与圆有关的阴影面积的计算

属于我们自己的中考属于我们自己的中考 九年级数学习题九年级数学习题 第第 1 页页 辅导材料辅导材料 与与圆圆有关的阴影面有关的阴影面积积的的计计算算 准备阶段准备阶段 1 圆的面积公式圆的面积公式 其中其中 为圆的半径为圆的半径 S 2 rr 2 半圆的面积公式半圆的面积公式 2 1 半半圆圆 S 2 r 3 扇形的面积公式扇形的面积公式 其中其中 为扇形的半径为扇形的半径 为扇形的半径为扇形的半径 360 2 rn S 扇扇形形 rn 4 扇形的面积公式 另 扇形的面积公式 另 其中其中 为扇形的半径为扇形的半径 为扇形的弧长为扇形的弧长 lrS 2 1 扇扇形形 rl 证明证明 360 2 rn S 扇扇形形 180 rn l lrr rnrn S 2 1 1802 1 360 2 扇扇形形 5 关于旋转关于旋转 1 复习旋转的性质 复习旋转的性质 2 会画出一个图形旋转后的图形 会画出一个图形旋转后的图形 3 旋转的作用 旋转的作用 通过旋转通过旋转 有时候我们可以把分散的几何条件集中起来有时候我们可以把分散的几何条件集中起来 使题使题 目呈现出整体上的特点目呈现出整体上的特点 该作用也常用于与圆有关的阴影面积的计算该作用也常用于与圆有关的阴影面积的计算 6 重点介绍重点介绍 转化思想转化思想 在解决数学问题时在解决数学问题时 把复杂问题简单化把复杂问题简单化 把一般问题特殊化把一般问题特殊化 把抽象问题具体把抽象问题具体 化等的思想方法化等的思想方法 叫做转化思想叫做转化思想 7 怎样求与圆有关的阴影的面积怎样求与圆有关的阴影的面积 1 利用圆 半圆以及扇形的面积计算公式 利用圆 半圆以及扇形的面积计算公式 2 利用整体与部分之间的关系 利用整体与部分之间的关系 3 采用整体思想 采用整体思想 求不规则图形的面积求不规则图形的面积 一般将其转化为规则图形的和差来一般将其转化为规则图形的和差来 解决解决 具体可以通过平移 旋转或割补的形式进行转化具体可以通过平移 旋转或割补的形式进行转化 属于我们自己的中考属于我们自己的中考 九年级数学习题九年级数学习题 第第 2 页页 实战阶段实战阶段 1 2015 河南 如图 河南 如图 1 所示 所示 在在 扇形扇形 AOB 中中 AOB 90 点点 C 为为 OA 的中点的中点 CE OA 交弧交弧 AB 于点于点 E 以以 点点 O 为圆心为圆心 OC 的长为半径作弧的长为半径作弧 CD 交交 OB 于点于点 D 若若 OA 2 则阴影部分的则阴影部分的 面积为面积为 图 图 1 1图 E D B C AO 图 图 1 1图 E D B C AO 解析解析 图 图 1 中阴影所在图形为不 中阴影所在图形为不 规则图形规则图形 可以利用整体与部分之间的可以利用整体与部分之间的 关系的方法求解关系的方法求解 即采用整体和差的方即采用整体和差的方 法法 解解 连结连结 OE OA OB OE CE OA COE 为直角三角形为直角三角形 点点 C 为为 OA 的中点的中点 1 2 1 2 1 OEOAOC 在在 Rt COE 中中 CEO 30 EOC 60 AOB 90 BOE 30 在在 Rt COE 中中 由勾股定理得由勾股定理得 312 2222 OCOECE OCDOBECOE SSSS 扇扇形形扇扇形形阴阴影影 122 3 360 190 360 230 31 2 1 22 2 2015 贵州遵义 如图 贵州遵义 如图 2 所 所 示示 在圆心角为在圆心角为 90 的扇形的扇形 OAB 中中 半半 径径 OA 2 cm C 为弧为弧 AB 的中点的中点 D E 分别是分别是 OA OB 的中点的中点 则图中阴影则图中阴影 部分的面积是部分的面积是 图 图 2 2图 C A D E O B 属于我们自己的中考属于我们自己的中考 九年级数学习题九年级数学习题 第第 3 页页 M C A D E O B 解解 连结连结 OC 并作并作 CM OA 于点于点 M 点点 C 为弧为弧 AB 的中点的中点 AOB 90 AOC BOC AOB 45 2 1 COM 为等腰直角三角形为等腰直角三角形 OM CM OC 2cm CM OCcm2 2 2 245sin D E 分别是分别是 OA OB 的中点的中点 OD OE 1 cm DM OM OD cm 12 DOECDMCOMOBC SSSSS 扇扇形形阴阴影影 2 1 2 2 11 2 2 1 2 22 1 2 cm2 2 1 2 2 2 注意注意 若题目对结果无特殊要求若题目对结果无特殊要求 则结则结 果保留果保留 不取具体值不取具体值 3 2015 开封二模开封二模 如图 如图 3 所示 所示 在在 ABC 中中 CA CB ACB 90 AB 2 点点 D 为为 AB 的中点的中点 以点以点 D 为圆心作为圆心作 圆心角为圆心角为 90 的扇形的扇形 DEF 点点 C 恰好在恰好在 弧弧 EF 上上 则图中阴影部分的面积为则图中阴影部分的面积为 解析解析 本题问题的解决要用到三角形本题问题的解决要用到三角形 全等的知识全等的知识 请复习请复习 1 三角形全等的判定定理有哪些 三角形全等的判定定理有哪些 2 全等三角形具有怎样的性质 全等三角形具有怎样的性质 对于第二个问题对于第二个问题 全等三角形的面全等三角形的面 积相等积相等 我们可以借助该性质将三角形我们可以借助该性质将三角形 的面积等量转化的面积等量转化 图 图 3 3图 E D B AC F 解解 连结连结 CD 设设 DE 与与 AC 交于点交于点 M DF 与与 BC 交于点交于点 N 2 1 M N E D B AC F 属于我们自己的中考属于我们自己的中考 九年级数学习题九年级数学习题 第第 4 页页 ACB 90 CDE 1 90 CA CB 点点 D 为为 AB 的中点的中点 CD AB 等腰三角形 等腰三角形 三线合一三线合一 CDE 2 90 1 2 DCN ACB 45 2 1 DAM DCN ACB 90 1 2 1 ADABCD DE CD 1 在在 ADM 和和 CDN 中中 12 CDAD DCNDAM ADM CDN ASA S ADM S CDN S四边形 四边形 DMCN S CDM S DCN S ACD S CDM S ADM S四边形 四边形 DMCN S ACD DMCNDEF SSS 四四边边形形扇扇形形阴阴影影 2 1 4 2 11 360 190 2 扇扇形形ACDDEF SS 2 1 M N E D B AC F 在求扇形的面积时确定圆心角的在求扇形的面积时确定圆心角的 度数很重要度数很重要 大多数扇形的圆心角题目会直接大多数扇形的圆心角题目会直接 给出给出 但有时却需要我们自己求解但有时却需要我们自己求解 见见 第第 5 题题 4 2015 洛阳一模 如图 洛阳一模 如图 4 所 所 示示 在扇形在扇形 OAB 中中 AOB 90 半径半径 OA 6 将扇形将扇形 AOB 沿过点沿过点 B 的直线的直线 折叠折叠 点点 O 恰好落在弧恰好落在弧 AB 上点上点 D 处处 折痕交折痕交 OA 于点于点 C 则图中阴影部分的则图中阴影部分的 面积为面积为 O 图 图 4 4图 C D A B 解析解析 本题本题 BOCOAB SSS 2 扇扇形形阴阴影影 属于我们自己的中考属于我们自己的中考 九年级数学习题九年级数学习题 第第 5 页页 题目所给条件不难求出扇形题目所给条件不难求出扇形 OAB 的的 面积面积 但但 BOC 的面积不易求得的面积不易求得 如果如果 连结连结 OD 那么那么 OB OD 再根据对折再根据对折 得得 OB BD 从而从而 OB OD BD 即即 BOD 为等边三角形为等边三角形 至此至此 问题便很容问题便很容 易解决易解决 解解 连结连结 OD O C D A B OB OD BOC BDC 由翻折可得 由翻折可得 OB BD OBC DBC OB OD BD BOD 为等边三角形为等边三角形 OBD 60 OBC DBC 30 在在 Rt BOC 中中 OBC 30 OB OC OBC 30tantan 3 3 6 OC OC 32 BOCOAB SSS 2 扇扇形形阴阴影影 3129 2 326 2 360 690 2 5 2015 焦作一模 如图 焦作一模 如图 5 所 所 示示 在矩形在矩形 ABCD 中中 AB AD 1 把把3 该矩形绕点该矩形绕点 A 顺时针旋转顺时针旋转得到矩形得到矩形 AB C D 点点 C 落在落在 AB 的延长线上的延长线上 则则 图中阴影部分的面积是图中阴影部分的面积是 图 图 5图 B D C DC AB 解解 在在 Rt ABC 中中 由勾股定理得由勾股定理得 21 3 2222 BCABAC AC 2BC BAC 30 由旋转的性质得由旋转的性质得 BAB 30 ABBCAB SSS 扇扇形形阴阴影影 42 3 360 3 30 2 13 2 ABBABC SS 扇扇形形 6 2014 河南 如图河南 如图 在菱形在菱形 ABCD 中中 AB 1 DAB 60 把菱形把菱形 ABCD 绕点绕点 A 顺时针旋转顺时针旋转 30 得到菱形得到菱形 属于我们自己的中考属于我们自己的中考 九年级数学习题九年级数学习题 第第 6 页页 AB C D 其中点其中点 C 的运动路径为弧的运动路径为弧 CC 则图中阴影部分的面积为则图中阴影部分的面积为 图 图 6 6图 C D B CD A B 解解 由题意可知由题意可知 A D C 三点共线三点共线 A B C 三点共线三点共线 如图所示如图所示 设设 BC 与与 C D 相交于点相交于点 E E C D B CD A B 容易得知容易得知 BED CEE 90 设设 D E 则则 BE CD 为 为xxx2 什么什么 CE x 1 在在 Rt D CE 中中 由勾股定理得由勾股定理得 222 222 2 1 xxx CDCEED 解之得解之得 舍去 舍去 2 13 2 13 21 xx D ECE 2 13 2 33 4 332 2 33 2 13 2 1 CED S 由菱形的性质并结合勾股定理不难求由菱形的性质并结合勾股定理不难求 得得 AC 3 CEDACC SSS 2 扇扇形形阴阴影影 4 332 2 360 3 30 2 3 2 3 4 2 332 4 7 2015 新乡一模 如图 新乡一模 如图 7 所 所 示示 在在 Rt AOB 中中 AOB 30 A 90 AB 1 将将 Rt AOB 绕点绕点 O 顺时针旋顺时针旋 转转 90 得到得到 Rt COD 则在旋转过程则在旋转过程 中线段中线段 AB 扫过的面积为扫过的面积为 解析解析 本题中阴影部分是由相关图形本题中阴影部分是由相关图形 的旋转形成的的旋转形成的 阴影部分的面积与两个阴影部分的面积与两个 扇形的面积之间的关系为扇形的面积之间的关系为 OACOBD SSS 扇扇形形扇扇形形阴阴影影 图 图 7 7图 D C B A O 属于我们自己的中考属于我们自己的中考 九年级数学习题九年级数学习题 第第 7 页页 解解 在在 Rt AOB 中中 AOB 30 OB 2AB 2 由勾股定理得由勾股定理得 312 2222 ABOBOA OACOBD SSS 扇扇形形扇扇形形阴阴影影 360 3 90 360 290 22 4 4 3 8 2014 许昌一模 如图 许昌一模 如图 8 所 所 示示 在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中 已知已知 D 经经 过原点过原点 O 与与轴 轴 轴分别交于轴分别交于xy A B 两点两点 B 点的坐标为点的坐标为 OC 32 0 与与 D 相交于点相交于点 C OCA 30 则图则图 中阴影部分的面积为中阴影部分的面积为 解析解析 本题将圆的知识点与平面直角本题将圆的知识点与平面直角 坐标系相结合坐标系相结合 使得问题的解决更加灵使得问题的解决更加灵 活活 实际上实际上 平面直角坐标系是研究几平面直角坐标系是研究几 何或解析几何的有力工具何或解析几何的有力工具 x y 图 图 8 8图 D AO B C 解解 连结连结 AB x y D AO B C AOB 90 AB 是是 D 的直径的直径 OCA 30 OBA 30 B 32 0 OB 32 设设 OA 则则 AB xx2 在在 Rt AOB 中中 由勾股定理得由勾股定理得 222 222 2 32 xx ABOBOA 解之得解之得 舍去 舍去 2 2 21 xx OA 2 AB 4 32 2 322 AOB S AOB SSS 半半圆圆阴阴影影 322 32 2 22 在求扇形的面积时确定扇形的半在求扇形的面积时确定扇形的半 径很重要径很重要 9 如图 如图 9 所示 所示 在扇形在扇形 OAB 中中 属于我们自己的中考属于我们自己的中考 九年级数学习题九年级数学习题 第第 8 页页 AOB 60 扇形半径为扇形半径为 4 点点 C 在弧在弧 AB 上上 CD OA 垂足为点垂足为点 D 当当 OCD 的面积最大时的面积最大时 图中阴影部分的图中阴影部分的 面积为面积为 图 图 9 9图 D B OA C 解析解析 本题涉及到三角形面积最大的本题涉及到三角形面积最大的 问题问题 当直角当直角 COD 满足什么条件时满足什么条件时 其面积最大其面积最大 弄清楚这个问题是解决本弄清楚这个问题是解决本 题问题的关键题问题的关键 解解 在在 Rt COD 中中 由勾股定理得由勾股定理得 16 222 OCCDOD 0 2 CDOD 02 22 CDCDODOD 8 2 22 CDOD CDOD 显然显然 当当 OD CD 时时 取取 号号 此时此时 COD 是等腰直角三角形是等腰直角三角形 其面积最大其面积最大 最大值为最大值为4 2 1 CDODS COD COD 45 CODOAC SSS 扇扇形形阴阴影影 42 4 360 445 2 10 2015 郑州外国语中学 如图郑州外国语中学 如图 10 所示 所示 在正方形在正方形 ABCD 中中 对角对角 线线 AC BD 相交于点相交于点 O AOB 绕点绕点 B 逆时针旋转逆时针旋转 60 得到得到 BO B AB 与与 弧弧 OO 相交于点相交于点 E 若若 AD 2 则图中阴则图中阴 影部分的面积是影部分的面积是 图 图 1 10 0图 E B O O CD AB 解解 由题意可知由题意可知 ABB 60 EBO 15 在在 Rt ABD 中中 由勾股定理得由勾股定理得 2222 2222 ABADBD 由正方形的性质得由正方形的性质得 OB 2 122 2 1 BBO S BBOBEOBAB SSSS 扇扇形形扇扇形形阴阴影影 1 360 2 15 360 260 22 属于我们自己的中考属于我们自己的中考 九年级数学习题九年级数学习题 第第 9 页页 B AB 1 12 7 1 12 1 3 2 11 2013 湖北潜江模拟 如图湖北潜江模拟 如图 11 在在 Rt ABC 中中 C 90 A 30 AC 6 cm CD AB 于于 D 以以 C 为圆心为圆心 CD 为半径画弧为半径画弧 交交 BC 于于 E 则图中阴则图中阴 影部分的面积为影部分的面积为 A cm2 4 3 3 2 3 B cm2 8 3 3 2 3 C cm2 4 3 33 D cm2 8 3 33 图 图 1 11 1图 E D A B C 12 2013 洛阳模拟洛阳模拟 如图所示如图所示 AB 是是 O 的切线的切线 OA 1 AOB 60 则图则图 中阴影部分的面积是中阴影部分的面积是 B C O A A B 6 1 3 3 1 3 C D 6 1 2 3 3 1 2 3 13 2015 新乡二模 如图所示新乡二模 如图所示 在在 菱形菱形 ABCD 中中 B 60 AB 2 扇形扇形 AEF 的半径为的半径为 2 圆心角为圆心角为 60 则图中则图中 阴影部分的面积是阴影部分的面积是 F E D C AB 14 2013 郑州二模 如图所示郑州二模 如图所示 直直 径径 AB 为为 6 的半圆的半圆 将其绕将其绕 A 点旋转点旋转 60 此时点此时点 B 到了点到了点 B 处处 则图中阴影则图中阴影 部分的面部分的面积是积是 属于我们自己的中考属于我们自己的中考 九年级数学习题九年级数学习题 第第 10 页页 15 2013 许昌一模 如图所示许昌一模 如图所示 在在 正方形正方形 ABCD 中中 AB 4 O 为对角线为对角线 BD 的中点的中点 分别以分别以 OB OD 为直径作为直径作 O1 O2 则图中阴影部分的面积则图中阴影部分的面积 为为 结果保留 结果保留 O2 O1 O D A BC 16 2015 自贡 如图自贡 如图 AB 是是 O 的的 直径直径 CD AB CDB 30 CD 32 则阴影部分的面积为则阴影部分的面积为 D C O AB 17 2015 省实验中学省实