高考数学难点突破_难点11__函数中的综合问题

难点 11 函数中的综合问题 函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大，考查内容和形式灵活多样 握基本解题技巧和方法，并培养考生的思维和创新能力 . 难点磁场 ( )设函数 f(x)的定义域为 R，对任意实数 x、 y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y),当 x0 时f(x)0. (1)求 f(21)、 f(41); (2)证明 f(x)是周期函数； (3)记 an=f(n+求).(nn a命题意图：本题主要考查函数概念，图象函数的奇偶性和周期性以及数 列极限等知识，还考查运算能力和逻辑思维能力 . 知识依托：认真分析处理好各知识的相互联系，抓住条件 f(x1+f( f(到问题的突破口 . 错解分析：不会利用 f(x1+f( f(行合理变形 . 技巧与方法：由 f(x1+f( f(形为 )2()2()2()22()( 是解决问题的关键 . (1) 解：因为对 x1, 0,21 ,都有 f(x1+f( f(所以 f(x)= )2()22( 0, x 0,1 又因为 f(1)=f(21+21)=f(21) f(21)= f(21) 2 f(21)=f(41+41)=f(41) f(41)= f（41） 2 又 f(1)=a0 f(21)=f(41)=(2)证明：依题意设 y=f(x)关于直线 x=1 对称，故 f(x)=f(1+1 x),即 f(x)=f(2 x),x R. 又由 f(x)是 偶函数知 f( x)=f(x),x R f( x)=f(2 x),x R. 将上式中 x 以 x 代换得 f(x)=f(x+2)，这表明 f(x)是 2 是它的一个 周期 . (3)解：由 (1)知 f(x) 0,x 0,1 f(21)=f(nf(n 1) f( f(n 1)= =f( f( f(= f( n= f(a 又 f(x)的一个周期是 2 f(2n+f(因此 an=a .0) 2甲、乙两地相距 S 千米，汽车从甲地匀速驶到乙地，速度不得超过 c 千米 /小时，已知汽车每小时的运输成本 (以元为单位 )由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v(km/h)的平方成正比，比例系数为 b,固定部分为 (1)把全程运输成本 y(元 )表示为 v(km/h)的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为 了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 命题意图：本题考查建立函数的模型、不等式性质、最值等知识，还考查学生综合运用所学数学知识解决实际问题的能力 . 知识依托：运用建模、函数、数形结合、分类讨论等思想方法 . 错解分析：不会将实际问题抽象转化为具体的函数问题，易忽略对参变量的限制条件 . 技巧与方法：四步法： (1)读题； (2)建模； (3)求解； (4)评价 . 解法一： (1)依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为程运输成本为y=avS+(va+所求函数及其定义域为 y=S(va+v (0,c . (2)依题意知， S、 a、 b、 v 均为正数 S(va+ 2S 当且仅当va= v=式中等号成立 c 则当 v= 若bac,则当 v (0,c 时，有 S(va+ S(ca+=S (va( =c v)(a c v 0,且 c a a S(va+ S(ca+当且仅当 v=c 时等号成立，也即当 v=c 时，有 综上可知，为使全程运输成本 y 最小，当c 时，行驶速度应为 v=v=c. 解法二： (1)同解法一 . (2)函数 y=x+xk(k0),x (0,+ ),当 x (0, k )时， y 单调减小，当 x ( k ,+ )时 x= k 时 y 取得最小值，而全程运输成本函数为 y=Sb(v+,v (0,c . 当c 时，则当 v=y 最小，若bac 时，则当 v=c 时， y 最小 锦囊妙计 在解决函数综合问题时，要认真分析、处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决，尤其是注意等价转化、分类讨论、数形结合等思想的综合运用 用多种知识和技能 须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件 . 歼灭难点训练 一、选择题 1.( )函数 y=x+a 与 y=图象可能是 ( ) 2.( )定义在区间 ( ,+ )的奇函数 f(x)为增函数，偶函数 g(x)在区间 0， + )的图象与 f(x)的图象重合，设 ab0,给出下列不等式： f(b) f( a)g(a) g( b) f(b) f( a)g(b) g( a) f(a) f( b)0. 求证： )21()131()111()51( 2 . 7.( )某工厂拟建一座平面图 (如下图 )为矩形且面积为 200 平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过 16 米，如果池外周壁建造单价为每米 400 元，中间两条隔墙建造单价为每米 248 元，池底建造单价为每平方米 80 元 (池壁厚度忽略不计，且池无盖 ). (1)写出总造价 y(元 )与污水处理池长 x(米 )的函数关系式，并指出其定义域 . (2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求最低总造价 . 8.( )已知函数 f(x)在 ( ,0) (0,+ )上有定义，且在 (0,+ )上是增函数，f(1)=0,又 g( )= 2m, 0,2 ,设 M=m|g( )0,f( f(f ( f(f(f( f( f(因为 x0 时 f(x) 0, f( f(0 f(x)在 9， 9上是减函数 故 f(x)的最大值为 f( 9),最小值为 f(9). 而 f(9)=f(3+3+3)=3f(3)= 12,f( 9)= f(9)=12. f(x)在区间 9， 9上的最大值为 12，最小值为 12. 歼灭难点训练 一、 类讨论当 a1 时和当 0 a 1 时 . 答案： C 特值法，根据题意，可设 f(x)=x,g(x)=|x|,又设 a=2,b=1, 则 f(a)=a,g(a)=|a|,f(b)=b,g(b)=|b|,f(a) f(b)=f(2) f( 1)=2+1=3. g(b) g( a)=g(1) g( 2)=1 2= 1. f(a) f( b)g(1) g( 2)=1 2= 1. 又 f(b) f( a)=f(1) f( 2)=1+2=3. g(a) g( b)=g(2) g(1)=2 1=1, f(b) f( a)=g(a) g( b). 即与成立 . 答案： C 二、 2x=t0，则原方程可变为 t2+at+a+1=0 方程有两个正实根，则0100)1(421212解得： a ( 1,2 2 2 . 答案： ( 1， 2 2 2 三、 (1)当 a=0 时，函数 f( x)=( x)2+| x|+1=f(x),此时 f(x)为偶函数；当 a 0 时，f(a)=,f( a)=|a|+1,f( a) f(a),f( a) f(a)f(x)既不是奇函数也不是偶 函数 . (2)当 x a 时，函数 f(x)=x+a+1=(x21)2+a+43,若 a21,则函数 f(x)在 ( ,a 上单调递减，从而，函数 f(x)在 ( ,a 上的最小值为 f(a)=. 若 a21,则函数 f(x)在 ( ,a 上的最小值为 f(21)=43+a,且 f(21) f(a). 当 x a 时，函数 f(x)=x2+x a+1=(x+21)2 a+43;当 a21时，则函数 f(x)在 a,+) 上的最 小值为 f( 21 )=43 a,且 f( 21 ) f(a).若 a 21 , f(x)在 a,+ )上单调递增，从而，函数 f(x)在 a,+上的最小值为 f(a)=. 综上，当 a21时，函数 f(x)的最小值是43 a,当21 a21时，函数 f(x)的最小值是 ;当 a21时，函数 f(x)的最小值是 a+43. 5.(1)证明：由02011得 f(x)的定义域为 ( 1， 1)，易判断 f(x)在 ( 1， 1)内是减函数 . (2)证明： f(0)=21, 1(21)=0,即 x=21是方程 1(x)=0 的一个解 1(x)=0 还有另一个解 1,则 1(0,由反函数的定义知 f(0)=1,与已知矛盾，故方程 1(x)=0有惟一解 . (3)解： f x(x21)21,即 f x(x21) f(0). 512104 1510)21(1)21(1 f(x)+f(y)=f(1)中的 x,y,令 x=y=0,得 f(0)=0,再令 y= x,又得 f(x)+f(x)=f(0)=0,即 f( x)= f(x), f(x)在 x ( 1,1)上是奇函数 1 0,则 f( f(f(f(f(21211 ), 1 0, 0,1 .21211 0,于是由知f(21211 ) 0,从而 f( f(0,即 f(f(故 f(x)在 x ( 1,0)上是单调递减函数 f(x)在 x (0,1)上仍是递减函数，且 f(x) 0. .),21()21()21(,0)21(,1210),21()21()21()11()41()31()31()21()131()111()51()21()11()211112111()2)(1(11)2)(1(11)2)(1(1)131(22故原结论成立有时(1)因污水处理水池的长为 宽为造价 y=400(2x+22482+80 200=800(x+1600,由题设条件 162000,160 解得 x 16,即函数定义域为 16 . (2)先研究函数 y=f(x)=800(x+16000 在 6上的单调性，对于任意的 x1, 6 ,不妨设 f( f(800 (324(1211 ) =800(121324, 16. 0 162 324,213241,即 121324 0.又 , f( f( 0,即 f( f(故函数 y=f(x)在 6上是减函数 .当 x=16 时， y 取得最小值，此时，00(16+16324)+16000=45000(元 )，16200200 x= 综上，当污水处理池的长为 16 米，宽为 时，总造价最低，最低为 45000 元 . f(x)是奇函数，且在 (0,+ )上是增函数， f(x)在 ( ,0)上也是增函数 . 又 f(1)=0, f( 1)= f(1)=0,从而，当