数学人教版九年级上册圆周角的概念和圆周角定理.doc

24.1.4圆周角教学实录单位：葫芦岛市绥中县利伟实验中学姓名： 尚尔震时间：2015/11/2624.1.4圆周角教学实录葫芦岛市绥中县利伟实验中学 尚尔震【教材分析】圆周角这节课是人教版九年级上册第二十四章第一节第四部分的内容，是在学生学习了圆、弦、弧、圆心角等概念和相关知识的基础上出现的，圆周角与圆心角的关系在圆的有关说理、作图、计算中应用的比较广泛.通过对圆周角定理的探讨，培养学生严谨的思维品质，同时教会学生从特殊到一般的分类讨论的思维方法.因此本节课无论在知识上，还是方法上，都起着十分重要的作用.所以这一节课既是前面所学知识的继续，又是后面研究圆与其它平面几何图形的桥梁和纽带.【学情分析】学生已经了解圆中的基本概念，会判断圆心角，基本掌握圆心角的相关性质，熟练掌握了三角形外角和定理。初三学生已经具备一定的独立思考和探索能力，并能在探索过程中形成自己的观点，能在倾听别人意见的过程中逐渐完善自己的想法。因此，本节课设计了自学和探究活动，给学生提供自主探索与交流的空间，体现知识的形成过程。【教学目标】根据新课程标准的要求，课改应体现学生身心发展特点；应有利于引导学生主动探索和发现；有利于进行创造性的教学。因此，我把本节课的教学目标确定为以下三个方面：知识与技能：1. 理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；2. 准确地运用圆周角定理及其推论进行简单的证明计算.过程与方法：1通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系发展学生合情推理和演绎推理的能力.2通过观察图形，提高学生的识图的能力.3通过引导学生添加合理的辅助线，培养学生的创造力.情感态度与价值观:引导学生对图形的观察，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心。【重点与难点】重点：圆周角的概念和圆周角定理及其推论的应用难点：1、认识圆周角定理需要分三种情况逐一证明的必要性。 2、推论的灵活应用以及辅助线的添加【教学准备】教师：课件、圆规、三角板学生：圆形纸片（每位学生若干张）教学过程设计（实录）一、创设情境师：上节课我们学习了圆心角、弧、弦之间的关系定理，如果角的顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题。师：（出示图片）如图所示的O，我们在射门游戏中，设EF是球门，设球员们只能在所在的O其它位置射门，如图所示的A、B、C点师：观察EAF、EBF、ECF这样的角，它们的共同特点是什么？生1：顶点都在圆周上；生2：两边都与圆相交生3：这三个角的共同点有两个：顶点都在圆周上；两边都与圆相交师：归纳得很准确，我们把顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角（教师板书圆周角定义，并强调定义的两个要点）设计意图：从生活中的实例入手，让学生经历观察、分析，抽象出图形的共同属性，得出圆周角定义，理解圆周角概念的本质 师：请同学们根据定义回答下面问题：在下列与圆有关的角中，哪些是圆周角？哪些不是，为什么？ （学生思考片刻之后，教师就每个图形分别请一位学生作答）设计意图：为了使学生更加容易地掌握概念，此处教师并排地呈现正例和反例，可以有利于学生对本质属性与非本质进行比较二、引导探究探究活动一：师：（如右图）结合圆周角的概念通过度量思考问题.师：一条弧所对的圆周角有多少个？生：一条弧所对的圆周角有无数个.师：好，那么同弧所对的圆周角的度数有何关系？同弧所对的圆周角与圆心角又有何数量关系呢？师：下面请同学们分别测量右图中所对的圆周角ACB、ADB和圆心角AOB的度数，通过测量你能发现他们之间有什么关系？生：(兴奋地惊叫着)老师，我发现了：ACB和ADB相等，角AOB比ACB和ADB大，是它们的2倍!（学生开始动手操作验证：借助量角器，用度量的方法进行验证）设计意图：引导学生经历观察、猜想、操作、分析、验证、交流等基本数学活动，探索圆周角的性质，感知基本几何事实，初步体会两种数量关系：同弧所对的圆周角和圆心角的关系；同弧所对的圆周角的关系 师：下面，老师用计算机进一步验证我们刚才所得到的结论：首先采用几何画板的度量功能，量出AOB、ACB、ADB.发现：AOB最大，ACB=ADB，接着，采用计算功能，计算ACB和AOB的比值，发现：ACB：AOB=1：2然后教师分别从以下几个方面演示:拖动圆周角的顶点使其在圆周上运动；改变圆心角的度数；改变圆的半径大小设计意图：教师使用几何画板做进一步演示与验证，用几何动态的语言来研究圆周角与圆心角的关系，在某些量变化的过程中让学生观察不变的数量关系，帮助学生更好地理解圆周角与圆心角的关系师：既然这样，我们请一位同学把所发现的结论用文字语言表述一下生：同弧所对的圆周角相等，并且都等于圆心角的一半生：他的说法不准确，应该是：同弧所对的圆周角相等，并且都等于这条弧所对的圆心角的一半丢掉了 “这条弧所对的”这一点师：前一位同学总结得很好，但后一位同学总结得更准确，我们要学习他们这种严谨治学的态度和精神探究活动二：师：为了进一步研究上面发现的结论，在O任取一个圆周角BAC，将圆对折，使折痕经过圆心O和BAC的顶点A。由于点A的位置的取法可能不同，这时折痕可能会有几种不同的情况？（学生进行折纸活动，从中发现折痕与圆周角的位置关系，并在展台上演示）生:我发现,折痕与圆周角有三种位置关系,即折痕可能在圆周角的一边上,可能在圆周角的内部,也可能在圆周角的外部师:回答的非常好。折痕与圆周角确实存在这三种位置关系：折痕在圆周角的一边上；折痕在圆周角的内部；折痕在圆周角的外部（如下图）第三种情况第二种情况第一种情况师:在上述三种情况中我们先选择其中的一种情况证明你所发现的结论,选哪种情况好,如何证明?（学生先独立思考, 然后在同伴间悄悄交流自己的思路）生：选择第一种情况进行证明，因为折痕在圆周角的一边上，是最简单的一种情况因为折痕在圆周角的一边上，所以AB是圆的直径,由同圆半径相等可知，OC=OA，所以C=A，根据定理“三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和”可得，BOC=C+A=2A，即BAC=BOC即同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半师：证明得非常好，掌声给予鼓励！师：当折痕在圆周角的一边上的时候，圆周角BAC的边AB部分就是O的直径，因此给证明思路的寻找带来了不少方便，当折痕不在圆周角的边上时，比如在角的内部，沿AO对折O，展开后你有什么发现？对该情况下命题的证明有哪些启示？生：由对折发现，可以转化为第一种情况的证明，即，如果做过点A的直径AD，那么，由(1)中的结论可知：BAD=BOD，CAD=COD，两式相加即可得到BAC=BOC三、交流评价师：很好！请同学们写出这种情况下的证明过程，之后完成最后一种情况的证明，同桌之间交流自己的证明思路（学生完成证明过程，思考交流后一种情况的证明思路在展台上展示学生的证明过程，教师做思路和规范性点评）师：通过上面的证明，我们得到：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（教师板书）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半师：同弧或等弧所对的圆周角之间有什么关系？生：同弧或等弧所对的圆周角相等.师：很好，那么一个特殊的圆弧半圆，它所对的圆周角是什么样的角？生：半圆（或直径）所对的圆周角是直角.师：如果一条弧所对的圆周角是90，那么这条弧所对的圆心角是什么样的角? 90的圆周角所对的弦是什么?生：这条弧所对的圆心角180. 90的圆周角所对的弦是直径师：于是我们能得到一下推论：1.同弧或等弧所对的圆周角相等. 2.半圆（或直径）所对的圆周角是直角. 3.90的圆周角所对的弦是直径四、尝试应用例题.如图，O 的直径 AB 为 10 cm，弦 AC 为 6 cm，ACB 的平分线交O 于点 D，求 BC，AD，BD 的长教师重点关注：1学生是否能由已知条件得出直角三角形ABC、ABD；2学生能否将要求的线段放到三角形里求解；3学生能否利用所学结论得出与相等，进而推出AD=BD（学生先独立思考，交流，在教师的引导下，师生共同完善解题步骤）设计意图：通过例题的讲解，加深对圆周角定理及推论的理解和应用，将基本知识技能化.五、变式训练1、如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4各内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？2、如图，点A、B、C、D在O上，若C=60，则D=_，O=_3、如图，等边ABC的顶点都在O上，点D是O上一点，则BDC=_4、已知AB、AC为O的两条弦，延长CA到D，使 AD=AB，如果ADB=35，求BOC的度数.（学生思考后，独立完成，教师巡视，发现问题）设计意图： 习题的作用是将基本知识技能化，通过技能的训练帮助学生理解基本知识比如在第3题中，学生要求BDC，首先要根据定义判断这个角是圆中的什么角？要求它的值应该建立与哪个量的关系？（弧）借助于这个量又可以与谁相联系？（A）通过这样的转化考察了学生对定理的理解和应用，并使学生在从复杂的图形中分解出基本图形的训练中，培养空间识图能力六、小结升华师：下面我们进行课堂小结与反思：请你选择下面一个或几个关键词谈本节课的体会：知识、方法、思想、收获、喜悦、困惑、成功生1：我选择关键词：知识这节课的学习圆周角的定义和圆周角的定理，知道圆周角有两个要点，同弧对的圆周角是相等的关系，圆心角和圆周角是二倍的关系生2：我选择“方法”和“思想”通过这节课的学习，学到了全面考虑问题的方法，学会了从特殊到一般的解决问题的方法，渗透了分类和转化的数学思想生3：这节课的学习，我感到很高兴，因为我学到了好些解决问题的方法，更重要的是，老师的提问和鼓励使我认识到自己的能力，相信一定能学好这门课！师：同学们都反思总结得很好，真诚希望在今后的学习中能一如既往地养成勤反思多总结的好的学习习惯，使我们的学习成绩更上一层楼设计意图：通过小结使学生归纳、梳理总结本节的知识、技能、方法，将本课所学的知识与以前所学的知识进行紧密联结，有利于培养学生数学思想、数学方法、数学能力和对数学的积极情感七、布置作业P88页3、4题，习题241第5、6题教学反思本节课主要讲述了圆周角定义及定理，对定义的理解，从教学实际来看，学生们掌握的都较好.对圆周角定理在证明过程中所应用的分类讨论、转化化归思想略显难度，第一种情况证明后，证明第二、第三种情况时辅助线的添加问题学生思考、运用起来较为困难，在今后的教学中应多注意激发学生的学习兴趣。划分折痕与圆周角的位置关系后，采用分组讨论的办法来让学生解决第二、第三种情况的证明，注意适时引导学生运用由特殊到一般的转化方法（即连接圆周角顶点与圆心并延长），可以收到较好地教学效果。本节课也存在一些不足之处，比如：讲的时间有点长，学生练习的时间少，还需要