江苏省泰州市姜堰四中2016届九年级下第一次月考数学试卷含答案解析

第 1 页（共 23 页） 2015年江苏省泰州市姜堰四中九年级（下）第一次月考数学试卷 一、选择题（共 6小题，每小题 3分，满分 18分） 1下列实数中，为无理数的是（ ） A C D 5 2一元二次方程 x 的解是（ ） A x=2 B x=0 C 2， D ， 3布袋中装有 1 个红球， 2 个白球， 3 个黑球，它们除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球 ，摸出的球是白球的概率是（ ） A B C D 4若 ABC，相似比为 1： 2，已知 面积是 3，则 ABC的面积是（ ） A 3 B 6 C 9 D 12 5如图， O 的弦， O 的切线， A 为切点， 过圆心若 B=25，则 ） A 20 B 25 C 40 D 50 6如图，边长为 的正方形 顶点 A 在 y 轴上，顶点 D 在反比例函数的图象上，已知点 B 的坐标是 ，则 k 的值为（ ） A B C 4 D 6 二、填空题（共 10 小题，每小题 3分，满分 30分） 7使 在实数范围内有意义的 x 的范围是 8甲、乙、丙三个同学，各有 5 次数学阶段考试成绩，算得每个同学 5 次数学成绩的平均成绩都是 132 分，其方差分别为 S 甲 2=38， S 乙 2=10， S 丙 2=26，则在这三个同学中，数学成绩最稳定的是 同学 第 2 页（共 23 页） 9分解因式： 2x2+x= 10比例尺 1： 400 0000 的图上，图距为 4实际距离约为 米（科学记数法表示） 11汽车沿着坡度为 1： 7 的斜坡向上行驶了 50 米，则汽车升高了 米 12已知圆锥的底面半径为 2线长为 10圆锥的侧面展开图的圆心角是 度 13二次函数 y=6x+3 的图象与 x 轴有两个交点，则 k 的取值范围是 14如图，以 直径的半圆 O 经过 斜边 两个端点，交直角边 点 E B、 E 是半圆弧的三等分点，弧 长为 ，则图中阴影部分的面积为 15如图，点 G 为 重心，连接 延长，分别交 点 D、 E，过点 E 作 点 F，那么 = 16如图，正方形 边长为 4，延长 点 M，使 ，过点 B 作 足为 N， O 是对角线 交点，连接 长为 三、解答题（共 10 小题，满分 102分） 17（ 1）计算： （ 2）先化简，再求值： ，其中 第 3 页（共 23 页） 18为了推动阳光体育运动的广泛开展，引导学生走向操场，走进大自然，走到阳光下，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用，现从各年级随机 抽取了部分学生的鞋号，绘制了如下的统计图 和图 ，请根据相关信息，解答下列问题： （ ）本次接受随机抽样调查的学生人数为 ，图 中 m 的值为 ； （ ）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数； （ ）根据样本数据，若学校计划购买 200 双运动鞋，建议购买 35 号运动鞋多少双？ 19如图， 中线，点 E 是 中点， （ 1）求证： D； （ 2）若 0，试判断四边形 形状，并说明理由 20一只不透明的袋子中装有 1 个白球、 1 个蓝球和 2 个红球，这些球除颜色外都相同 （ 1）从袋中随机摸出 1 个球，摸出红球的概率为 ； （ 2）从袋中随机摸出 1 个球（不放回）后，再从袋中余下的 3 个球中随机摸出 1 个球求两次摸到的球颜色不相同的概率 21对 x， y 定义一种新运算 T，规定： （其中 a， b 均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如： ，已知 T（ 1， 1） = 2， T（ 4， 2） =1 （ 1）求 a， b 的值； （ 2）若关于 m 的不等式组 恰好有 4 个整数解，求实数 p 的取值范围 22如图，一次函数 y=kx+b 与反比例函数 y= （ x 0）的图象交于 A（ m， 6）， B（ 3， n）两点 （ 1）求一次函数的解析式； 第 4 页（共 23 页） （ 2）根据图象直接写出使 kx+b 成立的 x 的取值范围； （ 3）求 面积 23如图，我南海某海域 A 处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪，船长马上向我国渔政搜救中心发出求救信号，此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向的 B 处，该渔政船收到渔政求救中心指令后前去救援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达，于是决定马上调整方向，先向北偏东 60方向以每小时 30 海里的速度航行半小时到达 C 处，同时捕鱼船低速航行到 A 点的正北 里 D 处，渔政船航行到点 C 处时测得点 D 在南偏东 53方向上 （ 1）求 点的距离； （ 2）渔政船 决定再次调整航向前去救援，若两船航速不变，并且在点 E 处相会合，求 （参考数据： ， ， ） 24九（ 1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第 x（ 1x90）天的售价与销量的相关信息如下表： 时间 x（天） 1x 50 50x90 售价（元 /件） x+40 90 每天销量（件） 200 2x 已知该商品的进价为每件 30 元，设销售该商品的每天利润为 y 元 （ 1）求出 y 与 x 的函数关系式； （ 2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ （ 3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于 4800 元？请直接写出结果 25 O 的两条弦，直线 相垂直，垂足为点 E，连接 点 B 作足为点 F，直线 直线 点 H （ 1）如图 1，当点 E 在 O 外时，连接 证： 分 （ 2）如图 2，当点 E 在 O 内时，连接 证： H； （ 3）如图 3，在（ 2）条件下，若 H， ， D= ，求线段 长 第 5 页（共 23 页） 26如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，直线 y= 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C，过点 C 的抛物线 与直 线 于另一点 B，点 B 坐标为（ ， ） （ 1）求直线和抛物线的解析式； （ 2）点 P 是射线 的一个动点，过点 P 作直线 x 轴，垂足为点 Q，交抛物线于点D， 当 C 时，求点 P 的坐标 在 x 轴上点 Q 的右侧取点 M，使 ，在 延长线上取点 N，连接 知 ，求线段 长 第 6 页（共 23 页） 2015年江苏省泰州市姜堰四中九年级（下）第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 6小题，每小题 3分，满分 18分） 1下列实数中，为无理数的是（ ） A C D 5 【分析】 有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数， 据此判断出无理数有哪些即可 【解答】 解： 5 是整数， 5 是有理数； 有限小数， 有理数； ， 有限小数， 是有理数； 是无限不循环小数， 是无理数 故选： C 2一元二次方程 x 的解是（ ） A x=2 B x=0 C 2， D ， 【分析】 首先移项，将方程右边 2x 移到左边，再提取公因式 x，可得 x（ x 2） =0，将原式化为两式相乘的形式，再根据 “两式相乘值为 0，这两式中至少有一式值为 0 ”，即可求得方程的解 【解答】 解：原方程移项得： 2x=0， x（ x 2） =0，（提取公因式 x）， ， ， 故选 D 3布袋中装有 1 个红球， 2 个白球， 3 个黑球，它们除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球，摸出的球是白球的概率是（ ） A B C D 【分析】 由于球除颜色外均相同，故每个球被摸到的可能性是相同的，根据概率公式解答即可 【解答】 解：布袋中共有 6 个球， 每个球被摸到的概率是相同的， 第 7 页（共 23 页） 摸出的球是白球的概率是 P（白球） = = 故选 B 4若 ABC，相似比为 1： 2，已知 面积是 3，则 ABC的面积是（ ） A 3 B 6 C 9 D 12 【分析】 根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出两个三角形的相似比，根据题意计算即可 【解答】 解： ABC，相似比为 1： 2， ABC的面积比为 1： 4， 面积是 3， ABC的面积是 12， 故选： D 5如图， O 的弦， O 的切线， A 为切点， 过圆心若 B=25，则 ） A 20 B 25 C 40 D 50 【分析】 连接 据切线的性质，即可求得 C 的度数 【解答】 解：如图，连接 O 的切线， 0， B， B= 5， 0， C=40 故选： C 6如图，边长为 的正方形 顶点 A 在 y 轴上，顶点 D 在反 比例函数的图象上，已知点 B 的坐标是 ，则 k 的值为（ ） 第 8 页（共 23 页） A B C 4 D 6 【分析】 如图，作 E， F，证明 ，利用勾股定理即可解决问题 【解答】 解：如图，作 E， F， 四边形 正方形， B， 0， 0， 0， 在 ， ， D， F， B 点坐标（ ， ）， ， ， E= = =1 ，点 D 坐标（ 1， 4）， k=4 故选 C 二、填空题（共 10 小题，每小题 3分，满分 30分） 7使 在实数范围内有意义的 x 的范围是 x 1 【分析】 根据二次根式有意义的条件可得 x+10，再解即可 【解答】 解：由题意得： x+10， 解得： x 1， 故答案为： x 1 第 9 页（共 23 页） 8甲、乙、丙三个同学，各有 5 次数学阶段考试成绩，算得每个同学 5 次数学成绩的平均成绩都是 132 分，其方差分别为 S 甲 2=38， S 乙 2=10， S 丙 2=26，则在这三个同学中，数学成绩最稳定的是 乙 同学 【分析】 根据方差的意义判断方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立 【解答】 解： s 甲 2 s 丙 2 s 乙 2， 成绩相对稳定的是乙 故答案为：乙 9分解因式： 2x2+x= x（ x 1） 2 【分析】 首先提取公因式 x，进而利用完全平方公式分解因式即可 【解答】 解： 2x2+x=x（ 2x+1） =x（ x 1） 2 故答案为： x（ x 1） 2 10比例尺 1： 400 0000 的图上，图距为 4实际距离约为 05 米（科学记数法表示） 【分析】 设 实际距离为 x 厘米，根据比例尺的定义得到 4： x=1： 4000000，利用比例的性质求得 x 的值，再用科学记数法表示即可 【解答】 解：设实际距离约为 x 厘米， 比例尺为 1： 400 0000， 4： x=1： 4000000， x=16000000 厘米 =160000 米 =05米 故答案为： 05 11汽车沿着坡度为 1： 7 的斜坡向上行驶了 50 米，则汽车升高了 5 米 【分析】 根据坡度即可求得坡角的正弦值，根据三角函数即可求解 【解答】 解： 坡度为 1： 7， 设坡角是 ，则 = 上升的高度是： 50 =5 （米） 故答案是： 5 12已知圆锥的底面半径为 2线长为 10圆锥的侧面展开图的圆心角是 72 度 【分析】 设圆锥的侧面展开图的圆心角为 n，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到22= ，然后解关于 n 的方程 即可 【解答】 解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为 n， 根据题意得 22= ， 解得 n=72， 即圆锥的侧面展开图的圆心角为 72 第 10 页（共 23 页） 故答案为 72 13二次函数 y=6x+3 的图象与 x 轴有两个交点，则 k 的取值范围是 k 3 【分析】 先令 y=0，求出 的表达式，再根据函数图象与 x 轴有两个交点即可得出结论 【解答】 解：令 y=0，则 6x+3=0， 二次函数 y=6x+3 的图象与 x 轴有两个交点， =（ 6） 2 12k 0，解得 k 3 故答案为： k 3 14如图，以 直径的半圆 O 经过 斜边 两个端点，交直角边 点 E B、 E 是半圆弧的三等分点，弧 长为 ，则图中阴影部分的面积为 【分析】 首先根据圆周角定理得出扇形半径以及圆周角度数，进而利用锐角三角函数关系得出 长，利用 S S 扇形 中阴影部分的 面积求出即可 【解答】 解：连接 B， E 是半圆弧的三等分点， 0， 0， 的长为 ， = ， 解得： R=2， 2 ， ， = =3， S C= 3= ， 底等高， 积相等， 图中阴影部分的面积为： S S 扇形 = 第 11 页（共 23 页） 故答案为： 15 如图，点 G 为 重心，连接 延长，分别交 点 D、 E，过点 E 作 点 F，那么 = 【分析】 由三角形的重心定理得出， = ， = ，由平行线分线段成比例定理得出 = ，即可得出结果 【解答】 解： 点 G 为 重心， = ， = ， = = ， = ， 故答案为： 16如图，正方形 边长为 4，延长 点 M，使 ，过点 B 作 足为 N， O 是对角线 交点，连接 长为 第 12 页（共 23 页） 【分析】 由条件可证得 可求得线段 长度，利用对应线段的比相等可求得 一步可得到 ，且 证得 用相似三角形的性质可求得 【解答】 解： ， ， =2 ， 0， NN ， ， ， ， ， ， = ，且 = ，即 = ， 故答案为： 三、解答题（共 10 小题，满分 102分） 17（ 1）计算： （ 2）先化简，再求值： ，其中 【分析】 （ 1）根据负整数指数幂、零指数幂的定义、二次根式的运算法则化简即可 （ 2）先计算括号，然后计算除法，后代入计算解决 【解答】 解：（ 1）原式 =2 4+1 2 = 3 （ 2）原式 = = = ， 当 a= 1 时，原式 = = = 18为了推动阳光体育运动的广泛开展，引导学生走向操场，走进大自然，走到阳光下，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用，现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制了如下的统计图 和图 ，请根据相关信息，解答下列问题： 第 13 页（共 23 页） （ ）本次接受随机抽样调查的学生人数为 40 ，图 中 m 的值为 15 ； （ ）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数； （ ）根据样本数据，若学校计划购买 200 双运动鞋，建议购买 35 号运动鞋多少双？ 【分析】 （ ）根据条形统计图求出总人数即可；由扇形统计图以及单位 1，求出 m 的值即可； （ ）找出出现次数最多的即为众数，将数据按照从小到大顺序排列，求出中位数即可； （ ）根据题意列出算式，计算即可得到结果 【解答】 解：（ ）本次接受随机抽样调查的学生人数为 6+12+10+8+4=40，图 中 m 的值为 100 30 25 20 10=15； 故答案为： 40； 15； （ ） 在这组样本数据中， 35 出现了 12 次，出现次数最多， 这组 样本数据的众数为 35； 将这组样本数据从小到大得顺序排列，其中处于中间的两个数都为 36， 中位数为 =36； （ ） 在 40 名学生中，鞋号为 35 的学生人数比例为 30%， 由样本数据，估计学校各年级中学生鞋号为 35 的人数比例约为 30%， 则计划购买 200 双运动鞋，有 20030%=60 双为 35 号 19如图， 中线，点 E 是 中点， （ 1）求证： D； （ 2）若 0，试判断四边形 形状，并 说明理由 【分析】 （ 1）根据中点的性质，可得 关系，根据平行的性质，可得内错角相等，根据全等三角形的判定与性质，可得 关系，根据等量代换，可得答案； 第 14 页（共 23 页） （ 2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形 形状，根据直角三角形的性质，可得 D，根据菱形的判定，可得答案； 【解答】 （ 1）证明 上的中线， E， 在 ， ， A （ 2） 中线， D 是 中点， D， F， F， 四边形 平行四边形， 0， 直角三角形， D， 四边形 菱形 20一只不透明的袋子中装有 1 个白球、 1 个蓝球和 2 个红球，这些球除颜色外都相同 （ 1）从袋中随机摸出 1 个球，摸出红球的概率为 ； （ 2）从袋中随机摸出 1 个球（不放回）后，再从袋中余下的 3 个球中随机摸出 1 个球求两次摸到的球颜色不相同的概率 【分析】 （ 1）直接利用概率公式求出摸出红球的概率； （ 2）利用树状图得出所有符合题意的情况，进而理概率公式求出即可 【解答】 解：（ 1）从袋中随机摸出 1 个球，摸出红球的概率为： = ； 故答案为： ； （ 2）如图所示： 第 15 页（共 23 页） ， 所有的可能有 12 种，符合题意的有 10 种，故两次摸到的球颜色不相同的概率为： = 21对 x， y 定义一种新运算 T，规定： （其中 a， b 均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如： ，已知 T（ 1， 1） = 2， T（ 4， 2） =1 （ 1）求 a， b 的值； （ 2）若关于 m 的不等式组 恰好有 4 个整数解，求实数 p 的取值范围 【分析】 （ 1）根据题中的新定义列出关于 a 与 b 的方程组，求出方程组的解即可得到 a 与 （ 2）根据题中的新定义列出不等式组，根据不等式组恰好有 4 个正整数解， 确定出 p 的范围即可 【解答】 解：（ 1）根据题中的新定义得： ， 整理得： ， +得： 3a=3，即 a=1， 把 a=1 代入 得： b=3； （ 2）根据题中的新定义化简得： ， 整理得： ，即 m ， 由不等式组恰好有 4 个整数解，即 0， 1， 2， 3， 3 4，即 15 9 3p20， 解得： p 2 第 16 页（共 23 页） 22如图，一次函数 y=kx+b 与反比例函数 y= （ x 0）的图象交于 A（ m， 6）， B（ 3， n）两点 （ 1）求一次函数的解析式； （ 2）根据图象直接写出使 kx+b 成立的 x 的取值范围； （ 3）求 面积 【分析】 （ 1）先把 A、 B 点坐标代入 y= 求出 m、 n 的值；然后将其分别代入一次函数解析式，列出关于系数 k、 b 的方程组，通过解方程组求得它们的值即可； （ 2）根据图象可以直接写出答案； （ 3）分别过点 A、 B 作 x 轴， x 轴，垂足分别是 E、 C 点直线 x 轴于 S S 三角形的面积公式可以直接求得结果 【 解答】 解：（ 1） 点 A（ m， 6）， B（ 3， n）两点在反比例函数 y= （ x 0）的图象上， m=1， n=2， 即 A（ 1， 6）， B（ 3， 2） 又 点 A（ m， 6）， B（ 3， n）两点在一次函数 y=kx+b 的图象上， 解得 ， 则该一次函数的解析式为： y= 2x+8； （ 2）根据图象可知使 kx+b 成立的 x 的取值范围是 0 x 1 或 x 3； （ 3）分别过点 A、 B 作 x 轴， x 轴，垂足分别是 E、 C 点直线 x 轴于 令 2x+8=0，得 x=4，即 D（ 4， 0） A（ 1， 6）， B（ 3， 2）， ， ， S S 46 42=8 第 17 页（共 23 页） 23如图，我南海某海域 A 处 有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪，船长马上向我国渔政搜救中心发出求救信号，此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向的 B 处，该渔政船收到渔政求救中心指令后前去救援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达，于是决定马上调整方向，先向北偏东 60方向以每小时 30 海里的速度航行半小时到达 C 处，同时捕鱼船低速航行到 A 点的正北 里 D 处，渔政船航行到点 C 处时测得点 D 在南偏东 53方向上 （ 1）求 点的距离； （ 2）渔政船决定再次调整航向前去救援，若两船航速不变，并且在点 E 处相会合，求 （参考数据： ， ， ） 【分析】 （ 1）过点 C、 D 分别作 足分别为 G， F，根据直角三角形的性质得出 根据三角函数的定义即可得出 长； （ 2）如图，设渔政船调整方向后 t 小时能与捕渔船相会合，由题意知 0t， t=3t， 3，过点 E 作 点 H，根据三角函数表示出 ，根据正弦的定义求值即可 【解答】 解：（ 1）过点 C、 D 分别作 足分别为 G， F， 在 ， 0 60=30， （ 30 ） = 0， 四边形 矩形， D= G ， 在 ， 0， 3， ， = =10（海里） 第 18 页（共 23 页） 答： 点的距离是 10； （ 2）如图，设渔政船调整方向后 t 小时能与捕渔船相会合， 由题意知 0t， t=3t， 3， 过点 E 作 点 H，则 0， ， 3t = t， 在 ， = = 答： 24九（ 1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第 x（ 1x90）天的售价与销量的相关信息如下表： 时间 x（天） 1x 50 50x90 售价（元 /件） x+40 90 每天销量（件） 200 2x 已知该商品的进价为每件 30 元，设销售该商品的每天利润为 y 元 （ 1）求出 y 与 x 的函数关系式； （ 2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ （ 3）该商品在销售 过程中，共有多少天每天销售利润不低于 4800 元？请直接写出结果 【分析】 （ 1）根据单价乘以数量，可得利润，可得答案； （ 2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案； （ 3）根据二次函数值大于或等于 4800，一次函数值大于或等于 48000，可得不等式，根据解不等式组，可得答案 【解答】 解：（ 1）当 1x 50 时， y=（ x+40 30） = 280x+2000， 当 50x90 时， y=（ 90 30） = 120x+12000， 综上所述： y= ； （ 2）当 1x 50 时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为 x=45， 当 x=45 时， y 最大 = 2452+18045+2000=6050， 当 50x90 时， y 随 x 的增大而减小， 当 x=50 时， y 最大 =6000， 综上所述，该商品第 45 天时，当天销售利润最大，最大利润是 6050 元； 第 19 页（共 23 页） （ 3）当 1x 50 时， y= 280x+20004800，解得 20x70， 因此利润不低于 4800 元的天数是 20x 50，共 30 天； 当 50x90 时， y= 120x+120004800，解得 x60， 因此利润不低于 4800 元的天数是 50x60，共 11 天， 所以该商品在销售过程中，共 41 天每天销售利润不低于 4800 元 25 O 的两条弦，直线 相垂直，垂足为点 E，连接 点 B 作足为点 F，直线 直线 点 H （ 1）如图 1，当点 E 在 O 外时，连接 证： 分 （ 2）如图 2，当点 E 在 O 内时，连接 证： H； （ 3）如图 3，在（ 2）条件下，若 H， ， D= ，求线段 长 【分析】 （ 1）依据圆内接四边形的性质可知 D= 后依据同角的余角相等可证明 D= （ 2）先依据同角的余角相等可证明 D= 后依据 证明 由全等三角形的性质可证明 H； （ 3）设 k，可求得 EH=k，然后在 由勾股定理可求得 k=2，再依据相交弦定理可求得 长，然后在 ，依据锐角三角函数的定义可求得 长 【解答】 （ 1）证明： 四边形 接于 O， D= H+ D=90， H+ 0 D 分 （ 2）证明：如图 1，连接 第 20 页（共 23 页） D+ 0， 0， D= D= 0， 在 ， ， H， （ 3）解：设 k，则 k 由（ 2）可知 E D， k EH=k B=D， 4kEB=k3k k k+ k= 在 ， k， EH