高中数学 第二章 推理与证明 2.3 数学归纳法课件 新人教A版选修22.ppt

2 3数学归纳法 自主学习新知突破 1 了解数学归纳法的原理 2 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 下图为多米诺骨牌 如何保证骨牌一一倒下 需要几个步骤才能做到 提示 1 处理第一个问题 相当于推倒第一块骨牌 2 验证前一问题与后一问题有递推关系 相当于前牌推倒后牌 一般地 证明一个与正整数n有关的命题 可按下列步骤进行 1 归纳奠基 证明当n取 n0 n 时命题成立 2 归纳递推 假设 时命题成立 证明当 时命题也成立 只要完成这两个步骤 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立 第一个值n0 n k k n0 k n n k 1 上述证明方法叫做数学归纳法可以用框图表示为 数学归纳法的应用及注意事项 1 数学归纳法的应用范围是证明与正整数有关的恒等式 不等式 数的整除性 几何问题 探求数列的通项及前n项和等 2 应用数学归纳法应注意 数学归纳法仅适用于与正整数n有关的数学命题的证明 验证是证明的基础 递推是证明的关键 二者缺一不可 在证明n k 1命题成立时 必须使用归纳假设的结论 否则就不是数学归纳法 1 用数学归纳法证明 凸n边形的内角和等于 n 2 时 归纳奠基中n0的取值应为 a 1b 2c 3d 4解析 边数最少的凸n边形为三角形 故n0 3 答案 c 答案 d 3 用数学归纳法证明关于n的恒等式时 当n k时 表达式为1 4 2 7 k 3k 1 k k 1 2 则当n k 1时 表达式为 解析 当n k 1时 应将表达式1 4 2 7 k 3k 1 k k 1 2中的k更换为k 1 答案 1 4 2 7 k 3k 1 k 1 3k 4 k 1 k 2 2 4 用数学归纳法证明 1 5 9 4n 3 2n 1 n 证明 当n 1时 左边 1 右边 1 命题成立 假设n k k 1 k n 时 命题成立 即1 5 9 4k 3 k 2k 1 则当n k 1时 左边 1 5 9 4k 3 4k 1 k 2k 1 4k 1 2k2 3k 1 2k 1 k 1 2 k 1 1 k 1 右边 当n k 1时 命题成立 由 知 对一切n n 命题成立 合作探究课堂互动 用数学归纳法证明等式或不等式 思路点拨 用数学归纳法证明与正整数有关的等式命题时 关键在于 先看项 弄清等式两边的构成规律 等式的两边各有多少项 项的多少与n的取值是否有关 由n k到n k 1时 等式两边会增加多少项 用数学归纳法证明几何问题 用数学归纳法证明几何问题的关键是 找项 即几何元素从k个变成 k 1 个时 所证的几何量将增加多少 这需用到几何知识或借助于几何图形来分析 在实在分析不出来的情况下 将n k 1和n k分别代入所证的式子 然后作差 即可求出增加量 然后只需稍加说明即可 这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧 归纳 猜想 证明 观察 归纳 猜想 证明 模式的题目的解法 1 观察 由已知条件写出前几项 2 归纳 找出前几项的规律 找到项与项数的关系 3 猜想 猜想出通项公式 4 证明 用数学归纳法证明猜想的形式 因为猜想不一定正确 所以要通过数学归纳法给出证明 3 数列 an 的前n项和为sn 满足2sn a n an 0 n n 1 求a1 a2 a3的值 并猜想数列 an 的通项公式 2 用数学归纳法证明 1 中的猜想 解析 1 由2sn a n得当n 1时 2a1 a 1 a1 1 当n 2时 2s2 a 2 a2 2 当n 3时 2s3 a 3 a3 3 猜想 数列 an 的通项公式为