高考数学一轮复习 第十五章 第6讲 不等式的证明课件 理 苏教版 .ppt

第6讲不等式的证明 考点梳理 a b a b c 不小于 不小于 a1 a2 an a b 0 2 分析法从所要证明的结论入手向 反推直至达到已知条件为止 这种证法称为分析法 即 执果索因 的证明方法 3 综合法从已知条件出发 利用不等式的性质 或已知证明过的不等式 推出所要证明的结论 即 由因寻果 的方法 这种证明不等式的方法称为综合法 4 反证法的证明步骤第一步 作出与所证不等式 的假设 第二步 从 出发 应用正确的推理方法 推出矛盾的结论 否定假设 从而证明原不等式成立 使它成立的充分条件 相反 条件和假设 5 放缩法所谓放缩法 即要把所证不等式的一边适当地 以利于化简 并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显 从而得到欲证不等式成立 6 数学归纳法设 pn 是一个与正整数相关的命题集合 如果 1 证明起始命题p1 或p0 成立 2 在假设pk成立的前提下 推出pk 1也成立 那么可以断定 pn 对一切正整数成立 放大或缩小 一个考情解读证明不等式 最值问题是江苏高考考查的重点 特别要关注证明不等式的几种证明方法 也应注意函数与数形结合的证明问题 最值问题 恒成立问题的处理方式 注意方程 函数 不等式三者之间的联系 恒成立求最值 构造函数利用分离变量 再利用均值不等式 配方法 导数单调性等求最值即可 助学 微博 考点自测 考向一分析法证明不等式 方法总结 分析法是证明不等式的重要方法 当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式 基本不等式没有直接联系 较难发现条件和结论之间的关系时 可用分析法来寻找证明途径 使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆 1 a 1 b 1 c 8 1 a 1 b 1 c 证明 a b c r 且a b c 1 要证原不等式成立 即证 a b c a a b c b a b c c 8 a b c a a b c b a b c c 也就是证 a b c a a b b c c a b c 8 b c c a a b 训练1 已知a b c r 且a b c 1 求证 考向二用综合法证明不等式 方法总结 证不等式时 在不等式的两边分别作恒等变形 在不等式的两边同时加上 或减去 一个数或代数式 移项 在不等式的两边同时乘以 或除以 一个正数或一个正的代数式 得到的不等式都和原来的不等式等价 这些方法 也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧 例3 设x 2y 3z 3 求4x2 5y2 6z2的最小值 考向三利用柯西不等式求最值 方法总结 柯西不等式的应用比较广泛 常见的有证明不等式 求函数最值 解方程等 应用时 通过拆常数 重新排序 添项 改变结构等手段改变题设条件 以利于应用柯西不等式 解由柯西不等式 得 a 2b 3c 2 a2 b2 c2 12 22 32 142 当且仅当a 2b 3c时等号成立 所以a 2b 3c 14 即a 2b 3c的最大值为14 训练3 2012 盐城市期末考试 已知a b c为正数 且a2 b2 c2 14 试求a 2b 3c的最大值 利用算术 几何平均不等式证明不等式或求最值问题 是不等式问题中的一个重要类型 重点要抓住算术 几何平均不等式的结构特点和使用条件 规范解答31利用算术 几何平均不等式求最值 点评 在解答本题时有两点容易造成失分 一是多次运用算术 几何平均不等式后化简错误 二是求解等号成立的a b c的值时计算出错 高考经典题组训练 2 2009 江苏卷 对于正整数n 2 用tn表示关于x的一元二次方程x2 2ax b 0有实数根的有序数组 a b 的组数 其中a b 1 2 n a和b可以相等 对于随机选取的a b 1 2 n a和b可以相等 记pn为关于x的一元二次方程x2 2ax b 0有实数根的概率 1 求tn2及pn2 1 解因为方程x2 2ax b 0有实数根 所以 4a2 4b 0 即b a2