【数学】2011年北京市各区二模试题分类解析(18)：空间几何体.doc

十八、空间几何体 第一部分 三视图正视图111、（2011朝阳二模理3）三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正视 图(如图所示)的面积为8，则侧视图的面积为 （ C ） （A） 8 （B） 4 （C） （D）2、（2011昌平二模理121正视图俯视图121侧视图4）已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸 (单位:cm)，可得这个几何体的体积是 （C） Acm3 Bcm3 Ccm3 D2 cm33、（2011东城二模理3）沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（ B ）（A） （B） （C） （D）4、（2011西城二模文5）一个几何体的三视图如图所示，则其体积等于(D)1正(主)视图俯视图222侧(左)视图21（A）（B）（C）（D）5（2011丰台二模理12）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是12 11正视图侧视图20.62.4俯视图0.6 6、（2011海淀二模理6）一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（C） 7、（2011顺义二模理12）.如图是一个正三棱柱的三视图，若三棱柱的体积是，则_ 2_.8、121正视图俯视图121侧视图（2011昌平二模文5）已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸 (单位:cm)，可得这个几何体的体积是 （ C ）Acm3 Bcm3 Ccm3 D2 cm39、（2011东城二模文4）如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体的体积为(A)正视图侧视图俯视图（A） （B） （C） （D） 正视图119、（2011朝阳二模文5）三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形.若三棱柱 的正视图(如图所示)的面积为8，则侧视图的面积为(C) （A） 8 （B） 4 （C） （D）10、（2011丰台二模文13）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 12 11正视图侧视图20.62.4俯视图0.611、（2011海淀二模文11） 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为_+1_.12、（2011顺义二模文12）如图是一个正三棱柱的三视图，若三棱柱的体积是，则_2_. 第二部分平行垂直角度1、（2011朝阳二模理7）已知棱长为1的正方体中，点，分别是棱，上的动点，且设与所成的角为，与所成的角为，则的最小值(C)（A）不存在 （B）等于60 （C）等于90 （D）等于120 2、（2011昌平二模理8）. 正方体ABCD_A1B1C1D1的棱长为2，点M是BC的中点，点P是平面ABCD内的一个动点，且满足PM=2，P到直线A1D1的距离为，则点P的轨迹是（A） A. 两个点 B. 直线 C. 圆 D. 椭圆 3、 8. （2011海淀二模理8） 在一个正方体中，为正方形四边上的动点，为底面正方形的中心，分别为中点，点为平面内一点，线段与互相平分，则满足的实数的值有 （C） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个4、（2011顺义二模理3）.设是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（B）A 若，则 B 若，则C 若，则 D 若，则5、（2011海淀二模文7）已知正方体中，点为线段上的动点，点为线段上的动点，则与线段相交且互相平分的线段有(B)A0条 B.1条 C. 2条 D.3条6、（2011顺义二模文3）设是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是(B)A 若，则 B 若，则C 若，则 D 若，则5、（2011西城二模理4）.已知六棱锥的底面是正六边形，平面.则下列结论不正确的是（ D）（A）平面（B）平面（C）平面（D）平面6、（2011昌平二模文8）如图是长度为定值的平面的斜线段，点为斜足，若点在平面内运动，使得的面积为定值，则动点P的轨迹是（ B ）A.圆 B.椭圆 C一条直线 D两条平行线解答1、（2011朝阳二模理17）（本小题满分13分）在长方形中，分别是，的中点（如图1）. 将此长方形沿对折，使二面角为直二面角，分别是，的中点（如图2）.（）求证：平面；（）求证：平面平面； （）求直线与平面所成角的正弦值.图（1）图（2）C1BACAAA1B12ABACAADAEAA1B12AC1解法一：（）证明：取的中点，连接，.因为，分别是，的中点， 所以是的中位线. 1分 所以，且. 又因为是的中点，所以. 所以，且. 所以四边形是平行四边形. 所以. 3分 又平面，平面， 所以平面. 4分（）证明：因为，且，所以平面. 因为, 所以平面. 因为平面，所以. 又，且是的中点，所以. 因为，所以平面. 6分 由（）知. 所以平面. 7分 又因为平面， 所以平面平面. 8分（）解：由已知，将长方形沿对折后，二面角为直二面角，因为在长方形中，分别是，的中点， 所以，. 所以是二面角的平面角. 所以. 所以. 又， 所以平面，即平面. 10分 所以. 其中，所以. ， 设点到平面的距离为， 所以，即. 12分 设直线与平面所成角为， 所以.所以直线与平面所成角的正弦值为. 13分zAxAyAAA1CAEAC1DABAB12A解法二：（）证明：由已知，将长方形沿对折后，二面角为直二面角，因为在长方形中，分别是，的中点， 所以，. 即是二面角的平面角.所以. 所以. 所以两两垂直. 以点为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系. 1分 因为，且，分别是，的中点，所以，. 2分 所以，. 设平面的法向量为， 所以 所以令，则，. 所以. 3分 又因为. 所以. 又因为平面， 所以平面. 4分（）证明：由（）知 ，.设平面的法向量为，所以 所以 令，则，所以. 6分 由（）知，平面的法向量为. 所以. 所以. 所以平面平面. 8分（）解：由（）知，. 所以.又由（）知，平面的法向量为. 10分设直线与平面所成角为，则 . 所以直线与平面所成角的正弦值为. 132、（2011昌平二模理17）.(本小题满分13分)如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，,点E为的中点。（）求证： () 求证：（III）在线段AB上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由。（） , 点E为的中点,连接。的中位线 / 2分又 4分（II） 正方形中, 由已知可得：， .6分, .7分 .8分（）由题意可得：,以点D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则， 9分 设 10分设平面的法向量为则 得 11分取是平面的一个法向量，而平面的一个法向量为 12分要使二面角的大小为 而 解得：当=时，二面角的大小为 3、（2011东城二模理16）（本小题共14分）如图，在直三棱柱中，分别为，的中点，四边形是边长为的正方形（）求证：平面；（）求证：平面；（）求二面角的余弦值（）证明：连结，与交于点，连结因为，分别为和的中点， 所以 又平面，平面， 所以平面 4分（）证明：在直三棱柱中， 平面，又平面， 所以 因为，为中点， 所以又， 所以平面 又平面，所以 因为四边形为正方形，分别为，的中点， 所以， 所以所以 又， 所以平面 9分（）解：如图，以的中点为原点，建立空间直角坐标系 则 由（）知平面，所以为平面的一个法向量设为平面的一个法向量，由可得令，则所以从而因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为4、（2011丰台二模理17）.（本小题共13分）ABDEC已知平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是线段AD的中点沿BD将BCD翻折到，使得平面平面ABD（）求证：平面ABD；（）求直线与平面所成角的正弦值；（）求二面角的余弦值证明：（）平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8， 沿直线BD将BCD翻折成 可知CD=6，BC=BC=10，BD=8，即， 故 2分 平面平面，平面平面=，平面， 平面 5分（）由（）知平面ABD，且，如图，以D为原点，建立空间直角坐标系 6分ABDECxyz则，E是线段AD的中点，在平面中，设平面法向量为， ，即，令，得，故 8分设直线与平面所成角为，则 9分 直线与平面所成角的正弦值为 10分（）由（）知平面的法向量为， 而平面的法向量为， ， 因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为 5、（2011海淀二模理17）(本小题共14分)如图，四棱锥的底面是直角梯形，和是两个边长为的正三角形，为的中点，为的中点 ()求证：平面； ()求证：平面； ()求直线与平面所成角的正弦值（）证明：设为的中点，连接，则F，四边形为正方形，为的中点，为的交点， ， .2分，在三角形中，4分，平面； 5分()方法1：连接，为的中点，为中点，平面，平面，平面. 9分F方法2：由()知平面，又，所以过分别做的平行线，以它们做轴，以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，由已知得：，则，.平面，平面，平面； 9分() 设平面的法向量为，直线与平面所成角，则，即，解得，令，则平面的一个法向量为，又则，直线与平面所成角的正弦值为. 6、（2011顺义二模理16.） （本小题满分14分）_P_B_C_A_M_D_N_S已知三棱锥P-ABC中，平面ABC, ,N为AB上一点，AB= 4AN, M ,D ,S分别为PB,AB,BC的中点。（1）求证：PA/平面CDM;（2）求证：SN平面CDM; (3 ) 求二面角的大小。（1）证明：在三棱锥中 因为M,D,分别为PB,AB的中点， 所以 因为 所以 .3分（2）证明：因为M,D,分别为PB,AB的中点 所以 因为 所以 又 所以 6分 设,以A为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系。_P_B_C_A_M_D_N_S如图所示，则所以因为所以 .9分又所以.10分(3)解由（2）知，是平面的一个法向量 设平面的法向量，则 即 所以 令 所以 从而 因为二面角为锐角所以二面角的大小为7、（2011西城二模理16.）（本小题满分13分）如图，已知菱形的边长为，,.将菱形沿对角线折起，使，得到三棱锥.（）若点是棱的中点，求证:平面；（）求二面角的余弦值；（）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得，并证明你的结论.M（）证明：因为点是菱形的对角线的交点，所以是的中点.又点是棱的中点，所以是的中位线，. 1分因为平面,平面,所以平面. 3分ABCODxyzM（）解：由题意，因为，所以，. 4分又因为菱形，所以，.建立空间直角坐标系，如图所示.所以 6分设平面的法向量为，则有即：令，则，所以. 7分因为,所以平面. 平面的法向量与平行，所以平面的法向量为. 8分，因为二面角是锐角，所以二面角的余弦值为. 9分（）解：因为是线段上一个动点，设，则，所以， 10分则，由得，即，11分解得或， 12分所以点的坐标为或. 13分（也可以答是线段的三等分点，或）8、（2011昌平二模文17）(本小题满分13分)在空间五面体ABCDE中,四边形ABCD是正方形，,. 点是的中点. 求证：（I）（II） 证明：（I）点是AB的中点，的中位线/ 又 6分（II） ,又, 9、（2011东城二模文17）（本小题共13分）如图，在直三棱柱中，分别为，的中点，四边形是正方形（）求证：平面；（）求证：平面证明：（）连结，与交于点，连结因为，分别为和的中点， 所以 又平面，平面， 所以平面 6分（）在直三棱柱中， 平面，又平面， 所以因为，为中点， 所以又， 所以平面 又平面，所以 因为四边形为正方形，分别为，的中点， 所以， 所以所以 又， 所以平面 10、2011朝阳二模文17）（本小题满分13分）在长方形中，分别是，的中点（如左图）.将此长方形沿对折，使平面平面（如右图），已知，分别是，的中点.C1BACAAA1B12ABACAADAEAA1B12AC1（）求证：平面；（）求证：平面平面； （）求三棱锥的体积.FBACAADAEAA1B12AC1证明：（）取的中点，连接，. 1分因为，分别是，的中点 所以是的中位线. 2分 所以，且. 又因为是的中点， 所以. 所以，且. 所以四边形是平行四边形. 3分 所以. 又平面，平面， 4分 所以平面. 5分（）因为，且，所以平面. 因为，所以平面. 因为平面，所以. 6分 又因为，且是的中点， 所以. 7分 因为，所以平面. 8分 由（）知， 所以平面. 又因为平面， 所以平面平面. 10分解：（）由已知，长方形沿对折后，. 所以. 所以，且，. 所以平面. 即平面. 11分 所以. 12分 其中. 所以. 11、（2011丰台二模文16）（本小题共13分）已知梯形ABCD中，G，E，F分别是AD，BC，CD的中点，且，沿CG将CDG翻折到（）求证：EF/平面；（）求证：平面平面ABCEDFG FGEABC本题重点考查的是翻折问题。在翻折的过程中，哪些是不变的，哪些是改变的学生必须非常清楚。证明：（）E，F分别是BC，CD的中点，即E，F分别是BC，C的中点， EF为的中位线 EF/ 2分又平面，平面， 4分EF / 平面 6分 （）G是AD的中点，即， 又，在中， 9分，=，平面 12分又平面，平面平面 12、（2011海淀二模文16） （本小题共13分） 已知直三棱柱的所有棱长都相等，且分别为的中点. (I) 求证：平面平面；（II）求证：平面. 证明：（）由已知可得， 四边形是平行四边形， 1分 平面，平面， 平面； 2分又 分别是的中点， ， 3分 平面，平面，平面； 4分平面，平面， 5分 平面平面 . 6分() 三棱柱是直三棱柱， 面，又面， . 7分 又直三棱柱的所有棱长都相等，是边中点， 是正三角形， 8分 而， 面 ，面 ，面 ， 9分故 . 10分四边形是