2014届高考数学二轮知识点强化训练：立体几何中的向量方法（Ⅰ）----证明平行与垂直

8 7 立体几何中的向量方法 证明平行与垂直 一 选择题 1 若直线l1 l2的方向向量分别为a a 2 4 4 b b 6 9 6 则 A l1 l2 B l1 l2 C l1与l2相交但不垂直 D 以上均不正确 答案 B 2 直线l1 l2相互垂直 则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是 A s s1 1 1 2 s s2 2 1 0 B s s1 0 1 1 s s2 2 0 0 C s s1 1 1 1 s s2 2 2 2 D s s1 1 1 1 s s2 2 2 2 解析 两直线垂直 其方向向量垂直 只有选项 B 中的两个向量垂直 答案 B 3 已知a a b b 满足a ba b 则 等于 1 3 2 5 2 3 15 2 A B C D 2 3 9 2 9 2 2 3 解析 由 可知 1 3 3 2 5 2 15 2 9 2 答案 B 4 若直线l的方向向量为a a 平面 的法向量为n n 能使l 的是 A a a 1 0 0 n n 2 0 0 B a a 1 3 5 n n 1 0 1 C a a 0 2 1 n n 1 0 1 D a a 1 1 3 n n 0 3 1 解析 若l 则a na n 0 而 A 中a na n 2 B 中a na n 1 5 6 C 中a na n 1 只有 D 选项中a na n 3 3 0 答案 D 5 若平面 平行 则下面可以是这两个平面的法向量的是 A n n1 1 2 3 n n2 3 2 1 B n n1 1 2 2 n n2 2 2 1 C n n1 1 1 1 n n2 2 2 1 D n n1 1 1 1 n n2 2 2 2 解析 两个平面平行时其法向量也平行 检验知正确选项为 D 答案 D 6 已知a a 2 1 3 b b 1 4 2 c c 7 5 若a a b b c c三向量共面 则 实数 等于 A B C D 62 7 63 7 60 7 65 7 解析 由题意得c c ta a b b 2t t 4 3t 2 Error Error 答案 D 7 已知平面 内有一个点A 2 1 2 的一个法向量为n 3 1 2 则下列点P中 在平面 内的是 A 1 1 1 B 1 3 3 2 C D 1 3 3 2 1 3 3 2 解析 对于选项 A 1 0 1 则 n 1 0 1 3 1 2 5 0 故排除 A 对PA PA 于选项 B 则 n 3 1 2 0 验证可知 C D 均PA 1 4 1 2 PA 1 4 1 2 不满足 n 0 PA 答案 B 二 填空题 8 两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v v1 1 1 0 1 v v2 2 2 0 2 则l1与l2 的位置关系是 解析 v v2 2 2v v1 1 v v1 1 v v2 2 答案 平行 9 平面 的一个法向量 n 0 1 1 如果直线 l 平面 则直线 l 的单位方向向 量是 s 解析 直线 l 的方向向量平行于平面 的法向量 故直线 l 的单位方向向量是 s 0 2 2 2 2 答案 0 2 2 2 2 10 已知点A B C 平面 点P 则 0 且 0 是 AP AB AP AC AP BC 0 的 解析 由Error 得 0 AP AB AC 即 0 亦即 0 AP CB AP BC 反之 若 0 AP BC 则 0 未必等于 0 AP AC AB AP AB AP AC 答案 充分不必要条件 11 已知 2 2 1 4 5 3 则平面ABC的单位法向量是 AB AC 解析 设平面ABC的法向量n n x y z 则Error 即Error 令z 1 得Error n n 1 2 1 1 平面ABC的单位法向量为 n n n n 1 3 2 3 2 3 答案 1 3 2 3 2 3 12 已知 1 5 2 3 1 z 若 x 1 y 3 且 BP 平面 AB BC AB BC BP ABC 则实数 x y z 分别为 解析 由题知 BP AB BP BC 所以Error 即Error 解得 x y z 4 40 7 15 7 答案 4 40 7 15 7 三 解答题 13 已知 a a x 4 1 b b 2 y 1 c c 3 2 z a ba b b cb c 求 a a b b c c 解析 因为a ba b 所以 x 2 4 y 1 1 解得x 2 y 4 这时a a 2 4 1 b b 2 4 1 又因为b cb c 所以b cb c 0 即 6 8 z 0 解得z 2 于是c c 3 2 2 14 如图所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 M N分别是C1C B1C1的中点 求证 MN 平面 A1BD 证明 法一 如图所示 以D为原点 DA DC DD1所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立 空间直角坐标系 设正方体的棱长为 1 则M N D 0 0 0 A1 1 0 1 B 1 1 0 0 1 1 2 1 2 1 1 于是 MN 1 2 0 1 2 设平面A1BD的法向量是n n x y z 则n n 0 且n n 0 得Error DA1 DB 取x 1 得y 1 z 1 n n 1 1 1 又 n n 1 1 1 0 MN 1 2 0 1 2 n n 又MN 平面A1BD MN MN 平面A1BD 法二 MN C1N C1M 1 2C1B1 1 2C1C 1 2 D1A1 D1D 1 2DA1 又 MN与DA1不共线 MN DA1 MN DA1 又 MN 平面A1BD A1D 平面A1BD MN 平面A1BD 15 如图 已知ABCDA1B1C1D1是棱长为 3 的正方体 点E在AA1上 点F在CC1上 且 AE FC1 1 1 求证 E B F D1四点共面 2 若点G在BC上 BG 点M在BB1上 GM BF 垂足为H 求证 EM 面BCC1B1 2 3 证明 1 建立如图所示的坐标系 则 3 0 1 0 3 2 3 3 3 BE BF BD1 所以 BD1 BE BF 故 共面 BD1 BE BF 又它们有公共点B 所以E B F D1四点共面 2 如图 设M 0 0 z 则 而 0 3 2 GM 0 2 3 z BF 由题设得 3 z 2 0 得z 1 GM BF 2 3 因为M 0 0 1 E 3 0 1 所以 3 0 0 ME 又 0 0 3 0 3 0 BB1 BC 所以 0 0 ME BB1 ME BC 从而ME BB1 ME BC 又BB1 BC B 故ME 平面BCC1B1 16 如图所示 已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直 AB AF 1 M是 2 线段EF的中点 求证 1 AM 平面BDE 2 AM 平面BDF 证明 1 建立如图所示的空间直角坐标系 设AC BD N 连接NE 则点N E的坐标分别为 0 0 1 2 2 2 2 0 NE 2 2 2 2 1 又点A M的坐标分别是 0 22 2 2