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来源 :学+科网Z+X+X+K来源 :学*科网 来源 :商丘市 2016 年高三第三次模拟考试参考答案 数学(理科) 一、选择题 (每小题 5 分,共 60 分) ( 1) C ( 2) D ( 3) B ( 4) D ( 5) A ( 6) A ( 7) C ( 8) C ( 9) B ( 10) A ( 11) B ( 12) D 二、填空题 (每小题 5 分,共 20 分) ( 13) 5 ( 14) 1021( 15) 323( 16) 42 三、解答题 ( 17) 解:( )在 中,因为 2 2 2b c a b c , 由余弦定理可得 2 2 2 1c o 2b c a b cA b c b c , 3分 0 A ,3A 6分 ( ) 2( ) s i n 2 c o s s i n c o s 1 2 s i n ( ) 124xf x x x x x , ( ) 2 s i n ( ) 1 2 14f B B , 4B , 9分 即:002s i n 6 0 s i n 4 5b , 22262332b 12分 ( 18) 解:( )设 “仅有两人的成绩合格”为事件 A ,“有三人的成绩合格”为事件 B , 至少有两人的成绩是合格的概率为 P ,则 ( ) ( )P P A P B,又男生共 12人, 其中有 8人合格,从而 1248312(A ) , 2分 38312() 4分 所以 4255P. 6分 ( )因为女生共有 18人,其中有 10人合格,依题意, X 的取值为 0,1,2. 则 028 1 02185( 0 )17 , 118 1 021880( 1 )153 , 208 1 021828( 2 )153 , (每项 1分 ) 10分 因此, X 的分布列如下: X 0 1 2 P 5178015328153 5 8 0 2 8 1 3 6 8( ) 0 1 21 7 1 5 3 1 5 3 1 5 3 9 (人) (未化简不扣分) 12分 (或是,因为 X 服从超几何分布,所以 88( X ) 21 8 9E (人) ( 19) 解 ()依题意,以点 A 为原点建立如图的空间直角坐标系 , 1分 不妨设 =2P , 则 ( 2 , 0 , 0 ) , ( 2 , 2 , 0 ) , ( 0 , 2 , 0 ) , ( 0 , 0 , 2 )B C D P, E 为棱 中点,得 (0,1,1)E , (0,1,1)AE ( 2 , 2 , 0 ) ( 2 , 0 , 2 ) 设平面 一个法向量为 ( , , )n x y zr , 则 00n B r 即 2 2 02 2 0 , 不妨令 1y ,得 (1,1,1)n r , 4分 所以 6c o s ,3A E n r , 5分 直线 平面 成角的正弦值为 63 6分 ()向量 ( 2 , 2 , 2 ) (2, 2, 0 ) 由点 M 在棱 ,设 P 01), (1 2 , 2 2 , 2 )F M F C C M u u u ur u u ur u u u C , 0C ( 1 2 ) 2 ( 2 2 ) 2 2 0 0 ,解得 3=4, 10分 1=3 12分 ( 20) 解:( )设点 ),( ),(00 由 12Q得 因为点 P 在抛物线 2 上, 2 . 4分 ( ) 方法一: 由已知,直线 l 的斜率一定存在, 设点 11, 22, 则联立(2, 得, 0201642 由韦达定理,得201642121 6分 当直线 l 经过点 S 即 41 x 或 42 x 时, 当 41 x 时,直线 斜率看作抛物线在点 A 处的切线斜率, 则 21 k ,812 k,此时81721 同理,当点 B 与点 S 重合时,81721 生如果没有讨论,不扣分) 直线 l 不经过点 S 即 41 x 且 42 x 时,121244,, 121212( 4 1 ) ( 4 1 )( 4 ) ( 4 )k x k k x 8分 2 2 21 2 1 21 2 1 2( 4 ) ( ) 1 6 8 14 ( ) 1 6k x x k k x x k kx x x x 41432 81 k k, 10分 故1 2 1 212 2 14k k k k , 所以21 的最小值为 1 12分 方法二:同上 2212121 2 1 21 2 1 24444 1444 4 4 4 4k x xx x x x , 8分 2 21 2 1 2 1 24 1 6 4 1 6 2 0x x x x x x k k 224 4 5 4 2 1 4k k k , 10分 所以21 的最小值为 1 12分 方法三: 设点 211, 4, 222 , 4,由直线 l 过 )5,4(N 交轨迹 E 于 , 221212554444 ,化简整理得 : 1 2 1 2 1 2 1 24 2 0 , = , 4 2 0x x x x x x t x x t 令 则, 8分 2212121 2 1 21 2 1 24444 1444 4 4 4 4k x xx x x x . 10分 而 221 2 1 2 1 2 1 2 1 21 1 14 4 4 2 04 4 4x x x x x x x x x x 22111 6 2 0 8 1 6 144t t t 12分 ( 21) 解:( ) 由 (1 )() ( 0x ), 1分 当 0a 时,显然 01x时, ( ) 0 ;当 1x 时, ( ) 0 , 所以此时 ()单调增区间为 0,1( ) , 减区间为 1+( , ) ; 当 0a 时, ()单调增区间为 1+( , ) ,减区间为 0,1( ) ; 当 0a 时, ( ) 3 不是单调函数 4分 ( )由题知 ( 2 ) 12 ,得 2a , 所以 ( ) 2 l n 2 3f x x x , 5分 所以 32( ) ( 2 ) 22mg x x x x ( 0x ), 2( ) 3 ( 4 ) 2g x x m x 6分 0 , ( ) 0 一定有两个不等的实根12, 又 12 2 03 不妨设120,由已知10 时 ( ) 0 ,2 ( ) 0 , 即 (), )2( , )x 上递增,依题意知2 ( ,3) 于是只需 (1 ) 5 0( 2 ) 2 1 8 0( 3 ) 3 3 7 0 , 得 37 93 m 8分 ( )由( )知当 1a 时, ( ) l n 3f x x x 在 (1, ) 上递增, ( ) l n 3 ( 1 ) 2f x x x f l n 1 ( 1 )x x x , 9分 在上式中分别令 2 , 3, 4 , ,L 得 l n 2 1 , l n 3 2 , l n 4 3 , , l n 1 ( 2 )n n n L, 10分 以上不等式相乘 得 l n 2 l n 3 l n 4 l n 1 2 3 ( 1 ) ( 2 )n n n 11分 两边同除以 !n 得 l n 2 l n 3 l n 4 l n 1234 L( 2,n n N ) ,即证 12分 ( 22) 解:( )由 D , 可知 B A C D A C , 2分 由角分线定理可知, D,即 A B M D A D B M , 得证 . 5分 ()由 C P M D C B B M ,可知 D,又 D , D, /C . 8分 P B C A C B (内错角), 又 P B C B A C (弦切角 ), A C B B A C , C . 10分 ( 23)解:()将 A 、 B 化为直角坐标为 44( 2 c o s , 2 s i n ) , ( 2 c o s , 2 s i n )33, 即 ( 2 , 0 ) , ( 1 , 3 ) , 30 312 , 3分 直线 方程为 0 3 ( 2 ) ,即 3 2 3 0 5分 ()设 ( 2 co s , M ,它到直线 距离为 2 3 c o s s i n 2 3 1 3 s i n ( ) 2 322d , (其中 3 ), 8分 m a x 1 3 2 32d 10分 ( 24)
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