高考数学难点突破_难点38__分类讨论思想

难点 38 分类讨论思想 分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决 于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论 .” 1.（）若函数514121)1(31)( 23 . 2.（）设函数 f(x)= x a +1， x R. (1)判断函数 f(x)的奇偶性； (2)求函数 f(x)的最小值 . 例 1已知 首项为 2，公比为21的等比数列， （ 1）用 n+1; （ 2）是否存在自然数 c和 k，使得 21 cS 命题意图：本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力，属级题目 . 知识依托：解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不 等式；数列的基本性质 . 错解分析：第 2 问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出 223. 技巧与方法：本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型 问的解法时，采取优化结论的策略，并灵活运用分类讨论的思想：即对双参数 k,c 轮流分类讨论，从而获得答案 . 解：（ 1）由 (1得 221)2 11(4 11 S ， (n N*) （ 2）要使 21 cS 要 0)223(因为 4)211(4 212)223( (k N*) 故只要232 c k N*） 因为 (k N*) 所以232232=1. 又 4，故要使成立， 或 3. 当 c=2 时，因为 ，所以当 k=1时， c 而不成立 . 当 k 2 时，因为 25223 2，由 (k N*)得 23223 2 故当 k 2 时，232 c，从而不成立 . 当 c=3 时，因为 ， ， 所以当 k=1， k=2 时， c 因为 413223 3，又23223 2 所以当 k 3 时，232 c，从而成立 . 综上所述，不存在自然数 c,k,使 21 cS 例 2给出定点 A（ a,0)（ a 0）和直线 l： x= 1， B 是直线 角平分线交 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与 命题意图：本题考查动点的轨迹，直线与圆锥曲线的基本知识，分类讨论的思想方法 解法较多，考查推理能力和综合运用解析几何知识解题的能力 级题目 . 知识依托：求动点轨迹的基本方法步骤 曲线、抛物线标准方程的基本特点 . 错解分析：本题易错点为考生不能巧妙借助题意条件，构建动点坐标应满足的关系式和分类讨论轨迹方程表示曲线类型 . 技巧与方法：精心思考，发散思维、多途径、多角度的由题设条件出发，探寻动点应满足的关系式 解法一：依题意，记 B（ 1， b)， (b R），则直线 方程分别为 y=0 和 y= 设点 C(x,y)，则有 0 x a， 由 点 A、 根据点到直线的距离公式得 y =21| 依题设，点 有 )(1 由 x a 0，得ax )1( 将式代入式，得 (1 a)21+a)=0 若 y 0，则 (1 a)21+a)(0 x a) 若 y=0 则 b=0, ，点 0， 0）满足 上式 . 综上，得点 （ 1 a） 21+a)(0 x a) (i)当 a=1 时，轨迹方程化为 y2=x(0 x 1) 此时方程表示抛物线弧段； ( a 1，轨迹方程化为 )0(11)1()1(22222 所以当 0 a 1 时，方程表示椭圆弧段； 当 a 1 时，方程表示双曲线一支的弧段 . 解法二：如图，设 D 是 l 与 x 轴的交点，过点 C 作 E 是垂足 . （ i）当 0 时， 设点 C(x,y)，则 0 x a， y 0 由 )1(| | . 2 C O A 2t a n1 t a t a n ( B O D t a n)t a n ( |)1(| |t a n D )1(|1|22 整理，得 (1 a)21+a)(0 x a) ( =0 时， ，则点 0,0)，满足上式 . 综合 (i)、 (得点 (1 a)21+a)(0 x a) 以下同解法一 . 解法三：设 C(x,y)、 B( 1,b)，则 y= 线 )(1 当 b 0 时， , 直线 k=y=22 12t a n1 t a a n 又 b b=212 )(1 由、消去 b，得 )(1 2)1( 2 又代入，有 )(12)1(22 整理，得 (a 1)(1+a) 当 b=0 时，即 B 点在 C(0,0)满足上式： a 1 时，式变为 11)1()1(22222 a 1 时，表示椭圆弧段； 当 a 1 时，表示双曲线一支的弧段； 当 a=1 时，表示抛物线弧段 . 分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则 如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类 . 如等比数列的前 限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等 . 如排列、组合、概率中较 常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论 . 在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论 . 一、选择题 1.（）已知 122 中 a R，则 ) 0 2 或 a 2 C. 2 a 2 2 或 a 2 2.（）四面体的顶点和各棱的中点共 10 个点，在其中取 4 个不共面的点，不同的取法共有 ( ) 二、填空题 3.（）已知线段 平面 外， A、 B 两点到平面 的距离分别为 1和 3，则线段 的距离为 . 4.（）已知集合 A=x 3x+2=0,B=x a 1)=0， C=x x2=0，且 A B=A， A C=C，则 ， . 三、解答题 5.（）已知集合 A=x x2+px+q=0， B=x =0,A, A B , A B= 2.求 p、 6.（）已知直角坐标平面上点 Q（ 2， 0）和圆 C： x2+，动点 的切线长与 比等于常数 ( 0) 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线 . 7.( )已知函数 y=f(x)的图象是自原点出发的一条折线 .当 n y n+1(n=0,1,2, )时，该图象是斜率为 中 正常数 b 1），设数列 f(n(n=1,2, )定义 . （ 1）求 （ 2）计算 （ 3）求 f(x)的表达式，并写出其定义域 . 8.（）已知 a 0 时，函数 f(x)= 1）当 b 0 时，若对任意 x R 都有 f(x) 1，证明 a 2b; （ 2）当 b 1 时，证明：对任意 x 0,1 , f(x) 1 的充要条件是 b 1 a 2 b ； （ 3）当 0 b 1 时，讨论：对任 意 x 0,1 , f(x) 1 的充要条件 . 参 考 答 案 难点磁场 f(x)=(a 1)x2+1=0 有解 . 当 a 1=0 时，满足 .当 a 1 0 时，只需 =(a 1) 0. 答案：2 522 52 a或 a=1 (1)当 a=0 时，函数 f( x)=( x)2+ x +1=f(x)，此时 f(x)为偶函数 . 当 a 0 时， f(a)=,f( a)= a + a) f(a),f( a) f(a) 此时函数 f(x)既不是奇函数，也不是偶函数 . （ 2）当 x 数 f(x)=x+a+1=(x21)2+a+43若 a21，则函数 f(x)在 ( ,a上单调递减 . 从而函数 f(x)在（ ,a 上的最小值为 f(a)= 若 a21，则函数 f(x)在（ ,a 上的最小值为 f(21)=43+a，且 f(21) f(a). 当 x 数 f(x)=x2+x a+1=(x+21)2 a+43若 a 21，则函数 f(x)在 a,+上的最小值为 f(21)=43 a，且 f(21) f(a)； 若 a 21，则函数 f(x)在 a,+ )单调递增 . 从而函数 f(x)在 a,+上的最小值为 f(a)=. 综上，当 a 21时，函数 f(x)的最小值为43 a； 当 21 a21时，函数 f(x)的最小值是 ； 当 a21时，函数 f(x)的最小值是 a+43. 歼灭难点训练 一、 a=2、 a 2 和 a 2 三种情况分别验证 . 答案： C 取 4 个点共 C 410=210 种取法 1）每个面上有 6 个点，则有 4 0 种取共面的取法；（ 2）相比较 的 4 个中点共 3 种；（ 3）一条棱上的 3 点与对棱的中点共 6 种 . 答案： C 二、 线段 答案： 1 或 2 A=1,2,B=x (x 1)(x 1+a)=0, 由 A B=A 可得 1 a=1 或 1 a=2； 由 A C=C，可知 C=1或 . 答案： 2 或 3 3 或（ 2 2 ， 2 2 ） 三、 A， q=0 的根 . 若 ，则 A= 2,0，从而 p=2,q=0,B=21. 此时 A B= 与已知矛盾，故 0. 将方程 q=0 两边除以 01)1()1(020 即01x 满足 B 中的方程，故01x B. A B = 2,则 2 A,且 2 B . 设 A= 2,则 B=01,21 x ，且 2（否则 A B= ） . 若 21，则01x 2 B,与 2 B 矛盾 . 又由 A B , 1x ，即 1. 即 A= 2,1或 A= 2, 1. 故方程 x2+px+q=0 有两个不相等的实数根 2， 1 或 2， 1 2)1()2(3)12(21)2(1)12( 图，设 于 N，则动点 M 组成的集合是P=M = , 0. =1, 2= 2 2= 2 1 设动点 M 的坐标为 (x,y)， 则 2222 )2(1 即（ 1)(x2+ 4 2x+(4 2+1)=0. 经检验，坐标适合这个方程的点 都属于集合 P，故方程为所求的轨迹方程 . （ 1）当 =1 时，方程为 x=45，它是垂直于 5， 0）的直线； （ 2）当 1 时，方程化为：2222222)1(31)12( 它是以 )0,12( 22 为圆心，|1|3122 为半径的圆 . 1）依题意 f(0)=0，又由 f(1，当 0 y 1，函数 y=f(x)的图象是斜率为 的线段，故由 10 )0()(11 x 又由 f(2，当 1 y 2 时，函数 y=f(x)的图象是斜率为 由 1212 )()(即 x1=+，由函数 y=f(x)图象中第 1，故得 111 )()( f(n,f(1)=n 1 1=(b1)n 1,n=1,2, 由此知数列 1为等比数列，其首项为 1，公比为因 b 1，得 1) =1+ +1)1(1 11 )1( 1 （ 2）由（ 1）知，当 b 1 时，11)1( b 1， n , （ 3）由（ 1）知，当 0 y 1 时， y=x，即当 0 x 1 时， f(x)=x; 当 n y n+1，即 x 由（ 1）可知 f(x)=n+bn(x n=1,2, ),由（ 2）知 当 b 1 时， y=f(x)的定义域为 0,1 当 0 b 1 时， y=f(x)的定义域为 0,+ ). 8.(1)证明：依设，对任意 x R，都有 f(x) 1 )2()(22 )2(2 1 a 0,b 0 a 2 b . （ 2）证明：必要性： 对任意 x 0,1， f(x) 1 1 f(x），据此可以推出 1 f(1) 即 a b 1， a b 1 对任意 x 0,1， f(x) 1 f(x) 1. 因为 b 1，可以推出 f( 1 即 a 1 1， a 2 b , b 1 a 2 b 充分性： 因为 b 1， a b 1，对任意 x 0,1 . 可以推出 b(x x