【解答】 （本题满分为 14 分） 解：（ 1）当 时， f（ x） =x 1=（ x ） 2 ， 由 x ， ， 当 x= 时， f（ x）有最小值为 ， 当 x= 时，函数 f（ x）有最大值 （ 7 分） （ 2） f（ x） =1 的图象的对称轴为 x= 要使 f（ x）在 x ， 上是单调增函数，则 （ 11 分） 又 0， 2）， 所求 的取值范围是： ， （ 14 分） 【点评】 本题主要考查了二次函数的单调性，利用配方求得其对称轴，结合三角函数的图象与性质解决问题，属于中档题 21函数 f（ x） =2 x+ ）（ 0）在一个周 期内的图象如图所示， A 为图象的最高点， B，C 为图象与 x 轴的交点，且 正三角形 （ ）指出函数 f（ x）的值域； （ ）求函数 f（ x）的解析式； （ ）若 f（ = ，且 ， ），求 f（ ）的值 【考点】 正弦函数的图象；由 y=x+）的部分图象确定其解析式 【专题】 转化思想；综合法；三角函数的图像与性质 【分析】 （ ）由函数的解析式求得函数的值域 （ ）根据等边三角形 边长为半个周期，求得 的值，可得函数的解析式 （ ）由 f（ = ，求得 ） = 再利用同角三角函数的基本关系、诱导公式求得 f（ ）的值 【解答】 解：（ ）根据函数 f（ x） =2 x+ ），可得函数 f（ x）的值域为 2 ， 2 （ ）由题意可得等边三角形 边长为 =4， =4，求得 = ， f（ x） =2 x+ ） （ ）若 f（ =2 ） = ，则 ） = f（ ） =2 （ ） x+ =2 + ） = ） ， ）， （ ， ）， ） = = ， f（ ） = 【点评】 本题主要考查正弦函数的值域，正弦函数的周期性，同角三角函数的基本关系，属于中档题 22已知定义在 R 上的函数 f（ x），对任意的 x， yR 都有 f（ x+y） =f（ x） +f（ y），且当