八年级下册主要数学思想分析.doc

八年级下册主要数学思想方法数学课程标准在课程目标中明确指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必须的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”.由此可知，数学课程标准已把基本的数学思想方法作为学生必须掌握的基础知识来要求.数学思想方法是数学的灵魂，数学思想指导着数学问题的解决，并具体地体现在解决问题的不同方法中，掌握一定的数学思想和方法远比掌握一般的数学知识有用的多.通过八年级下册数学的学习，同学们应进一步理解和感受以下几种数学思想方法：一、数形结合思想数学是研究数量关系和空间形式的一门科学，“数”和“形”是数学教学中既有区别又有联系的两个对象。每个几何图形中都要蕴藏着一定的数量关系，而数量关系常常又可以通过图形的直观性作出形象的描述。数形结合思想是将抽象的数量关系与直观的图形结合起来，通过“形”来直观地表达“数”，或是通过“数”来精确地确定“形”。在数学教学中，突出数形结合思想，将抽象的数量关系形象化，具有直观性强、易理解、易接受；将直观图形数量化，转化成数学运算，常会降低难度，并对知识的理解更加深刻明了，有利于学生从不同的侧面加深对问题的认识和理解，提供解决问题的方法，也有利于培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。数形结合思想即是把代数、几何知识相互转化、相互利用的一种解题思想. 著名数学家华罗庚先生说：“数与形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。” 1.在一元一次不等式（组）中，用数轴表示不等式的解集就是数形结合的具体体现.例1.求不等式组的自然数解.分析:欲求不等式组的自然数解,一般思路是先求出不等式组的解集,再在数轴上表示出其解集,从而进一步求出问题的答案.解:解不等式得 解不等式得 所以,原不等式组的解集是,其解集在数轴上表示如图1所示 图1 所以,其自然数解为0、1、2.评注：自然数也就是非负整数，在这里易漏掉0.2. 数据的收集和处理一章也较好的体现了数形结合的思想。例2（07上海市）初三学生小丽、小杰为了解本校初二学生每周上网的时间，各自在本校进行了抽样调查小丽调查了初二电脑爱好者中40名学生每周上网的时间，算得这些学生平均每周上网时间为2.5小时；小杰从全体初二学生名单中随机抽取了40名学生，调查了他们每周上网的时间，算得这些学生平均每周上网时间为1.2小时小丽与小杰整理各自样数据，如下表所示请根据上述信息，回答下列问题：（1）你认为哪位学生抽取的样本具有代表性？答： ；估计该校全体初二学生平均每周上网时间为 小时；（2）根据具体代表性的样本，把下图中的频数分布直方图补画完整；图1（每组可含最低值，不含最高值）01234小时/周246810121416182022人数（3）在具有代表性的样本中，中位数所在的时间段是 小时/周时间段（小时周）小丽抽样人数小杰抽样人数01622121010231663482（每组可含最低值，不含最高值）分析：本题为一道集抽样调查和频数分布直方图于一体的综合性试题，由已知可得（1）的答案，由上表中的数据可补全频数分布直方图由中位数的定义及被调查学生总数可得（3）解：（1）由已知可知小杰抽取的样本具有代表性同时由已知及抽样调查的意义可知该校全体初二学生平均每周上网时间为1.2小时（2）补全后的直方图如下所示：（3）由中位数的定义可知小杰调查的这40学生的上网时间的中位数应在01这一时间段内二 分类讨论的思想方法分类讨论思想是比较数学对象的共同性和差异性，根据数量和空间形式的某一标准将数学对象分为不同种类，然后分别对它们进行讨论，得出各种情况下相对的结论。数学思想方法分类必须有一定的标准，标准不同，分类的结果也不同，但要做到不重复、不遗漏；分类讨论应逐级进行，通过分类，可以把一个复杂的问题分解成若干个相对简单明了的问题，在近几年中考中，分类讨论思想贯穿其中，几乎在全国各地的中考试卷中都有这类试题，命题者经常利用分类讨论题来加大试卷的区分度，很多压轴题也都涉及分类讨论，由此可见分类讨论思想的重要性。在求解某些不等式问题就用到了这种思想方法例3、解不等式0时，有3x-12（x-5）,解得x5相矛盾，所以当x5时该不等式无解（2） 当x-50时，即x5 时有3x-1-9于是有-9x5，所以原不等式的解集为-9x5此外，当题目中相似三角形的对应关系不明确时，也会用到分类讨论。三、化归与转化的思想和方法 化归意识是指在解决问题的过程中，对问题进行转化，使之成为简单、熟知问题的基本解题模式，它是使一种数学对象在一定条件下转化为另一种数学对象的思想和方法。转化的思想是将陌生的或不易解决的问题，设法通过某种手段转化为我们所熟悉的或已经解决的或易于解决的问题，从而使原问题获得圆满的解决的一种思想方法这样不但易于培养学生的创新思维能力同时也降低了对知识理解的难度，一举多得如将要一元一次不等式组转化为一元一次不等式、分式方程转化为整式方程，添加辅助线将相似多边形的性质问题转化为相似三角形的性质问题来解决将两条直线平行的定理的证明问题转化为平行公理问题，这些都体现了转化的思想例4、（07湖北孝感）解分式方程：=分析：本题的最简公分母是2(3x1)，在方程的两边同乘以2(3x1)，即可将其转化为整式方程，将所得解代入2(3x1)，即得该方程解的情况解：方程两边同乘以2(3x1)，去分母，得23（3x1）=4， 解这个整式方程，得x=，检验：把x=代入最简公分母2（3x1）=2(11)=40原方程的解是x=例5、用换元法解方程：例3、计算：例4、已知，求代数式的值。四、 方程思想所谓方程思想就是先分析问题中的未知元素（未知量）的个数，再寻找关于这些未知量的相应关系的方程，从而用解方程（组）的方法探求解题途径的思想。解题过程通常是：首先，从整体上分析题意，确定未知量的个数；其次，适当选择一个或几个未知量用x（或y, z）表示，并弄清它（它们）与其他未知量的关系；再根据题设中的条件，列出方程（组），并求解。在相似三角形部分利用相似三角形的性质得出关于对应线段比的方程，从而求出线段的长度，就体现了方程的思想同样借助方程（组）还可求出分式方程中未知数的值例6、（07内江市）如图，在ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，动点E（与点A、C不重合）在AC边上，EFAB，交BC于F点（1）当ECF的面积与四边形EABF的面积相等时，求CE的长；（2）当ECF的周长与四边形EABF的周长相等时，求CE的长；（3）试问在AB上是否存在点P，使得EFP为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出EF的长分析：将已知和相似形的性质综合起来可得（1）、（2）两问中关于CE的方程，使问题转化为方程问题，求解（3）时注意根据题意正确的画出图形进行讨论，防止丢解解：（1）ECF的面积与四边形EABF的面积相等，SECF:SACB1:2，又EFAB，ECFACB，且AC4，CE（2）设CE的长为x，ECFACB， CF=，由ECF的周长与四边形EABF的周长相等得：x+EF+=（4x）+5+（3）+EF，解得，CE的长为（3）EFP为等腰直角三角形，有两种情况：如图甲，假设PEF90，EPEF由AB5，BC3，AC4，得C90，RtACB斜边AB上高CD，设EPEFx，由ECFACB，得，即，解得，即EF，当EFP90，EFFP时，同理可得EF如图2，假设EPF90，PEPF时，点P到EF的距离为设EFx，由ECFACB，得，即，解得，EF，综上所述，在AB上存在点P，使EFP为等腰直角三角形，此时EF或EF五、整体思想整体思想就是考虑数学问题的时候不仅仅局限于它的局部特征，而且着眼于问题的整体结构上，通过对其全面深刻的观察，从宏观上认识问题的实质，把一些彼此独立，但实质又相互紧密联系的量作为整体进行处理的思想方法。整体思想在处理数学问题时有着广泛的运用。有些问题若从整体上考虑将注意力和着眼点放在问题的整体上，则容易接触问题的实质，从而取得出乎意料的妙解如分式部分根据条件求代数式的值时就体现了这一思想例7、（07赤峰市）已知，则 分析：本题直接由已知求出a、b的值很困难，由已知可得a、b均不等于0，则根据分式的基本性质将求值式的分子、分母都除以ab得，再将已知条件整体代入该式即可使问题得解解：=1例8、化简：1/（a+2）（a+3）+1/（a+3）（a+4）+/1（a+4）（a+5）时按常规方法进行通分，显然最简公分母比较复杂，计算量较大。若从整体观察分式的特征，可逆用分式加减法法则及规律公式1/n（n+1）=1/n-1/（n+1），将原分式分离变形。即原式=1/（a +2）-1/（a+3）+1/（a+3）-1/（a+4）+1/（a+4）-1/（a+5）=1/（a+2）-1/（a+5）=3/（a+2）（a+5）一些难度较大的分解因式也会用到整体思想。例8、把多项式a2-2ab+b2-1分解因式，结果是（ ）A (a-b+1)(a-b-1) B (a-b+1)(a+b-1) C (a+b+1)(a+b-1) D (a+b+1)(a-b-1)六、类比的思想这种思想就是通过形式、结构是相似的进行比较，找出其内在的联系，达到利用旧知识学习新知识的目的如分式的性质及各种运算时与分数的性质及运算有着千丝万缕的联系，学习分式的性质及运算时注意将它们作类比，从中发现它们的相同点和不同点，以加深对这部分知识的理解和记忆起到了很好的效果。七、逆向思维的方法所谓逆向思维就是把问题倒过来或从问题的反面思考或逆用某些数学公式、法则解决问题。加强逆向思维的训练，可以培养学生思维的灵活性和发散性，使学生掌握的数学知识得到有效的迁移，如分解因式与整式乘法的关系，用公式法分解因式利用两种乘法公式的逆用。八、建模思想所谓数学建模，就是建立数学模型的过程。所谓数学建模思想，就是将具有实际意义的应用问题，通过数学思考的方法抽象、转化为数学模型，以达到解决问题的目的，可以说，凡是有数学及其应用就有数学建模，其分析问题的过程就是数学建模的过程，分析、解决问题的能力就是数学建模的能力。所谓数学模型就是我们学习的各种数学概念、公式、法则、定理、推论等，都是一些具体的数学模型。数学建模思想是运用数学知识解决实际问题的重要工具.具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数字以及其它数学符号建立起来的用等式、不等式、图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构。在八年级数学(下册)里，我们学到的数学模型主要有方程模型和不等式模型。其中方程模型主要指分式方程模型，而不等式模型则仅限于一元一次不等式和一元一次不等式组.不论是建立分式方程模型，还是建立不等式(组)模型，一般都需要经历以下五个步骤:(l)分析实际问题，找出问题情境中的各种数量关系; (2)根据题目要求及数量关系，寻找适当的数学模型;(3)用数学符号表示数量关系，建立数学模型;(4)求解所建立的数学模型;(5)将结果带回到实际问题的情境中，检验其是否符合实际。例9、某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件.学校计划租用甲、乙两种型号的汽车8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李.（1）、设租用甲种汽车x辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案（2）、如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，请你选择最省钱的一种租车方案解析：本题这个实际问题转化为数学问题就是要建立“不等式组”模型。解：（1）设租用甲种汽车x辆，则租用乙种汽车（8x）辆由题意，得 解得即共有两种租车方案第一种是租用甲种汽车5辆，乙种汽车3辆第二种是租用甲种汽车6辆，乙种汽车2辆解：（2）第一种租车方案费用520003180015400（元） 第二种租车方案费用620002180015600（元）所以第一种租车方案较省费用。九、统计思想（如用样本估计总体的思