2011高三数学一轮热身AB组 11.2《空间图形的基本关系与公理》

第二节第二节 空间图形的基本关系与公理空间图形的基本关系与公理 A A 组组 1 以下四个命题中 正确命题的个数是 不共面的四点中 其中任意三点不共线 若点 A B C D 共面 点 A B C E 共面 则 A B C D E 共面 若直线 a b 共面 直线 a c 共面 则直线 b c 共面 依次首尾相接的四条线段必共面 解析 正确 可以用反证法证明 从条件看出两平面有三个公共点 A B C 但是 若 A B C 共线 则结论不正确 不正确 共面不具有传递性 不正确 因为此时所得 的四边形四条边可以不在一个平面上 答案 1 2 给出下列四个命题 如果两个平面有三个公共点 那么这两个平面重合 两条直线可以确定一个平面 若 M M l 则 M l 空间中 相交于同一点的三条直线在同一平面内 其中真命题的个数为 解析 根据平面的基本性质知 正确 答案 1 3 2009 年高考湖南卷改编 平行六面体 ABCD A1B1C1D1中 既与 AB 共面也与 CC1共面的 棱的条数为 解析 根据两条平行直线 两条相交直线确定一个平面 可得 CD BC BB1 AA1 C1D1符合条件 答案 5 4 正方体 ABCD A1B1C1D1中 P Q R 分别是 AB AD B1C1的中点 那么 正方体的 过 P Q R 的截面图形是 解析 边长是正方体棱长的倍的正六边形 答案 正六边形 2 2 5 原创题 已知直线 m n 及平面 其中 m n 那么平面 内到两条直线 m n 距离相等 的点的集合可能是 1 一条直线 2 一个平面 3 一个点 4 空集 其中正确的是 解析 如图 1 当直线 m 或直线 n 在平面 内且 m n 所在平面与 垂直时不可能有符 合题意的点 如图 2 直线 m n 到已知平面 的距离相等且两直线所在平面与已知平面 垂直 则已知平面 为符合题意的点 如图 3 直线 m n 所在平面与已知平面 平行 则 符合题意的点为一条直线 答案 1 2 4 6 如图 已知平面 且 l 设梯形 ABCD 中 AD BC 且 AB CD 求证 AB CD l 共点 相交于一 点 证明 梯形 ABCD 中 AD BC AB CD 是梯形 ABCD 的两腰 AB CD 必定相交于一点 如图 设 AB CD M 又 AB CD M 且 M M 又 l M l 即 AB CD l 共点 B B 组组 1 有以下三个命题 平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点 直线 l 在平面 内 可以用符号 l 表示 若平面 内的一条直线 a 与平面 内的一条直线 b 相交 则 与 相交 其中所有正 确命题的序号是 解析 表示线与面的关系用 或 表示 故 错误 答案 2 2010 年黄冈调研 下列命题中正确的是 若 ABC 在平面 外 它的三条边所在的直线分别交 于 P Q R 则 P Q R 三点共线 若三条直线 a b c 互相平行且分别交直线 l 于 A B C 三点 则这四条直线 共面 空间中不共面的五个点一定能确定 10 个平面 解析 在 中 因为 P Q R 三点既在平面 ABC 上 又在平面 上 所以这三点必在 平面 ABC 与 的交线上 即 P Q R 三点共线 故 正确 在 中 因为 a b 所以 a 与 b 确定一个平面 而 l 上有 A B 两点在该平面上 所以 l 即 a b l 三线共面于 同理 a c l 三线也共面 不妨设为 而 有两条公共的直线 a l 与 重合 即 这些直线共面 故 正确 在 中 不妨设其中有四点共面 则它们最多只能确定 7 个平面 故 错 答案 3 对于空间三条直线 有下列四个条件 三条直线两两相交且不共点 三条直线两两平行 三条直线共点 有两条直线平行 第三条直线和这两条直线都相交 其中使三条直线共面的充分条件有 解析 易知 中的三条直线一定共面 中两条直线平行可确定一个平面 第三条直线 和这两条直线相交于两点 则第三条直线也在这个平面内 故三条直线共面 答案 4 2008 年高考浙江卷改编 对两条不相交的空间直线 a 与 b 必存在平面 使得 a b a b a b a b 解析 不相交的直线 a b 的位置有两种 平行或异面 当 a b 异面时 不存在平面 满足 又只有当 a b 时 才成立 答案 5 正方体 AC1中 E F 分别是线段 C1D BC 的中点 则直线 A1B 与直线 EF 的位置关系是 解析 直线 AB 与直线外一点 E 确定的平面为 A1BCD1 EF 平面 A1BCD1 且两直线不 平行 故两直线相交 答案 相交 6 2010 年湖南郴州调研 设 是三个不重合的平面 l 是直线 给出下列四个命 题 若 l 则 l 若 l l 则 若 l 上有两点到 的距离相等 则 l 若 则 其中正确命题的序号是 解析 错误 l 可能在平面 内 正确 l l n l n n 则 错误 直线可能与平面相交 正确 故填 答案 7 2009 年高考广东卷改编 给定下列四个命题 若一个平面内的两条直线与另一个平面平行 那么这两个平面相互平行 若一个平面经过另一个平面的垂线 那么这两个平面相互垂直 垂直于同一直线的两条直线相互平行 若两个平面垂直 那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂 直 其中 为真命题的是 解析 当两个平面相交时 一个平面内的两条直线可以平 行于另一个平面 故 不对 由平面与平面垂直的判定定理可 知 正确 空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行 相 交也可以异面 故 不对 若两个平面垂直 只有在一个平面 内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直 故 正确 答案 8 2009 年高考宁夏 海南卷改编 如图所示 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1 线 段 B1D1上有两个动点 E F 且 EF 则下列结论中错误的是 2 2 AC BE EF 平面 ABCD 三棱锥 A BEF 的体积为定值 异面直线 AE BF 所成的角为定值 解析 AC 平面 BB1D1D 又 BE 平面 BB1D1D AC BE 故 正确 B1D1 平面 ABCD 又 E F 在直线 D1B1上运动 EF 平面 ABCD 故 正确 中由于点 B 到直线 B1D1的距离不变 故 BEF 的面 积为定值 又点 A 到平面 BEF 的距离为 故 VA BEF为定 2 2 值 当点 E 在 D1处 F 为 D1B1的中点时 建立空间直角坐标系 如图所示 可得 A 1 1 0 B 0 1 0 E 1 0 1 F A 0 1 1 B 1 1 2 1 2 1 E F 1 2 1 2 A B 又 cos A B E F 3 2 AE 2 BF 6 2 E F 3 2 2 6 2 3 2 AE 与 BF 成 30 角 当 E 为 D1B1中点 F 在 B1处时 此时 E F 0 1 1 A B 0 0 1 1 2 1 2 1 E 1 2 1 2 1 F A B 1 A cos A B 故 错 E F E 3 2 E F 2 3 6 3 3 2 答案 9 2008 年高考陕西卷改编 如图 l A B A B 到 l 的距离分别是 a 和 b AB 与 所成的角分别是 和 AB 在 内的射影分别是 m 和 n 若 a b 则 与 的大小关系为 m 与 n 的大小关系为 解析 AB 与 成的角为 ABC AB 与 成的角为 BAD sin sin ABC a AB sin sin BAD b AB a b sin sin n 答案 m n 10 如图 已知正方体 ABCD A1B1C1D1中 E F 分别为 D1C1 B1C1的中点 AC BD P A1C1 EF Q 若 A1C 交平面 DBFE 于 R 点 试确定 R 点的位置 解 在正方体 AC1中 连结 PQ Q A1C1 Q 平面 A1C1CA 又 Q EF Q 平面 BDEF 即 Q 是平面 A1C1CA 与平面 BDEF 的公共点 同理 P 也是平面 A1C1CA 与平面 BDEF 的公共点 平面 A1C1CA 平面 BDEF PQ 又 A1C 平面 BDEF R R A1C R 平面 A1C1CA R 平面 BDEF R 是 A1C 与 PQ 的交点 如图 11 如图 在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中 M 为 AB 的中点 N 为 BB1的中点 O 为平面 BCC1B1的中心 1 过 O 作一直线与 AN 交于 P 与 CM 交于 Q 只写作法 不 必证明 2 求 PQ 的长 解 1 连结 ON 由 ON AD 知 AD 与 ON 确定一个平面 又 O C M 三点确定一个平面 如图所示 三个平面 和 ABCD 两两相交 有三条交线 OP CM DA 其中交线 DA 与交线 CM 不平行且共面 DA 与 CM 必相交 记交点为 Q OQ 是 与 的交线 连结 OQ 与 AN 交于 P 与 CM 交于 Q 故直线 OPQ 即为所求作的直线 2 在 Rt APQ 中 易知 AQ 1 又易知 APQ OPN 2 AN AP AP PN AQ NO 5 2 5 3 PQ AQ2 AP2 14 3 12 2008 年高考四川卷 如图 平面 ABEF 平面 ABCD 四边 形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯形 BAD FAB 90 BC 綊 AD BE 綊 FA G H 分别为 FA FD 的中点 1 2 1 2 1 证明 四边形 BCHG 是平行四边形 2 C D F E 四点是否共面 为什么 3 设 AB BE 证明 平面 ADE 平面 CDE 解 1 证明 由题设知 FG GA FH HD 所以 GH 綊 AD 又 BC 綊 AD 故 GH 綊 BC 所以四边形 BCHG 是平行四边形 1 2 1 2 2 C D F E 四点共面 理由如下 由 BE 綊 AF G 是 FA 的中点知 BE 綊 GF 所以 EF BG 1 2 由 1 知 BG CH 所以 EF CH 故 EC FH 共面 又点 D 在直线 FH 上 所以 C D