四川省成都市五校2015-2016学年高二下期中考试数学（理）试题含答案

1 成都市五校联考高 2014 级第四学期期中试题 数学 （理科） (全卷满分 :150 分 完成时间 :120 分钟 ) 命题人：胡泽余 审题人：陈晓刚、张尧、谢祥高 注意事项 : 选择题答案用铅笔涂写在机读卡上 ,每小题选出答案后 ,用铅笔把对应题目的答案标号涂黑 第卷 (选择题 共 50分 ) 一、选择题 (本大题共有 12 小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分在每小题给出的四个选项中 ,有且只有一项是符合题目要求的 ) 命题“ 1 的否定是 ( ) 1s 00 00 i n,. 1s 00 双曲线 144169 22 渐近线方程是 ( ) 在同一坐标系中，将曲线 变为曲线 的伸缩变换是 ( ) 312, 32, 已知命题 :p 命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”的否命题是真命题； 命题 :q ”“ 95 k 是方程 15922 k 则下列命题为真命题的是 ( ) . . . . 在极坐标系中，圆心为 )4,2( ，半径为 1 的圆的极坐标方程是 ( ) )4s i n (8. A )4co s (8. B 03)4(c o 2 C 03)4s i n (4. 2 D 已知 21 是椭圆 )0(12222 P 是椭圆上一点，且 621212 椭圆 的离心率是 ( ) 25)2(: 221 切且与 1)2(: 222 切的动圆圆心 M 的轨 迹方程 是 ( ) 2 )0( ) )3( )3( 函数ax ，已知曲线 )( 在点 )1(1 f，（ 处的切线与直线 032 行，则 a 的值为 ( ) 1.A 或2323.21 已知极坐标的极点 在直角坐标系的原点 O 处，极轴与 x 轴的正半轴重合。曲线 C 的参 数方程为 (参数），直线 l 的极坐标方程是 15)s c 。若 点 分别是曲线 C 和直线 l 上的动点，则 两点之间距离的最小值是 ( ) 2 乙两位同学同住一小区，甲乙俩同学都在 20:700:7 经过小区门口。由于天气下雨，他们希望在小区门口碰面结伴去学校，并且前一天约定先到者必须等候另一人 5 分钟，过时即可离开。则他俩在小区门口碰面结伴去学校的概率是 ( ) 知命题 :p 函数 )0(|4|)( 在最小值；命题 :q 关于 x 的方程 22(2 2 73a 0 有实数根。则使“命题 为真， 为假”的 一个必要不充分的条件是 ( ) 53. 40. 54. 30 a 53. 30 a 已知，焦点在 x 轴上的椭圆的上下顶点分别为 12 ， 经过 点 2B 的直线 l 与以椭圆 的中心为顶点、以 2B 为焦点的抛物线交于 两点，直线 l 与椭圆交于 两点， 且 |2| 22 。 直线 1l 过点 1B 且垂直于 y 轴，线段 中点 M 到直线 1l 的距 离为49。设 2 ，则实数 的取值范围是 ( ) )3,0( )2,21(. B )4,32(. C )3,95(. D 第 卷 (非选择题 共 90 分 ) 二、填空题 (本大题共有 4 小题 ,每小题 5 分 ,共 20 分把答案直接填在答题卷指定的横线上 ) 有 3 本不同的语文书， 1 本数学书，从中任意取出 2 本，取出的书恰好是一本 语文书和一本数学书的概率是 . 已知函数 )12s )( x ，则 )21(f . 已知函数 ,1)()21()( 342 ，若 1 ， 3 3,12x ，使得 )()( 21 ，则实数 t 的取值范围是 . 已知直线 l 交抛物线 2 于 两点，且 4 是坐标原点），设 l 与 x 轴的非正半轴交于点 F ， 、 分别是双曲线 )0,0(12222 焦点。若在双曲线的右支上存在一点 P ，使得 |3|2 ，则 a 的取值范围是 . 三、 解答题 (本大题共 6 小题 ,共 70 分解答应写出文字说明 ,证明过程或演算步 骤 ) 17.(本题满分 12 分）已知命题 1|2|: 足实数 ；命题 0231; x 足实数. （ ） 若 1m 时， 为真，求实数 x 的取值范围； （ ） 若 p 是 q 的的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围。 18.（本小 题满分 12 分） 已知函数 1 （ e 是自然对数的底数）。 （）当 2,1 时，求函数 象上点 M 处切线斜率的最大值； （） 若 在点 处的切线 l 与直线 02 直，求切线 l 方程； 19 (本题满分 12分） 已知袋子中 装 有 红色球 1 个，黄色球 1 个，黑色球 n 个（小球大小形状相同），从中随机抽取 1 个小球，取到黑色小球的概率是31. （ ） 求 n 的值； （ ） 若红色球标号为 0，黄色球标号为 1，黑色球标号为 2，现 从袋子中 有 放回地随机抽取 2 个小球，记第一次取出的小球标号为 a，第二次取出的小球标号为 b. ( )记 “ a b 2” 为事件 A，求事件 A 的概率； ( )在区间 0,2内任取 2 个实数 x， y，求事件 “ (a b)2恒成立 ” 的概率 4 20.(本小题满分 12 分） 已知动圆过定点 )1,0(F ,且与定直线 1y 相切。 （ ） 求动圆圆心 M 所在曲线 C 的方程； （ ） 直线 l 经过曲线 C 上的点 ),(00 与曲线 C 在点 P 的切线垂直， l 与曲线 C 的另一个交点为 Q 。 当 20 的面积； 当点 P 在曲线 C 上移动时，求线段 点 N 的轨迹方程以及点 N 到 x 轴的最短距离。 21， （本小题满分 12 分） 椭圆 01;2222 焦点分别是 21,右顶点为 A ,上顶点为 B ,坐标系原点 O 到直线 距离为7212，椭圆的离心率是21。 （ ） 求椭圆 C 的方程； （ ） 若经过点 0 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 ,且 ,求（点 o 为坐标系原点）周长的取值范围； 22.（本小题满分 10 分） 在直角坐标系 ，直线 l 的方程为 04 以原点 o 为极点，以 x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 64co 。 5 （ ） 求直线 l 的极坐标方程，曲线 （ ） 若点 上任意一点， ，求 的最大值和最小值 6 高二下期半期考试数学（理）参考答案 一、选择题 二填空题 e ； ,； )4,54 17.(本题满分 12 分）已知命题 1|2|: 足实数 ；命题 0231; x 足实数. （ ） 若 1m 时， 为真，求实数 x 的取值范围； （ ） 若 p 是 q 的的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围。 解； （ ） 为真， 都为真。 . 又 1m ， 12 即真； . ,0)2)(31(,023 ；即312 x. 由 02 0,2- ，的取值范围为实数 x 。 . （ ） 1|2|: 足实数 , 12; 即2 12 1 令 2 1,2 1 . 312; 令 31,2B . 的充分非必要条件是 ， A 是 B 的真子集。 . 不能同时取等）(3121221 313 m 实数 m 的取值范围是 31,3 。 . 19.（本小题满分 12分） 已知函数 1 （ e 是自然对数的底数）。 （）当 2,1 时，求函数 象上点 M 处切线斜率的最大值； （） 若 在点 处的切线 l 与直线 02 直，求切线 l 方程； 解； （）设切点 ，则 2,1 。 函数 象上点 M 处切线斜率为 2 . 7 ,21,1 2 . 4121 41,21 m a x2 ，即当.（） 1 2, . 又 点 处的切线 l 与直线 02 直 . 1, 1 .切线 l 的方程为 01 . 19 (本题满分 12分） 已知袋子中 装 有 红色球 1 个，黄色球 1 个，黑色球 n 个（小球大小形状相同）， 从中随机抽取 1 个小球，取到黑色小球的概率是31. （ ） 求 n 的值； （ ） 若红色球标号为 0，黄色球标号为 1，黑色球标号为 2，现 从袋子中 有 放回地随机抽取 2 个小球，记第一次取出的小球标号为 a，第二次取出的小球标号为 b. ( )记 “ a b 2” 为事件 A，求事件 A 的概率； ( )在区间 0,2内任取 2 个实数 x， y，求事件 “ (a b)2恒成立 ” 的概率 解： （） 依题意 ,312 n . （） (1)记标号为 0的小球为 s，标号为 1的小球为 t，标号为 2的小球为 k， 则取出 2个小球的可能情况有： (s， t)， (s， k)， (t， s)， (t， k)， (k， s)， (k，t)，（ s,s），（ t,t） ,(k,k),共 9种， .。 . 其中满足“ 2的有 3种： (s， k)， (k， s)(t,t)。 所以所求概率为 31.2)记“ (a b)2 恒成立”为事件 B。 则事件 4恒成立”， (x， y)可以看成平面中的点的 坐 标 ， 则 全 部 结 果 所 构 成 的 区 域 为 ,20,20, ， . 而事件 ,4, 22 。 所以所求的概率为 P(B)14.21.(本题满分 12 分） 已知动圆过定点 )1,0(F ,且与定直线 1y 相切。 （ ） 求动圆圆心 M 所在曲线 C 的方程； （ ） 直线 l 经过曲线 C 上的点 ),(00 与曲线 C 在点 P 的切线垂直， l 与曲线 C 的另一个交点为 Q 。 8 当 20 的面积； 当点 P 在曲线 C 上移动时，求线段 点 N 的轨迹方程以及点 N 到 x 轴的最短距离。 解 .（ ） 由题知，点 ),( 定点 )1,0(F 的距离等于它到定直线 1y 的距离，所以点 M 所在的曲线 C 是以 )1,0(F 为焦点，以 1y 为准线的抛物线。 . 曲线 C 的方程是： 2 。 . （ ） 由（ 1）有曲线 C ： 241 .当 20 )212( ，P,曲线 C 在点 P 的切线的斜率是 22,所以直线 l 的斜率2k 252- 方程为：直线 . 设 11, 联立24125210242 . 10,24 1010 6643 10210 又点 O 到直线 l 的距离 635d 从而可得 2215. 由题有曲线 C 在点 P 的切线的斜率是021x，当 0000 x，所以直线 l 的斜率02 ，点 )41,( 200 )(241 0020 的方程为：直线 . 设点 ),(),( 11 ，有)(21)(414141 101010212010 9 12 10 100 0 将 代入 消0242 22 ( 的轨迹方程为 242 22 . ),( 到 轴x 的距离为 |y ，由轨迹方程知 222242 22 4 x 时取等号 点 N 到 x 轴的最短距离为 222 。 . 21， （本小题满分 12 分） 椭圆 01;2222 焦点分别是 21,右顶点为 A ,上顶点为 B ,坐标系原点 O 到直线 距离为7212，椭圆的离心率是21。 （ ） 求椭圆 C 的方程； （ ） 若经过点 0 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 ,且 ,求 （点 o 为坐标系原点）周长的取值范围； 解； （ ）23211,21 2 . 又 坐标系原点 O 到直线 距离为7212。 2272122121 . 22243721223 ， 2a ， 3b 椭圆 C 的方程为 13422 . （ ） 当直线 l 斜率不存在时， 经过点 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 , 且 , 。 23为椭圆短轴的四等分点点. 当直线 l 斜率存在时，设直线 l 的方程为 又设直线 l 与椭圆 C 的交点 2211 , 01248)34134 22222 tk 10 034,0 22 （ *） 34 8221 k 4 124 2221 . 又 ， 21 3 带入上式可得34 1221 k 4 422 k 2434 434 12 2222 化简得 0912316 2222 1216 39 222 t *）得 034 3222 t 即又 0t 0343 22 解得； 32 32 33 . 综上所述实数 t 的取值范围为 3,2323,3 . 又 的周长 ,42 2 3,2323,3 t 是偶函数。 当 3,23t 时， 42 2 3,23 上单调递增， 732,219232 l周长的 取值范围为732,2192 32 . 23.（本小题满分 10 分） 在直角坐标系 ，直线 l 的方程为 04 以原点 o 为极 点 ， 以