高中数学第一章立体几何习题课课件

习题课 空间中的平行关系 垂直关系的综合应用 问题思考 1 重要关系的转化 1 平行关系的转化 2 垂直关系的转化 2 简单几何体的几何度量 1 棱锥 棱台 棱柱的侧面积公式间的联系 2 柱 锥 台体体积公式之间的关系 S上 0时 棱锥可以看作上底面面积为0的棱台 S上 S下时 棱柱可以看作上底面等于下底面的棱台 3 常用结论 1 平行平面的传递性 若 则 2 若两条直线与三个平行平面分别相交 则直线被平行平面截得的线段对应成比例 3 如果两条平行线有一条垂直于一个平面 则另一条也垂直于这个平面 4 若一个四面体各个面的面积分别记为S1 S2 S3 S4 且每个面作为底面时对应的四面体的高分别记为h1 h2 h3 h4 则有S1h1 S2h2 S3h3 S4h4成立 这一结论能有效地解决立体几何中的点到平面的距离问题 4 做一做 已知直线m n和平面 则能得出 的一个条件是 A m n m n B m n m n C m n n m D m n m n 答案 C 5 做一做 三棱锥S ABC的所有顶点都在球O的表面上 SA 平面ABC AB BC 又SA AB BC 1 则球O的表面积为 解析 由题意可知SB BC SA AC 则SC是球的直径 答案 C 6做一做 设 是两个不同的平面 l是一条直线 给出下列说法 若l 则l 若l 则l 若l 则l 若l 则l 其中说法正确的个数为 A 1B 2C 3D 0解析 对于 若l 则l 或l 故 错误 对于 若l 则l 或l 故 错误 对于 若l 则l 故 正确 对于 若l 则l 或l 或l 或l与 斜交 故 错误 答案 A 7 做一做 一个六棱锥的体积为2 其底面是边长为2的正六边形 侧棱长都相等 则该六棱锥的侧面积为 答案 12 8 做一做 已知正方体ABCD A1B1C1D1中 O是底面ABCD的对角线的交点 求证 1 C1O 平面AB1D1 2 A1C 平面AB1D1 证明 1 连接A1C1 设A1C1 B1D1 O1 连接AO1 ABCD A1B1C1D1是正方体 四边形A1ACC1是平行四边形 A1C1 AC 且A1C1 AC 又O1 O分别是A1C1 AC的中点 O1C1 AO 且O1C1 AO AOC1O1是平行四边形 C1O AO1 又AO1 平面AB1D1 C1O 平面AB1D1 C1O 平面AB1D1 2 CC1 平面A1B1C1D1 CC1 B1D1 又A1C1 B1D1 CC1 A1C1 C1 B1D1 平面A1C1C A1C B1D1 同理可证A1C AB1 又D1B1 AB1 B1 A1C 平面AB1D1 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 简单几何体的面积 体积问题 例1 1 正三棱锥的高和底面边长都等于6 则其外接球的表面积为 A 64 B 32 C 16 D 8 2 如图 在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中 点E F分别在AA1 CC1上 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 解析 1 如图 过正三棱锥P ABC的顶点P作PM 平面ABC于点M 则球心O在PM上 PM 6 连接AM AO 则 OP OA R 在Rt OAM中 OM 6 R OA R 又 AB 6 且 ABC为等边三角形 则R 4 所以球的表面积S 4 R2 64 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 反思感悟1 关于简单几何体的面积 体积问题在高考中属于必考内容 考查的角度有单纯性的体积 面积问题 与三视图相交汇的问题 利用几何体间的切接关系命题 体积 面积的考查还经常性出现在解答题中 与平行 垂直性证明问题相交汇 2 对于柱 锥 台 球的面积 体积公式要理解透公式中各个量的含义 并能在具体载体中进行应用 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 变式训练1一个几何体的三视图如图所示 其左视图是一个等边三角形 则这个几何体的体积是 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 解析 观察三视图可知 该几何体是圆锥的一半与一个四棱锥的组合体 圆锥底面半径为2 四棱锥底面边长分别为3 4 它们的高均 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 立体几何中平行 垂直关系的综合证明 例2 如图所示 三棱柱ABC A1B1C1中 侧棱A1A 底面ABC 且各棱长均相等 D E F分别为棱AB BC A1C1的中点 求证 1 直线EF 平面A1CD 2 平面A1CD 平面A1ABB1 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 证明 1 在三棱柱ABC A1B1C1中 AC A1C1 且AC A1C1 连接DE 在 ABC中 因为D E分别为AB BC的中点 所以DE AC 且DE AC 又F为A1C1的中点 所以A1F DE 且A1F DE 所以四边形A1DEF为平行四边形 所以EF DA1 又EF 平面A1CD DA1 平面A1CD 所以EF 平面A1CD 2 由于底面ABC是正三角形 D为AB的中点 故CD AB 因为侧棱A1A 底面ABC CD 平面ABC 所以AA1 CD 又AA1 AB A 所以CD 平面A1ABB1 而CD 平面A1CD 所以平面A1CD 平面A1ABB1 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 反思感悟证明线面平行的方法有两种 一是寻找线线平行 利用线面平行的判定定理 二是寻找面面平行 利用面面平行的性质 证明面面垂直的一般方法是利用面面垂直的判定定理 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 变式训练2如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F P Q M N分别是棱AB AD DD1 BB1 A1B1 A1D1的中点 求证 1 直线BC1 平面EFPQ 2 直线AC1 平面PQMN 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 证明 1 连接AD1 由ABCD A1B1C1D1是正方体 知AD1 BC1 因为F P分别是AD DD1的中点 所以FP AD1 从而BC1 FP 而FP 平面EFPQ 且BC1 平面EFPQ 故直线BC1 平面EFPQ 2 如图 连接AC BD 则AC BD 由CC1 平面ABCD BD 平面ABCD 可得CC1 BD 又AC CC1 C 所以BD 平面ACC1 而AC1 平面ACC1 所以BD AC1 因为M N分别是A1B1 A1D1的中点 所以MN BD 从而MN AC1 同理可证PN AC1 又PN MN N 所以直线AC1 平面PQMN 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 立体几何证明中的距离问题 例3 如图 三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直 PD PC 4 AB 6 BC 3 1 证明 BC 平面PDA 2 证明 BC PD 3 求点C到平面PDA的距离 1 证明 因为四边形ABCD是长方形 所以BC AD 因为BC 平面PDA AD 平面PDA 所以BC 平面PDA 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 2 证明 因为四边形ABCD是长方形 所以BC CD 因为平面PDC 平面ABCD 平面PDC 平面ABCD CD BC 平面ABCD 所以BC 平面PDC 因为PD 平面PDC 所以BC PD 3 解 取CD的中点E 连接AE和PE 因为PD PC 所以PE CD 因为平面PDC 平面ABCD 平面PDC 平面ABCD CD PE 平面PDC 所以PE 平面ABCD 由 2 知BC 平面PDC 由 1 知BC AD 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 所以AD 平面PDC 因为PD 平面PDC 所以AD PD 设点C到平面PDA的距离为h 因为V三棱锥C PDA V三棱锥P ACD 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 反思感悟用等体积法求点到平面的距离主要是转换的思想 即先用简单的方法求出所给几何体的体积 然后算出所求高对应底面的面积 再根据三棱锥体积公式V Sh 求得点到平面的距离h 1 求体积时 可根据条件灵活运用割补的思想和转换顶点的思想 2 利用等体积法能够从侧面迂回地解决一些从正面较难入手的问题 这是数学中的一种重要思想方法 在利用等体积法时 我们应该在原图形中寻找到一个较容易计算出面积及其对应高的底面来 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 变式训练3如图所示 直四棱柱ABCD A1B1C1D1中 AB CD AD AB AB 2 AD AA1 3 E为CD上一点 DE 1 EC 3 1 求证BE 平面BB1C1C 2 求点B1到平面EA1C1的距离 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 1 证明 过B作CD的垂线交CD于F 则BF AD EF AB DE 1 FC 2 在Rt BFE中 在 BEC中 因为BE2 BC2 9 EC2 所以BE BC 由BB1 平面ABCD得BE BB1 又BC BB1 B 所以BE 平面BB1C1C 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 2 解 连接EB1 则三棱锥E A1B1C1的体积 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 立体几何证明中的体积问题 例4 如图 三棱锥P ABC中 平面PAC 平面ABC ABC 点D E在线段AC上 且AD DE EC 2 PD PC 4 点F在线段AB上 且EF BC 1 证明 AB 平面PFE 2 若四棱锥P DFBC的体积为7 求线段BC的长 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 1 证明 由DE EC PD PC知 E为等腰 PDC中DC边的中点 故PE AC 又平面PAC 平面ABC 平面PAC 平面ABC AC PE 平面PAC PE AC 所以PE 平面ABC 从而PE AB 因为 ABC EF BC 所以AB EF 从而AB与平面PFE内两条相交直线PE EF都垂直 所以AB 平面PFE 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 反思感悟在历年的高考中 可以说大多情形都在立体几何平行 垂直的证明题中穿插体积的考查 尤其是棱锥的体积 关键是确定好底面和高 如果是关于体积的最值或逆向问题 一般要归结为函数或方程来解决 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 变式训练4如图所示 在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别为DD1 DB的中点 1 求证 EF 平面ABC1D1 2 求证 CF B1E 3 求三棱锥B1 EFC的体积 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 1 证明 连接BD1 在 DD1B中 因为E F分别为D1D DB的中点 所以EF为 DBD1的中位线 所以EF D1B 而D1B 平面ABC1D1 EF 平面ABC1D1 所以EF 平面ABC1D1 2 证明 连接B1D1 在等腰直角三角形BCD中 F为BD的中点 所以CF BD 又DD1 平面ABCD CF 平面ABCD 所以DD1 CF 又DD1 BD D DD1 BD 平面BDD1B1 所以CF 平面BDD1B1 而B1E 平面BDD1B1 所以CF B1E 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 3 解 由 2 可知CF 平面BDD1B1 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 立体几何证明中的折叠问题 例5 如图 在梯形ABCD中 AB CD E F是线段AB上的两点 且DE AB CF AB AB 12 AD 5 BC 4 DE 4 现将 ADE CFB分别沿DE CF折起 使A B两点重合于点G 得到多面体CDEFG 1 求证 平面DEG 平面CFG 2 求多面体CDEFG的体积 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 1 证明 因为DE EF CF EF 所以四边形CDEF为矩形 在 EFG中 有EF2 GE2 FG2 所以EG GF 又因为CF EF CF FG 得CF 平面EFG 所以CF EG 所以EG 平面CFG 即平面DEG 平面CFG 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 2 解 在 EGF中 过点G作GH EF于点H 因为平面CDEF 平面EFG 得GH 平面CDEF VCDEFG SCDEF GH 16 反思感悟折叠问题是立体几何的一类典型问题 是实践能力与创新能力考查的好素材 解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形 并弄清折叠前后哪些发生了变化 哪些没有发生变化 这些未变化的已知条件都是分析问题和解决问题的依据 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 变式训练5如图 1 在平面四边形ABCD中 A 90 B 135 C 60 AB AD M N分别是边AD CD上的点 且2AM MD 2CN ND 如图 1 将 ABD沿对角线BD折起 使得平面ABD 平面BCD 并连接AC MN 如图 2 1 证明 MN 平面ABC 2 证明 AD BC 3 若BC 1 求三棱锥A BCD的体积 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 1 证明 在 ACD中 2AM MD 2CN ND MN AC 又MN 平面ABC AC 平面ABC MN 平面ABC 2 证明 在 ABD中 AB AD A 90 ABD 45 在平面四边形ABCD中 ABC 135 BC BD 又平面ABD 平面BCD 且BC 平面BCD 平面ABD 平面BCD BD BC 平面ABD 又AD 平面ABD AD BC 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 3 解 在 BCD中 BC 1 CBD 90 BCD 60 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 立体几何证明中的探究问题 例6 在如图所示的多面体中 四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形 1 若AC BC 证明 直线BC 平面ACC1A1 2 设D E分别是线段BC CC1的中点 在线段AB上是否存在一点M 使直线DE 平面A1MC 请证明你的结论 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 思路分析 1 先利用线面垂直的判定定理证明AA1 平面ABC 再证明直线BC 平面ACC1A1 2 由于D E分别是线段BC CC1的中点 易猜想M应为线段AB的中点 只要在平面A1MC内找到一条与DE平行的直线即可 1 证明 因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形 所以AA1 AB AA1 AC 因为AB AC为平面ABC内两条相交的直线 所以AA1 平面ABC 因为直线BC 平面ABC 所以AA1 BC 又由已知 AC BC AA1 AC为平面ACC1A1内两条相交的直线 所以BC 平面ACC1A1 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 2 解 取线段AB的中点M 连接A1M MC A1C AC1 设O为A1C AC1的交点 由已知 O为AC1的中点 连接MD OE 则MD OE分别为 ABC ACC1的中位线 连接OM 从而四边形MDEO为平行四边形 则DE MO 因为直线DE 平面A1MC MO 平面A1MC 所以直线DE 平面A1MC 即线段AB上存在一点M 线段AB的中点 使直线DE 平面A1MC 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 反思感悟探究性问题常常是在条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立 内容涉及异面直线所成的角 直线与平面所成的角 平行与垂直等方面 对于这类问题一般可用综合推理的方法 分析法 特殊化法来解决 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 变式训练6 2016四川高考 文17 如图 在四棱锥P ABCD中 PA CD AD BC ADC PAB 90 BC CD AD 1 在平面PAD内找一点M 使得直线CM 平面PAB 并说明理由 2 证明 平面PAB 平面PBD 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 解 1 取棱AD的中点M M 平面PAD 点M即为所求的一个点 理由如下 因为AD BC BC AD 所以BC AM 且BC AM 所以四边形AMCB是平行四边形 从而CM AB 又AB 平面PAB CM 平面PAB 所以CM 平面PAB 说明 取棱PD的中点N 则所找的点可以是直线MN上任意一点 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 2 由已知 PA AB PA CD 因为AD BC BC AD 所以直线AB与CD相交 所以PA 平面ABCD 从而PA BD 因为AD BC BC AD 所以BC MD 且BC MD 所以四边形BCDM是平行四边形 所以BM CD AD 所以BD AB 又AB AP A 所以BD 平面PAB 又BD 平面PBD 所以平面PAB 平面PBD 1 2 3 4 5 1 平面 平面 直线a 下列四个命题 与 内的所有直线平行 与 内的无数条直线平行 a与 内的任何一条直线都异面 a与 无公共点 其中正确命题的个数是 A 1B 2C 3D 4答案 C 1 2 3 4 5 2 2016浙江高考 文2 已知互相垂直的平面 交于直线l 若直线m n满足m n 则 A m lB m nC n lD m n解