《线性代数》 课件 2.5初等变换

第2章矩阵2-5初等变换一、矩阵的初等变换①②③④①②③÷2①②③④引例：求解线性方程组一、矩阵的初等变换②－③③－2×①④－3×①①②③④①②③④一、矩阵的初等变换②÷2③＋5×②④－3×②①②③④①②③④一、矩阵的初等变换④－2×③③④①②③④①②③④一、矩阵的初等变换取x3

为自由变量，则令x3=c

，则恒等式①②③④一、矩阵的初等变换三种变换：交换方程的次序，记作；以非零常数k乘某个方程，记作；一个方程加上另一个方程的k倍，记作.

其逆变换是：结论：由于对原线性方程组施行的变换是可逆变换，因此变换前后的方程组同解.在上述变换过程中，实际上只对方程组的系数和常数进行运算，未知数并未参与运算．iji×ki＋kjiji×ki+kjiji÷ki－kj一、矩阵的初等变换定义：下列三种变换称为矩阵的初等行变换：对调两行，记作以非零常数k

乘某一行的所有元素，记作某一行加上另一行的k

倍，记作其逆变换是：把定义中的“行”换成“列”，就得到矩阵初等列变换的定义．矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换．初等变换初等行变换初等列变换一、矩阵的初等变换特点：可画出一条阶梯线，线的下方全为零；每个台阶只有一行；阶梯线的竖线后面是首非零元.一、矩阵的初等变换特点：1.非零行的第一个非零元为1;2.这些非零元所在的列的其它元素都为零.一、矩阵的初等变换标准形矩阵：左上角是一个单位矩阵，其它元素全为零.一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换将矩阵A化为行最简形矩阵的一般步骤为：（1）将矩阵化为阶梯形矩阵（自上而下）．首先将矩阵的第1行的首非零元化为1，然后将其所在列下方的元素全化为零，再将第2行首非零元下方的元素全化为零，依次向下进行，直至把矩阵化为阶梯形矩阵．（2）将阶梯形化为行最简形（自下而上）．从非零行最后一行起，将该非零行首非零元化为1，并将其所在列上方元素全化为0，再将倒数第二个非零行的首非零元化为1，并将其所在列上方元素全化为零，依次向上进行，直至把矩阵化为行最简形矩阵．一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换二、初等矩阵定义

由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵,称为初等矩阵（初等方阵）..

三类初等变换对应着三种初等矩阵.(1)对调单位阵的第

i,j行（列），记作

E5(3,5)记作

Em(i,j)．二、初等矩阵(2)以常数

k≠0

乘单位阵第

i行（列），记作

E5(3(5))记作

Em(i(k))．二、初等矩阵(3)以

k

乘单位阵第

j行加到第

i行,记作

Em(ij(k))．

以

k

乘单位阵第

i列加到第

j列．?两种理解！二、初等矩阵把矩阵A的第i行与第j行对调，即.二、初等矩阵把矩阵A的第i列与第j列对调，即.二、初等矩阵结论把矩阵A的第i行与第j行对调，即.把矩阵A的第i列与第j列对调，即.以非零常数k

乘矩阵A的第i行，即.以非零常数k

乘矩阵A的第i列，即.把矩阵A第j行的k倍加到第i行，即.把矩阵A第i列的k倍加到第j列，即.二、初等矩阵定理

设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.口诀：左行右列.性质初等矩阵的逆矩阵是：二、初等矩阵定理方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵P1,P2,…,Pl，使A=P1

P2…,Pl

．这表明，可逆矩阵的标准形矩阵是单位阵.其实，可逆矩阵的行最简形矩阵也是单位阵．三、用初等变换求逆矩阵三、用初等变换求逆矩阵三、用初等变换求逆矩阵三、用初等变换求逆矩阵三、用初等变换求逆矩阵三、用初等变换求逆矩阵四、用初等变换法求解矩阵方程四、用初等变换法求解矩阵方程