推理与证明总结课

推理与证明推理与证明 考纲要求 考纲要求 1 合情推理与演绎推理 1 了解合情推理的含义 能利用归纳和类比等进行简单的推理 了解合 情推理在数学发现中的作用 2 了解演绎推理的重要性 掌握演绎推理的基本模式 并能运用它们进 行一些简单推理 3 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异 2 直接证明与间接证明 1 了解直接证明的两种基本方法 分析法和综合法 了解分析法和综 合法的思考过程 特点 2 了解间接证明的一种基本方法 反证法 了解反证法的思考过程 特点 3 数学归纳法 了解数学归纳法的原理 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 知识网络 知识网络 一 一 推理推理 1 归纳推理归纳推理 1 归纳推理的定义 从个别事实中推演出一般性的结论 像这样的推理通常称为归纳推理 2 归纳推理的思维过程大致如图 实验 观察概括 推广猜测一般性结论 3 归纳推理的特点 归纳推理的前提是几个已知的特殊现象 归纳所得的结论是尚属未知的一般现象 由归纳推理得到的结论具有猜测的性质 结论是否真实 还需经过逻辑证明和实验检验 因此 它不能作为数学证明的工具 归纳推理是一种具有创造性的推理 通过归纳推理的猜想 可以作为进一步研究的起点 帮助人 们发现问题和提出问题 2 类比推理类比推理 1 根据两个 或两类 对象之间在某些方面的相似或相同 推演出它们在其他方面也相似或相同 这样的推理称为类比推理 2 类比推理的思维过程是 观察 比较联想 类推推测新的结论 推理与证明 推理证明 合情推理演绎推理 归纳类比综合 法 分析 法 反证 法 直接证明间接证明数学归纳法 3 演绎推理演绎推理 1 演绎推理是根据已有的事实和正确的结论 包括定义 公理 定理等 按照严格的逻辑法则得到 新结论的推理过程 2 主要形式是三段论式推理 3 三段论式推理常用的格式为 M P M 是 P 是大前提 它提供了一个一般性的原理 S M S 是 M 是小前提 它指出了一个特殊对象 S P S 是 P 是结论 它是根据一般性原理 对特殊情况做出的判断 三段论三段论 是演绎推理的一般模式 包括 大前提 已知的一般结论 小前提 所研究的特 殊情况 结论 根据一般原理 对特殊情况得出的判断 讨论 演绎推理与合情推理有什么区别 讨论 演绎推理与合情推理有什么区别 合情推理合情推理 演绎推理 由一般到特殊 演绎推理 由一般到特殊 归纳推理 由特殊到一般 类比推理 由特殊到特殊 二 证明二 证明 1 直接证明直接证明 是从命题的条件或结论出发 根据已知的定义 公理 定理 直接推证结论的真实性 直接证明包括综合法和分析法 综合法综合法就是 由因导果 从已知条件出发 不断用必要条件代替前面的条件 直至推出要证的结论 分析法分析法就是从所要证明的结论出发 不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子 可称 为 执果索因 要注意叙述的形式 要证 A 只要证 B B 应是 A 成立的充分条件 分析法和综合法常结合使用 不 要将它们割裂开 2 间接证明间接证明 即反证法反证法 是指从结论的否定出发 经过逻辑推理 导出矛盾 证实结论的否定是错 误的 从而肯定原结论是正确的证明方法 反证法的一般步骤是 反设 推理 矛盾 原命题成立 所谓矛盾是指 与数学公理 定理 公式 定义或已证明了的结论矛盾 与公认的简单事实矛盾 或与已知条件矛盾 常见的 结论词 与 反议词 如下表 原结论词否定原结论词否定 至少有一个一个也没有对所有的 x 都成立存在某个 x 不成立 至多有一个至少有两个对任意 x 不成立存在某个 x 成立 至少有 n 个至多有 n 1 个p 或 q p 且 q 至多有 n 个至少有 n 1 个p 且 q p 或 q 典例精讲 典例精讲 1 观察下列等式 332 123 3332 1236 33332 123410 根据上述规律 第 五个等式为 2 观察 2 2xx 4 3 4xx cos sinxx 由归纳推理可得 若定义在R上的函数 f x满足 fxf x 记 g x为 f x的导函数 则 gx A f x B f x C g x D g x 3 下列表述正确的是 归纳推理是由部分到整体的推理 归纳推理是由一般到一般的推理 演绎推理是由一 般到特殊的推理 类比推理是由特殊到一般的推理 类比推理是由特殊到特殊的推理 A B C D 4 已知p是q的充分不必要条件 则q 是p 的 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 5 有一段演绎推理是这样的 直线平行于平面 则平行于平面内所有直线 已知直线 平面 直线平面 直线 平面 则直线 直线 的结论显然是错误的 b a b ba 这是因为 A 大前提错误 B 小前提错误 C 推理形式错误 D 非以上错误 6 用反证法证明命题 三角形的内角中至少有一个不大于 60 度 时 反设正确的是 A 假设三内角都不大于 60 度 B 假设三内角都大于 60 度 C 假设三内角至多有一个大于 60 度 D 假设三内角至多有两个大于 60 度 7 观察下列等式 cos2a 2 2 cos a 1 cos4a 8 4 cos a 8 2 cos a 1 cos6a 32 6 cos a 48 4 cos a 18 2 cos a 1 cos8a 128 8 cos a 256 6 cos a 160 4 cos a 32 2 cos a 1 cos10a m 10 cosa 12 80 8 cos a 1120 6 cos a n 4 cos a p 2 cos a 1 可以推测 m n p 8 利用数学归纳法证明 1 a a2 an 1 a 1 n N 时 在验证 n 1 a a n 1 1 2 成立时 左边应该是 A 1 B 1 a C 1 a a2 D 1 a a2 a3 某个命题与正整数n有关 如果当时命题成立 那么可推得当时 Nkkn1 kn 命题也成立 现已知当时该命题不成立 那么可推得 7 n A 当 n 6 时该命题不成立B 当 n 6 时该命题成立 C 当 n 8 时该命题不成立D 当 n 8 时该命题成立 10 用数学归纳法证明 时 从 12 212 2 1 nnnnn n Nn 时 左边应增添的式子是 1 knkn到 A B C D 12 k 12 2 k 1 12 k k 1 22 k k 11 已知n为正偶数 用数学归纳法证明时 2 1 4 1 2 1 2 1 1 4 1 3 1 2 1 1 nnnn 若已假设为偶数 时命题为真 则还需要用归纳假设再证 2 kkn A 时等式成立B 时等式成立1 kn2 kn C 时等式