§3 反证法(1)(北师大版)教师用.doc

高中数学教（学）案年级： 编写人： 审核人： 编制时间：课题4 反证法（一）班级授课（完成）时间教师（学生）教学目标知识与技能结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程与特点过程与方法通过案例学习体会反证法思考过程与特点，正确运用反证法证明问题.情感态度与价值观通过反证法的学习，体会直接证明与间接证明之间的辩证关系，体会对立与统一的思想观点和方法重点难点重点：反证法的思考过程与特点； 难点：正确理解、运用反证法学生自学反馈新知导学备注1、 反证法的定义：先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾、或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立这种证明方法叫做“反证法”反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种).2、反证法的证题步骤： (1)作出否定结论的假设；(2)进行推理，导出矛盾（与已知矛盾；与已知定义、公理、定理等矛盾；出现与临时假设矛盾；在证明过程中出现自相矛盾等等）； (3)否定假设，肯定结论。简记：反设归谬结论，其中归谬是关键。说明：反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实. 3、 反证法的适应范围(1)直接证明困难；(2)需分成很多类进行讨论；（3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” 类命题； （4)结论为 “唯一”类命题.基础检测备注1用反证法证明命题：若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（）假设都是偶数 假设都不是偶数假设至多有一个是偶数 假设至多有两个是偶数2（1）已知，求证，用反证法证明时，可假设，（2）已知，求证方程的两根的绝对值都小于1用反证法证明时可假设方程有一根的绝对值大于或等于1，即假设，以下结论正确的是（）与的假设都错误 与的假设都正确的假设正确；的假设错误 的假设错误；的假设正确3命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（）有两个内角是钝角 有三个内角是钝角至少有两个内角是钝角 没有一个内角是钝角4.三角形ABC中，A，B，C至少有1个大于或等于60的反面为三角形ABC中，A，B，C都小于605. 已知A为平面BCD外的一点，则AB、CD是异面直线的反面为AB、CD共面合作探究、课堂互动（核心知识突破）备注1、已知a是整数，2能整除，求证：2能整除a.证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整除a”。因为a是整数，故a是奇数，a可表示为2m+1（m为整数），则，即是奇数。所以，2不能整除。这与已知“2能整除”相矛盾。于是，“2不能整除a”这个假设错误，故2能整除a.2、在同一平面内，两条直线a，b都和直线c垂直。求证：a与b平行。证明：假设命题的结论不成立，即“直线a与b相交”。设直线a，b的交点为M，a，c的交点为P，b，c的交点为Q，如图所示，则。这样的内角和 。这与定理“三角形的内角和等于”相矛盾，这说明假设是错误的。所以直线a与b不相交，即a与b平行。3、求证：是无理数。证明：不是无理数，即是有理数，那么它就可以表示成两个整数之比，设，且p，q互素，则。所以 。 故是偶数，q也必然为偶数。设q=2k，代入式，则有，即，所以p也为偶数。P和q都是偶数，它们有公约数2，这与p，q互素相矛盾。因此，假设不成立，即“是无理数”。当堂检测备注1、课本练习1. 2、“过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆”. 讨论如何证明这个命题？证法：先假设可以作一个O过A、B、C三点， 则O在AB的中垂线l上，O又在BC的中垂线m上， 即O是l与m的交点。但 A、B、C共线，lm(矛盾) 过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆。3、课本习题1-3： （3）、（4）教（学）后反思补充题：若、，(1)求证：；(2)令，写出、的值，观察并归纳出这个数列的通项公式；(3)证明