湖南省长郡中学2019-2020学年高二数学上学期入学考试答案（PDF）.pdf

书书书 数学试题参考答案 长郡版 长郡中学 学年度高二第一学期入学考试 数学参考答案 一 选择题 题 号 答 案 解析 因为抽取学号是以 为公差的等差数列 故采用的抽样方法应是系统抽样 解析 根据三视图知 该几何体是一个四棱锥 画出图形如图所示 则犃 犆 槡 犇 犆 犅 犈 犃 犆 底面犆 犇 犈 犅 结合图形中的数据 求得犅 犆 槡 在 犃 犅 犆中 由勾股定理得犃 犅 犃 犆 犅 犆 槡 槡 槡 槡 同理求得犃犇 槡 槡 槡 犃 犈 犃 犆 犆 犈 槡 犃 犆 犆 犇 犇 犈 槡 槡 槡 槡 故选 解析 由条件得犛 狀 狀 犛 狀 狀 即 狀 犪 犪狀 狀 狀 犪 犪狀 狀 所以犪 狀 犪狀 所以等差数列 犪狀 为递增数列 又犪 犪 所以犪 犪 即数列 犪狀 前 项均小于 第 项大于 所 以犛狀的最小值为犛 故选 解析 依题意 所剩数据的平均数是 所剩数据的方差是 解析 因为将四面体犘 犃 犅 犆 补成一个长方体 相邻三个面的对角线长分别为 槡 槡 所以由 狓 狔 槡 槡 狕 狔 槡 槡 狓 狕 槡 得狓 狔 狕 设四 面 体 的 外 接 球 半 径 为犚 因 为 四 面 体 的 外 接 球 为 长 方 体 的 外 接 球 所 以 外 接 球 直 径 为 犚 狓 狔 狕 槡 槡 因此四面体的外接球的表面积为 犚 选 解 析 问 题 可 转 化 为 圆 狓 犪 狔 犪 和 圆 狓 狔 相 交 或 相 切 两 圆 圆 心 距 犱 犪 犪 槡 槡 犪 由犚 狉 犱 犚 狉得 槡槡 槡 犪 槡槡 解得 犪 即犪 故选 解析 槡 犫 犪 犅 犪 犫 犅 犪 槡 犮 犆 可得 犃 槡 由犃为锐角 可得犃 由正弦定理可得 犫 槡 犅 槡 犅 犮 槡 犆 槡 犅 犛 犃 犅 犆 犫 犮 犃 槡 犅 槡 犅 槡 槡 犅 槡 犅 犅 槡 犅 槡 犅 槡 在锐角三角形犃 犅 犆中 犅 数学试题参考答案 长郡版 可得 犅 当 犅 即犅 时 犅 取得最大值 可得 犃 犅 犆面积的最大值为 槡 槡 槡 故选 解析 设过点犘的直线为狀 若狀与犾 犿都平行 则犾 犿平行 与犾 犿异面矛 盾 故选项 错误 由于犾 犿只有唯一的公垂线 而过点犘与公垂线平行的直线 只有一条 故 正确 对于选项 可参考右图的正方体 设犃犇为直线犾 犃 犅 为直线犿 若犘在犘 点 则显然无法作出直线与两直线都相交 故选项 错误 若犘在犘 点 则由图中可知直线犆 犆 及犇 犘 均与犾 犿异面 故选项 错误 选 解析 正数数列 犪狀 是公比不等于 的等比数列 且 犪 犪 犪 犪 即犪 犪 函数犳 狓 狓 犳 狓 犳 狓 狓 狓 狓 狓 令犜 犳 犪 犳 犪 犳 犪 则犜 犳 犪 犳 犪 犳 犪 犜 犳 犪 犳 犪 犳 犪 犳 犪 犳 犪 犳 犪 犜 故选 解析 由 犃 犪 犚 犅 犫 犚 犆 犮 犚 代入整理得 犮 犫 犮 犪 犪 犮 犫 犮 犫 犪 犮 犪 所以犪 犮 犫 犪 犮 即 犅 所以犅 解析 犛 犃 犗 犅 犗 犃 犗 犅 犃 犗 犅 犃 犗 犅 当 犃 犗 犅 时 犃 犗 犅面积最大 此时犗到犃 犅的距离犱 槡 设犃 犅方程为狔 犽 狓 槡 犽 即犽 狓 狔槡 犽 由犱 槡 犽 犽 槡 槡 得 犽 槡 也可犽 犗 犘犎 槡 解析 由题意可知 狓 狓 且狓 狓 只能分布在狓 狓 的中间或两侧 若狓 狓 分布在狓 狓 的中间 则公差犱 故狓 狓 分别为 此时可求得犿 槡 若狓 狓 分布在狓 狓 的两侧 则公差犱 故狓 狓 分别为 不合题意 故选 解析 设犃 狓 狔 犃 狓 狔 分别是直线犾 犾 上关于犾对称的点 则 狔 狔 狓 狓 狓 狓 狔 狔 烅 烄 烆 求得 狓 狔 狔 狓 数学试题参考答案 长郡版 又点犃 狓 狔 在直线犾 上 则 狓 狔 将 代入 得 狔 狓 即狓 狔 故选 解析 平面点集犃表示的平面区域就是不等式组 狔 狓 狔 狓 烅 烄 烆 与 狔 狓 狔 狓 烅 烄 烆 表示的平面区域 而平面点集犅表示的平面区域为以点 为圆心 以 为半径的圆及圆的内部 作出它们表示的平面区域如图所示 图中的阴影部分就是犃 犅所表示的平面图形 由于圆和曲线狔 狓 关于直线狔 狓对称 因此 阴影部分所表示的图形面积为圆面积的 即为 故选 解析 注意到犪狀 狀 狀 且函数狔 狓 的最小正周期是 因此当狀是正整数时 犪狀 犪狀 犪狀 狀 狀 狀 狀 其中狀 犛 犪 犪 犪 犪 犪 犪 犪 犪 犪 二 填空题 解析 犪 犫 犮为直角三角形的三边长 犮为斜边长 犮 犪 犫槡 又 点犕 犿 狀 在直线犾 犪 狓 犫 狔 犮 上 犿 狀 表示直线犾上的点到原点距离的平方 犿 狀 的最小值为原点到直线犾距离的平方 由点到直线的距离公式可得犱 犮 犪 犫槡 犿 狀 的最小值为犱 故答案为 解析 由题意知犳 狓 狓 犪 狓 犫 狓 犪 犫 犪 犳 狓 的值域为 犫 犪 犳 狓 狓 犪 又 犳 狓 犮 狓 犪 犮 即 犪 槡犮 狓 犪 槡犮 犪 槡犮 犿 犪 槡犮 犿 烅 烄 烆 得 槡犮 犮 解析 设犅 犆 的中点为犇 连结犃 犇 犃犇 易知 犃 犃 犅即为异面直线 数学试题参考答案 长郡版 犃 犅与犆 犆 所成的角 易知 犃 犃犇 犇犃 犅 犃犇 犃 犃 犃犇 犃 犅 解析 狓 狔 且狓 狔 狓 狔 狓 狔 狓 狔 狔 狓 狓 狔 狔 狓 狓 槡狔 当且仅当狔 狓 时取等号 不等式犪 狓 狔 恒成立即 狓 狔 犪 犪 即实数犪的最大值为 故答案为 槡 解析 由犪 且 犫 犃 犅 犮 犫 犆 得 犪 犫 犃 犅 犮 犫 犆 又根据正弦定理 得 犪 犫 犪 犫 犮 犫 犮 化简得犫 犮 犪 犫 犮 故 犃 犫 犮 犪 犫 犮 所以犃 又犫 犮 犫 犮 犫 犮 故犛 犃 犅 犆 犫 犮 犃 槡 三 解答题 解析 由 狓 得狓 直方图中狓的值为 月平均用电量的众数是 月平均用电量的中位数在 内 设中位数为犪 则 犪 解得犪 即中位数为 月平均用电量在 的用户有 户 同理可求月平均用电量为 的用户分别有 户 户 户 故抽取比为 从月平均用电量在 的用户中应抽取 户 解析 由等差数列的性质可得 犪 犪 犪 犪 解得犪 数列 犫狀 满足犫狀 犫狀 可得数列 犫狀 是等比数列 公比为 犫 犪 犫 解得犫 犫狀 狀 若犮 狀 狀 犫狀 狀 狀 犛狀 狀 狀 狀 狀 犛狀 狀 狀 狀 狀 犛狀 狀 狀 狀 狀 狀 狀 可得犛狀 狀 狀 解析 犳 狓 犿 狀槡 狓 狓 狓 槡 狓 狓 狓 因为犳 狓 所以 狓 所以 狓 狓 因为 犪 犮 犅 犫 犆 由正弦定理得 犃 犆 犅 犅 犆 数学试题参考答案 长郡版 所以 犃 犅 犆 犅 犅 犆 所以 犃 犅 犅 犆 因为犃 犅 犆 所以 犅 犆 犃 且 犃 所以 犅 所以犅 则犃 犆 犃 犆 又 犆 则 犃 得 犃 所以槡 犃 又因为犳 犃 犃 故函数犳 犃 的取值范围是 槡 解析 过犈作犈犖 犃 犆于犖 连结犈 犉 犖犉 犃 犆 由直棱柱的性质知 底面犃 犅 犆 侧面犃 犃 犆 犆 又底面犃 犅 犆 侧面犃 犃 犆 犆 犃 犆 且犈犖 底面犃 犅 犆 所以犈犖 侧面犃 犃 犆 犆 犖犉为犈 犉在侧面犃 犃 犆 犆 内的射影 在 犆犖犈中 犆犖 犆 犈 则由犆 犉 犆 犆 犆犖 犆 犃 得犖犉 犃 犆 又犃 犆 犃 犆 故犖犉 犃 犆 由三垂线定理知犈 犉 犃 犆 连结犃 犉 过犖作犖犕 犃 犉于犕 连结犕犈 由 知犈犖 侧面犃 犃 犆 犆 根据三垂线定理得犈犕 犃 犉 所以 犈犕犖是二面角犆 犃 犉 犈的平面角 即 犈犕犖 设 犉 犃 犆 则 在 犆犖犈中 犖犈 犈 犆 槡 在 犃犕犖中 犕犖 犃犖 故 犖犈 犕犖 槡 又 槡 故当 槡 即当 时 达到最小值 最小值为 槡 槡 槡 此时犉与犆 重合 解析 将圆的方程配方 得狓 狔 犿 故有 犿 解得犿 将直线犾的方程与圆犆的方程联立得 狓 狔 狓 狔 狓 狔 犿 消去狔 得狓 狓 狓 狓 犿 整理得 狓 狓 犿 直线犾与圆犆没有公共点 方程 无