广东省广州市2010届高三数学推理与证明（理科）

用心 爱心 专心 2009 学年高三数学推理与证明测试题学年高三数学推理与证明测试题 理科理科 一 一 选择题 本大题共小题 每小题选择题 本大题共小题 每小题 5 5 分 共分 共 4040 分 在每小题给出的四个选项中 只有一分 在每小题给出的四个选项中 只有一 个是符合题目要求的 个是符合题目要求的 1 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数 比如 w w w k s 5 u c o m 他们研究过图 1 中的 1 3 6 10 由于这些数能够表示成三角形 将其称为三角形数 类似的 称图 2 中的 1 4 9 16 这样的数为正方形数 下列数中既是三角形数又是正方 形数的是 A 289 B 1024 C 1225 D 1378 2 在 R 上定义运算 1 yxyx 若不等式1 axax对 任意实数x成立 则 A 11 a B 20 a C 2 3 2 1 a D 2 1 2 3 a 3 已知数列 n a满足 13 3 0 11 Nn a a aa n n n 则 20 a A 0 B 3 C 3 D 2 3 4 观察式子 4 7 4 1 3 1 2 1 1 3 5 3 1 2 1 1 2 3 2 1 1 222222 则可归纳出式子为 A 12 11 3 1 2 1 1 222 n n B 12 11 3 1 2 1 1 222 n n C n n n 121 3 1 2 1 1 222 D 12 21 3 1 2 1 1 222 n n n 5 设n为正整数 111 1 23 f n n 经计算得 357 2 4 2 8 16 3 32 222 fffff 用心 爱心 专心 观察上述结果 可推测出一般结论 A 21 2 2 n fn B 2 2 2 n f n C 2 2 2 n n f D 以上都不对 6 设 xf是定义在正整数集上的函数 且 xf满足 当 2 f kk 成立时 总可推出 1 f k 2 1 k成立 那么 下列命题总成立的是 若1 1 f成立 则100 10 f成立 若4 2 f成立 则 1 1f 成立 若 3 9f 成立 则当1k 时 均有 2 f kk 成立 若 4 25f 成立 则当4k 时 均有 2 f kk 成立 7 设S是至少含有两个元素的集合 在S上定义了一个二元运算 即对任意的 abS 对于有序元素对 ab 在S中有唯一确定的元素 a b与之对应 若对 任意的abS 有 ab ab 则对任意的abS 下列等式中不恒成立的是 A a baa B ab aa ba C bb bb D a bba bb 8 f x是定义在 0 上的非负可导函数 且满足 0 xfxf x 对任意正数 ab 若ab 则必有 A bf aaf b B af bbf a C af af b D bf bf a 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 6 小题 小题 每小题每小题 5 5 分 满分分 满分 3030 分 分 9 9 在平面上 若两个正三角形的边长的比为 1 2 则它们的面积比为 1 4 类似地 在空 间内 若两个正四面体的棱长的比为 1 2 则它们的体积比为 w w w k s 5 u c o m 10 已知数列 n a满足 43412 1 0 N nnnn aaaa n 则 2009 a 2014 a w w w k s 5 11 11 已知函数 2 2 1 x x xf 那么 4 1 4 3 1 3 2 1 2 1 fffffff 12 在 ABC中 射影定理可以表示为BcCbacoscos 其中cba 分别为角A B C的对边 类似以上定理 在四面体ABCP 中 1 S 2 S 3 S S分别表示 PAB PBC PAC ABC的面积 分别表示面PAB 面PBC 面PAC与底面ABC所成角的大小 请给出一个空间四面体性质的猜想 用心 爱心 专心 13 观察下列等式 153 55 22CC 15973 999 22CCC 15913115 13131313 22CCCC 1591317157 1717171717 22CCCCC 由以上等式推测到一个一般的结论 对于 n N 15941 41414141 n nnnn CCCC 14 将正 ABC分割成 2 n 2Nnn 个全等的小正三角形 图 2 图 3 分别给出了 3 2 n的情形 在每个三角形的顶点各放置一个数 使位于 ABC的三边及平行于某边 的任一直线上的数 当数的个数不少于 3 时 都分别一次成等差数列 若顶点CBA 处的 三个数互不相同且和为 1 记所有顶点上的数之和为 nf 则有2 2 f 3 f nf 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 8080 分 解答应写出文字说明 演算步骤或推证过程 分 解答应写出文字说明 演算步骤或推证过程 15 本小题满分 12 分 用分析法证明 52276 用心 爱心 专心 16 本小题满分 12 分 用三段论证明函数xxy2 2 在 1 上是增函数 17 本小题满分 14 分 已知 2 3 150sin90sin30sin 222 2 3 125sin65sin5sin 222 通过观察上述两等式的规律 请你写出对任意角度 都成立的一般性的命题 并给予证明 用心 爱心 专心 18 本小题满分 14 分 在平面直角坐标系xOy中 直线l与抛物线xy2 2 相交于A B 两点 求证 如果直线l过点 0 3T 那么 OA OB 3 是真命题 写出 中命题的逆命题 判断它是真命题还是假命题 并说明理由 19 本小题满分 14 分 如图 已知两个正方形 ABCD 和 DCEF 不在同一平面内 M N 分别为 AB DF 的中点 I 若 CD 2 平面 ABCD 平面 DCEF 求直线 MN 的长 II 用反证法证明 直线 ME 与 BN 是两条异面直线 w w w k s 5 u c o m 用心 爱心 专心 20 本小题满分 14 分 首项为正数的数列 n a 满足 2 1 3 4 1 Nnaa nn 证明 若 1 a 为奇数 则对一切2 n n a 都是奇数 若对一切 Nn 都有 nn aa 1 求 1 a的取值范围 2009 学年高三数学推理与证明测试题学年高三数学推理与证明测试题 理科理科 参考答案参考答案 一 选择题 本大题主要考查基本知识和基本运算 一 选择题 本大题主要考查基本知识和基本运算 共共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 4040 分 分 题 号12345678 答 案CCBDCDAB 1 答案 C 解析 由图形可得三角形数构成的数列通项 1 2 n n an 同理可得正方形数构成的数 用心 爱心 专心 列通项 2 n bn 则由 2 n bn nN 可排除 A D 又由 1 2 n n an 知 n a必为奇数 故选 C 2 答案 C 解析 22 1 1 110 xaxaxaxaxxaa 由 2 1 4 1 0aa 得 13 22 a 3 答案 B 解析 12343202 0 3 3 0 3 nn aaaaaaaa 4 答案 C 解析 特殊值法 用2 n带入易选 C 5 答案 C 解析 23 45 32232 2 4 2 8 2 222 4252 16 2 32 2 22 fffff ffff 由此推知 2 2 2 n n f 6 答案 D 解析 当 4 25f 时 4 f 2 4 从而 5 f 2 5 2 f kk 4k 成立 7 答案 A 解析 由题设 ab ab 若 a baa 则 aa baa aa b 与 a b 是S中唯一确定的元素相矛盾 故选 A 8 答案 B 解析 构造函数 F xxf x 则 F xxfxf x 由题设条件知 F xxf x 在 0 上单调递减 若ab 则 F aF b 即 af abf b 又 f x是定义 在 0 上的非负可导函数 所以 bf aaf abf baf b 故选 B 二 填空题二 填空题 本大题主要考查基本知识和基本运算本大题主要考查基本知识和基本运算 本大题共本大题共 4 4 小题小题 每小题每小题 5 5 分分 满分满分 2020 分 分 9 答案 1 8 w 10 答案 依题意 得 20094 503 3 1aa 20142 100710074 252 1 0aaaa 用心 爱心 专心 11 答案 7 2 提示 1 1f xf x 12 答案 coscoscos 321 SSSS 提示 由面积射影法以及二面角的平面的定义 13 答案 4121 212 n nn 解析 这是一种需类比推理方法破解的问题 结论由二项构成 第二项前有 1 n 二项指数分别为 4121 2 2 nn 因此对于 nN 15941 41414141 n nnnn CCCC 4121 212 n nn 14 答案 10 1 1 2 36 nn 解析 当 n 3 时 如图所示分别设各顶点的数用小写字母表示 即由条件知 121212 1 abcxxab yybc zzca 121212122112 2 2 2xxyyzzabcgxyxzyz 121212 62 2gxxyyzzabc 即 121212 11110 3 1 3233 gfabcxxyyzzg 而 进一步可求得 4 5f 由上知 1 f中有三个数 2 f中 有 6 个数 3 f中共有 10 个 数相加 4 f中有 15 个数相加 若 1 f n 中有 1 1 n an 个数相加 可得 f n中有 1 1 n an 个数相加 且由 363331045 1 1 2 1 3 2 4 5 3 3333333 fffffff 可得 1 1 3 n f nf n 所以 11113 1 2 1 3333333 nnnnnn f nf nf nf 113211 1 2 3333336 nnn nn 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 8080 分 分 15 由于5 22 7 6均大于 0 要证 52276 只需证 22 522 76 用心 爱心 专心 只需证 1041342213 只需证 104422 只需证 168 160 此式明显成立 16 证明 定义 xf如果满足在其定义域内的某个区间上任取任取 1 x 2 x且 21 xx 如果有 21 xfxf 则称 xf在该区间上是增函数 任取 1 x 2 x 1 且 21 xx 2 2 2 12122 2 21 2 121 xxxxxxxxxfxf 因为 21 xx 所以0 12 xx 又因为 1 x 1 2 x 21 xx 所以02 12 xx 因此 0 21 xfxf 即 21 xfxf 于是根据三段论 得函数xxy2 2 在 1 上是增函数 17 一般形式 2 3 120 sin 60 sinsin 222 事实上 证明 左边 2 2402cos 1 2 1202cos 1 2 2cos1 2402cos 1202cos 2 cos 2 1 2 3 240cos2cos120sin2sin120cos2cos2 cos 2 1 2 3 240sin2sin 2sin 2 3 2cos 2 1 2sin 2 3 2cos 2 1 2 cos 2 1 2 3 右边 2 3 将一般形式写成 222 3 sin 60 sinsin 60 2 222 3 sin 240 sin 120 sin 2 等均正确 18 解 如果直线lx 轴 则 3696 3 6 3 OBOABA 如果直线l与x轴不垂直 设直线l的方程为 3 xky 9 2 6 09 2 6 3 2 21 2 21 2 2 2 xx k xx x k x xky xy OA OB 2 1212 33x xkxx 222222 1212 1399918693kx xkxxkkkk 用心 爱心 专心 综上 如果直线l过点 0 3T 那么 OA OB 3 是真命题 中命题的逆命题 在平面直角坐标系xOy中 直线l与抛物线 2 y 2x相 交于A B两点 如果 OA OB 3 那么直线l必过点 0 3T 设直线l与x轴的交点坐标为 0 t 则直线方程为0 mytx 把它代入xy2 2 得 2 21212121 2 2 2022tmytmytxxtyymyytmyy 由1332 2 2121 ttttyyxxOBOA或 即直线l必过点 0 10 3 TT或 中命题的逆命题是假命题 19 解 取 CD 的中点 G 连结 MG NG 因为 ABCD DCEF 为正方形 且边长为 2 所以 MG CD MG 2 2NG 因为平面 ABCD 平面 DCEF 所以 MG 平面 DCEF 可得 MG NG 所以 22 6MNMGNG 假设直线 ME 与 BN 共面 则AB 平面 MBEN 且平面 MBEN 与平面 DCEF 交于 EN 由已知 两正方形不共面 故AB 平面 DCEF 又 AB CD 所以 AB 平面 DCEF 而 EN 为平面 MBEN 与平面 DCEF 的交线 所以 AB EN 又 AB CD EF 所以 EN