湖北省天门市2016年高三五月调研测试理科数学试题含答案

天门市 2016 年 高三年级五月调研 考试 试题 高 三 数学（ 理 科） 试题及答案 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分 全卷满分 150分，考试时间 120分钟。 注意： 1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上 2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效。 3. 填空题和解答题用 在试题卷上无效。 第卷（选择题 共 60分） 一、 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效。 1 设全集 | 2U x x N ，集合 2 | 5A x x N ， 则 B A B 2 C 5 D 2， 5 2 已知 i 为虚数单位 ， 且 复数1 3，2 1 2，若12实数，则实数 b 的值为 A A 6 B C 0 D 163某设备的使用年限 x（单位：年）与所支付的维修费用 y（单位：千元）的一组数据如下： 使用年限 x 2 3 4 5 维修费用 y 2 散点图分析 y 与 x 线性相关，根据上表中 数据可得其回归直线方程 y bx a，由此预测该设备的使用年限为 6 年时，需支付的维修费用约是 C A 元 B 元 C 元 D 元 4 已知命题00 5: , s i n 2p x x R； 命题 2: , 1 0q x x x R ，给出下列结论： （ 1） 命题 是真命题 ； （ 2） 命题 () 是假命题 ； （ 3）命题 ()是真命题 ； （ 4） ( ) ( ) 是假命题 其中正确的命题是 A A（ 2）（ 3） B（ 2）（ 4） C（ 3）（ 4） D（ 1）（ 2）（ 3） 5一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中最大面 的面积是 C A 32B 22C 34D 126设 m 为正整数， 2()展开式的二项式系数的最大值 为 a, 21() 展开式的二项式系数的最大值为 b, 若 13 7，则 m B A 5 B 6 C 7 D 8 7阅读如下程序框 图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为 B A 7 B 9 C 10 D 11 8 （哈佛大学思维游戏） 南京东郊有一个宝塔，塔高 60 多米，九层八面，中间没有螺旋的扶梯宝塔的扶梯有个奥妙，每上一层，就少了一定的级数。从第四层到第六层，共有 28级第一层楼梯数是最后一层楼梯数的 3 倍则此塔楼梯共有 B A 117 级 B 112 级 C 118 级 D 110 级 9 三个平面两两垂直，它们的三条交线交于一点 O，点 P 到三个平面的距离之比为 1:2:3，14 ， 则 P 点到这三个平面的距离为 A A 2， 4， 6 B 4， 8， 12 C 3， 6， 9 D 5， 10， 15 10下列函数中，图象的一部分如下图所示的是 D A )6B )6C co s(2 )3D co s(2 )611已知1F、22:1C x y的左、右焦点，点 P 在 C 上 ，1260F ，则点 P到 x 轴的距离为 B A 32B 62C 3 D 6 12已知定义域为 R 的奇函数 ()y f x 的导函数为 ()y f x ，当 0x 时， ()( ) 0，若 11()22 2 ( 2) ， 11( (22则 a ， b ， c 的大小关系正确的是 A A a c b B b c a C D c a b 第卷（非选择题 共 90分） 二、填空题：本大题 共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请将答案填在答题卡对应题号 的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。 13 如图， 等腰直角三角形， ， 斜边 高， P 为 线段 中点，则 P 8 14 如果实数 x， y 满足不等式组 3 0 ,2 3 0 ,1, 目标函数 z kx y的最大 值为 6，最小值为 0，那么实数 k 的值为 2 15. 由 1， 2， 3， 4， 5， 6 组成 没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且 4 不在第四位，则这样的六位数共有 120 个 . 16 当 , | | 1R 时，有如下表达式： 2 111nx x x x 边同时积分得： 1 1 1 1 122 2 2 2 20 0 0 0 011 d d d d x x x x x x 而得到如下等式： 2 3 11 1 1 1 1 1 11 ( ) ( ) ( ) l n 22 2 2 3 2 1 2 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算： 0 1 2 2 3 11 1 1 1 1 1 1C C ( ) C ( ) C ( )2 2 2 3 2 1 2n n ) 112 三、解答题：本大题 分必做题和选做题，其中第 17 21 题为必做题，第 22 24 为选做题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。把答案填在答题卡上对应题号指定框内。 17（ 本题满分 12 分 ） 如图，在 ， 0o， 3， 1， P 为 一点， 0o. （） 若 12求 （） 若 150o，求 . 17解： （） 由已知得 0o，所以 0o 在 ，由余弦定理得 2 1 1 73 2 3 c o s 3 04 2 4 ， 故 72 6 分 （） 设 ，由已知得 在 ，由正弦定理得 3 s i ns i n 1 5 0 s i n ( 3 0 ) 化简得 3 c o s 4 s ， 所以 3ta 12 分 18.（ 本题满分 12 分 ） 如图， 圆的直径， 直圆所在的平面， C 是圆上的点 . （ ） 求证：平面 面 （ ） 若 ， ， 1，求二面角 余弦值 . 18 证明 ： （ ） 由 圆的直径，得 C ， 由 平面 平面 C 又 C A， 平面 平面 所以 平面 因为 平面 所以 平面 面 6 分 （ ） 解法一 ： 过 C 作 ，则 平面 如图（ 1），以点 C 为坐标原点，分别 以直线 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系 在 ，因为 ， ， 所以 3 又因为 ，所以 A（ 0， 1， 0）， B（ 3 ， 0， 0）， P（ 0， 1， 1） 第 18 题图（ 1） 故 ( 3 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 1 )C B C Pu u ur u u 设平面 法向量为1 1 1 1( , , )x y zn， 则110,0. ,不妨令1 1y，则1 ( 0 , 1 , 1 )n 因为 ( 0 , 0 , 1 ) , ( 3 , 1 , 0 ) ,A P A B u u ur u u 平面 法向量为 2 2 2 2( , , )x y zn ， 则220,220,3 0 不妨令2 1x ，则2 ( 1 , 3 , 0 )n 于是1236c o s , 422 由图（ 1）知 二面角 锐角， 故二面角 余弦值为 64 12 分 （ ） 解法二 ：如图 （ 2） ，过 C 作 M， 因为 面 平面 所以 又因为 B A，且 平面 平面 所以 面 过 M 作 N，连接 由三垂线定理得 所以 二面角 平面角 在 ，由 ， ， 得 3， 32 32 在 ，由 ， ，得 5 因为 所以 321 5，所以 3510以在 ， 305 所以 6c o ， 所以故二面角 余弦值为 64 12 分 19（ 本题满分 12 分 ） 某人在如图所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物 根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量 Y（单位： 它的“相近”作物株数 X 之间的关系如下表所示： X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米 （ ） 从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率 ； （ ） 从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望 19解：（） 所种作物总株数 N=1+2+3+ 4+5=15，其中三角形地块内部的作物株数为 3， 边界上的作物株数为 12 从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有 113 12C C 36 （种）， 选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有 3+3+2=8（种） 故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为 8236 9 6 分 （ ） 先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量 Y 的分布列 第 18 题图（ 2） 因为 ( 5 1 ) ( 1 )P Y P X ， ( 4 8 ) ( 2 )P Y P X ， ( 4 5 ) ( 3 )P Y P X ， ( 4 2 ) ( 4 )P Y P X ， 所以只需求出 ( ) ( 1 , 2 , 3 , 4 )P X k k 即可 记近”作物恰有 k 株的作物株数 ( 1 , 2 , 3 , 4 )k ，则 1 2n，2 4n ，3 6n，4 3n 由 () k N得 2( 1 ) 15， 4( 2 ) 15， 62( 3 ) 1 5 5 ， 31( 4 ) 1 5 5 故所求 Y 的分布列为 Y 51 48 45 42 P 2154152515所求的数学期望为 2 4 2 1 3 4 6 4 9 0 4 2( ) 5 1 4 8 4 5 4 2 4 61 5 1 5 5 5 5 12 分 20（ 本题满分 12 分 ） 已知 圆 22: ( 1 ) 1M x y ，圆 22: ( 1 ) 9N x y ， 动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C （ ）求 C 的方程； （ ） l 是与圆 P、 圆 M 都相切的一条直线， l 与曲线 C 交于 A， B 两点，当圆 P 的半径最长时，求 | 20解： 由已知得圆 M 的圆心为 M（ 0），半径 1 1r ； 圆 M 的圆心为 N（ 1， 0），半径 2 3r 设圆 P 的圆心为 P（ x， y），半径 R （） 因为 圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切， 所以 1 2 1 2| | | | ( ) ( ) 4P M P N R r r R r r 由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M， N 为左、右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为 3 的椭圆（左顶点除外），其方程为 221( 2 )43xy x 6 分 （ ） 对于曲线上任意一点 ( , )P x y ，由于 | | | | 2 2 2P M P N R ， 所以当 2R ，当且仅当圆 P 的圆 心为 （ 2， 0）时， R=2， 所以当 圆 P 的 半 径最长时，其方程为 22( 2 ) 4 若 l 的倾斜角为 90o，则 l 与 y 轴重合，可得 | | 2 3 若 l 的倾斜角不为 90o，由 1知 l 不平行于 x 轴， 设 l 与 x 轴的交点为 Q，则1|QM r ， 可求得 Q（ 0）， 所以可设 : ( 4)l y k x 由 l 与 圆 P 相切得2| 3 | 11解得 24k 当 24k时，将 2 24代入 22143， 整理得 27 8 8 0 ， 解得1, 2 4 6 27x 所以 221 18| | 1 | | 7A B k x x 综上， 18| | 2 3 |7A B A B或 | 12 分 21（ 本题满分 12 分 ） 已知函数 2 2 , 0 ,() l n , 0 ,x x a 其中 a 是实数 设 11( , ( ) )A x f x ， 22( , ( ) )B x f x 为该函数图象上的两点，且 12 （） 指出函数 ()单调区间 ； （） 若函数 ()图象在点 A， B 处 的切线互相垂直，且2 0x ，求21最小 值； （）若函数 ()图象在点 A， B 处 的切线重合，求 a 的取值范围 21解：（） 函数 ()单调递减区间为（ -， 单调递增区间为 0），（ 0， +） 2 分 （） 由导数的几何意义可知， 点 A 处的切线斜率为1() 点 B 处的切线斜率为2() 故当点 A 处的切线与点 B 处 的切线垂直时， 有1()2( ) 1当 0x 时，对函数 ()导，得 ( ) 2 2f x x 因为120，所以12( 2 2 ) ( 2 2 ) 1 所以12 2 0x ，22 2 0x 因此2 1 1 2 1 21 ( 2 2 ) 2 2 ( 2 2 ) ( 2 2 ) 12x x x x x x ， 当且仅当12( 2 2 ) 2 2 1 ， 即123122 且 时，等号成立 所以函数 ()图象在点 A， B 处 的切线互相垂直时， 21的最小值为 1 8分 （） 当 120或 210时，1() 2() 故 120 当 1 0x 时，函数 ()图象在点 11( , ( ) )x f x 处的切线方程为 21 1 1 1( 2 ) ( 2 2 ) ( )y x x a x x x ， 即 211( 2 2 )y x x x a 当 2 0x 时，函数 ()图象在点 22( , ( ) )x f x 处的切线方程为 2221l n ( )y x x 即221 y x g 两切线重合的充要条件是 122211 22x a 由及 120 知， 110x 由 ，得221 1 111l n 1 l n ( 2 2 ) 122a x x 因为函数 21 1， 1 2)在（ 0）上递减 所以 a 的取值范围为（ 1 ， ） 12 分 请考生在 22， 23， 24 三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分。做答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑。 22 （ 本题满分 10 分 ） 【 选修 4 1 几何证明 选讲 】 如图，直线 圆的切线，切点为 B，点 C 在圆上， 角平分线 圆于点 E， 直 圆于点 D （）证明： C； （）设圆的半径为 1， 3，延长 点 F，求 接圆的半径 22（） 证明：如图，连接 点 G 由弦切角定理，得 而 故 所以 E 又因为 所以 圆的直径， 0o 由勾股定理可得 C 5 分 （） 解：由（）知， C， 故 的中垂线，所以 32 中点为 O，连接 0o， 从而 30o， 所以 故 接圆的半径等于 32 10 分 23 （ 本题满分 10 分 ） 【 选修 4 4 坐标系与参数方程 选讲 】 在极坐标系中， O 为极点，半径为 2 的圆