2015年青海省西宁三校联考高考数学模拟试卷（理）含答案

2015 年青海省西宁三校联考高考数学模拟试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1集合 A=xN|x6， B=xR|3x 0，则 AB=（ ） A 3， 4， 5 B 4， 5， 6 C x|3 x6 D x|3x 6 2复数 为纯虚数，则实数 a=（ ） A 2 B C 2 D 3已知 是第二象限角，则 =（ ） A B C D 4某几何体的三视图如图所示，且该几何体 的体积是 ，则正视图中的 x 的值是（ ） A 2 B C D 3 5某学校开设 “蓝天工程博览 课程 ”，组织 6 个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的 6 个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级 选择甲博物馆的方案有（ ） A 种 B 种 C 种 D 种 6对任意非零实数 a、 b，若 ab 的运算原理如图所示，则 ） 1 的值为（ ） A B 1 C D 2 7在 ，三内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，面积为 S，若 S+ b+c） 2，则 于（ ） A B C D 8在 ， ， ， 若 I 为 内心，则 的值为（ ） A 6 B 10 C 12 D 15 9直三棱柱 ，若 0， C=异面直线 ） A 30 B 45 C 60 D 90 10下列四个命题： 从匀速传递的产品生产流 水线上，质检员每隔 10 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样； 将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变； 设随机变量 服从正态分布 N（ 0， 1），若 P（ 1） =p，则 P（ l 0） = p； 在回归直线方程 y=0 0 中，当解释变量 x 每增加 1 个单位时，预报变量 平均增加 单位， 其中正确的命题个数是（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 11如图，已知双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的右顶点为 A， O 为坐标原点，以 A 为圆心的圆与双曲线 C 的某渐近线交于两点 P、 Q，若 0且 =3 ，则双曲线 C 的离心率为（ ） A B C D 12定义域为 R 的偶函数 f（ x）满足对任意 xR，有 f（ x+2） =f（ x） f（ 1），且当 x2， 3时， f（ x）= 22x 18，若函数 y=f（ x） x+1）在（ 0， +）上至少有三个零点，则 a 的 取值范围是（ ） A（ 0， ） B（ 0， ） C（ 0， ） D（ 0， ） 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分 13设 x， y 满足 ，则 z=x+y 的最小值为 14已知 别为 椭圆 =1（ a b 0）的左、右焦点， P 为椭圆上一点，且 直于 x 轴若|2|则该椭圆的离心率为 15设 a= （ 二项式（ a ） 6的展开式的常数项是 16设函数 f（ x）是定义 在（ ， 0）上的可导函数，其导函数为 f（ x），且有 3f（ x） + x） 0，则不等式（ x+2015） 3f（ x+2015） +27f（ 3） 0 的解集是 三、解答题：本大题共 5小题，共计 70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 17已知正项等差数列 前 n 项和为 a1+=63 （ ）求数列 通项公式 （ ）若数列 足 b1= bn=，求数列 的前 n 项和 18某超市从 2014 年甲、乙两种 酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取 100 个，并按 0， 10，（ 10， 20，（ 20， 30，（ 30， 40，（ 40， 50分组，得到频率分布直方图如下： 2设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立 （ ）写出频率分布直方图（甲）中的 a 的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为 ， ，试比较 与 的大小；（只需写出结论） （ ）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于 20 箱且另一个不高于 20 箱的概 率； （ ）设 X 表示在未来 3 天内甲种酸奶的日销售量不高于 20 箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求 X 的数学期望 19如图，在四棱锥 P ， 平面 面 菱形， 0， O 为 E 为 任意一点 （ I）证明：平面 平面 （ 平面 且二面角 B C 的大小为 45，求 值 20已知抛物线 C： p 0）的焦点为 F， A 为 C 上异于原点的任意一点，过点 A 的直线 l 交 C 于另一点 B，交 x 轴的正半轴于点 D，且有 |当点 A 的横坐标为 3 时， 正三角形 （ 1）求 C 的方程； （ 2）若直线 l，且 有且只有一个公共点 E，证明直线 定点，并求出定点坐标 21已知函数 f（ x） =（ a0） （ ）求函数 f（ x）的单调区间； （ ）若 x|f（ x） 0=b， c（ 其中 b c），求 a 的取值范围，并说明 b， c（ 0， 1） 一、选修 4何证明选讲请考生在第 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22如图， 接于直径为 圆 O， 过点 A 作圆 O 的切线交 延长线于点 P， 平分线分别交 圆 O 于点 D、 E，若 0 （ 1）求证： （ 2）求 E 的值 一、选修 4标系与参数方程 23已知曲线 C 的极坐标方 程是 =4极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直 l 的参数方程是 （ t 是参数） （ 1）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （ 2）若直线 l 与曲线 C 相交于 A、 B 两点，且 | ，求直线的倾斜角 的值 一、选修 4等式选讲 24设函数 f（ x） =|x a| （ ）当 a=2，解不等式 f（ x） 4 |x 1|； （ ）若 f（ x） 1 的解集为 x|0x2， + =a（ m 0， n 0）求证： m+2n4 2015 年青海省西宁五中、四中、十四中三校联考高考数学模拟试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1集合 A=xN|x6， B=xR|3x 0，则 AB=（ ） A 3， 4， 5 B 4， 5， 6 C x|3 x6 D x|3x 6 【考点】 交集及其运算 【专题】 计算题 【分析】 根据所给的两个集合，整理两个集合，写出两个集合的最简形式，再求出两个集合的交集 【解答】 解： 集合 A=xN|x6=0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， B=xR|3x 0=xR|x 0 或 x 3 AB=4， 5， 6 故选 B 【点评】 本题考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法化简 A、 B 两个集合，是解题的关键 2复数 为纯虚数，则实数 a=（ ） A 2 B C 2 D 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【专题】 数系的扩充和复数 【分析】 利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出 【解答】 解： 复数 = = 为纯虚数， 2a 1=0， 2+a0， 解得 a= 故选： D 【点评】 本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题 3已知 是第二象限角，则 =（ ） A B C D 【考点】 两角和与差的正切函数 【专题】 三角函数的求值 【分析】 由诱导公式化简可得 ，由平方关系和条件求出 商的关系求出 用两角和的正切函数求出 的值 21cnjy 【解答】 解： 由 得， ， 因为 是第二象限角，所以 = ， 则 = ， 所以 = = = = ， 故选： A 【点评】 本题考查两角和的正切函数，诱导公式，以及同角三角函数的基本关系的应用，注意三角函数值的符号，属于中档题 4某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 ，则正视图中的 x 的值是（ ） A 2 B C D 3 【考点】 由三视图求面积、体积 【专题】 计算题 【分析】 由三 视图可知：原 几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为 1、 2、 2 的直角梯形，一条长为 x 的侧棱垂直于底面据此可求出原几何体的体积 【解答】 解：由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为 1、 2、 2 的直角梯形，一条 长为 x 的侧棱垂直于底面 则体积为 = ，解得 x= 故选： C 【点评】 本题考查了三视图，由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键 5某学校开设 “蓝天工程博 览课程 ”，组 织 6 个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的 6 个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两 个年级选择甲博物馆的方案有（ ） A 种 B 种 C 种 D 种 【考点】 排列、组合及简单计数问题 【专题】 应用题；排列组合 【分析】 确定参观甲博物馆的年级有 种情况，其余年级均有 5 种选择，所以共有 54种情况，根据乘法原理可得结 论 【解答】 解：因为有且只有两个年级选择甲博物馆， 所以参观甲博物馆的年级有 种情况， 其余年级均有 5 种选择，所以共有 54种情况， 根据乘法原理可得 54 种情况， 故选： D 【点评】 本题考查排列组合知识的运用，考查乘法原理，比较基础 6对任意非零实数 a、 b，若 ab 的运算原理如图所示，则 ） 1 的值为（ ） A B 1 C D 2 【考点】 程序框图 【专题】 新定义；图表型；算法和程序框图 【分析】 模拟执行程序框图可得程序的功能是计算并输出分段函数 ab= 的值，由已知比较两数的大小，从而即可得解 【解答】 解：模拟执行程序框图可得程序的功能是计算并输出分段函数 ab= 的值， （ ） 1=3 ） 1= =1 故选： B 【点评】 本题主要考查了程序框图和新定义函数，正确得到程序框图的功能是解题的关键，属于基本知识的考查 7在 ，三内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，面积为 S，若 S+ b+c） 2，则 于（ ） A B C D 【考点】 余弦定理 【专题】 解三角形 【分析】 由 S+ b+c） 2，利用 余弦定理、三角形的面积计算公式可得： =2为4，与 解出即可 【解答】 解： S+ b+c） 2， S=b2+ =2 化为 4， 与 解得 或 1 1 舍去 故选： D 【点评】 本题考查了余弦定理、三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 8在 ， ， ， 若 I 为 内心，则 的值为（ ） A 6 B 10 C 12 D 15 【考点】 平面向量数量积的运算 【专题】 平面向量及应用 【分析】 由题意可得， A= ， ，利用二倍角的余弦公式求得 值用面积法求得三角形的内切圆半径 r，再利用直角三角形中的边角关系求得 值，可得 =| | |值 【解答】 解：由题意可得， A= ， = ， 且 I 为三角形 内角平分线的交点， C， =21，求得 设内切圆的半径为 r，由 S C=6= （ C+r= 12r， 求得 r=1 再根据 = = ， =| | |5 =15， 故选： D 【点评】 本题主要考查直角三角形中的边角关系，二倍角的余弦公式，两个向量的数量积的定义，属于中档题 9直三棱柱 ，若 0， C=异面直线 ） A 30 B 45 C 60 D 90 【考点】 异面直线及其所成的角 【专题】 常规题型 【分析】 延长 D，根据异面直线所成角的定义可知 是异面直线 成的角，而三角形 等边三角形，可求得此角 【解答】 解：延长 D，使得 C，则 是异面直线 又 1B= 则三角形 等边三角形， 0 故选 C 【点评】 本小题主要考查直三棱柱 面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查转化思想，属于基础题 10下列四个命题： 从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每隔 10 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样； 将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变； 设随机变量 服从正态分布 N（ 0， 1），若 P（ 1） =p，则 P（ l 0） = p； 在回归直线方程 y=0 0 中，当解释变量 x 每增加 1 个单位时，预报变量 平均增加 单位， 其中正确的命题个数是（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 【考点】 命题的真假判断与应用 【专题】 概率与统计；简易逻辑 【分析】 这样的抽样是系统抽样，即可判断正误； 利用方差的计算公式及其性质，即可判断正误； 利用正态分布的对称性可得： P（ l 0） = ，即可判断正误； 利用斜率的意义，即可判断正误 【解答】 解： 从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每隔 10 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样，因此不正确； 将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，正确； 设随机变量 服从正态分布 N（ 0， 1），若 P（ 1） =p，则 P（ l 0） = = p，正确； 在回归直线方程 y=0 中，当解释变量 x 每增加 1 个单位时，预报变量 平均增加 单位，正确 其中正确的命题个数是 3 故选： C 【点评】 本题考查了概率统计的有关知识、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于中档题 11如图，已知双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的右顶点为 A， O 为坐标原点，以 A 为圆心的圆与双曲线 C 的某渐近线交于两点 P、 Q，若 0且 =3 ，则双曲线 C 的离心率为（ ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【专题】 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程 【分析】 确定 等边三角形，设 R，则 ，利用勾股定理，结合余弦定理，即可得出结论 【解答】 解：因为 0且 =3 ， 所以 等边三角形， 设 R，则 ， 渐近线方程为 y= x， A（ a， 0），取 中点 M，则 由勾股定理可得（ 2R） 2 ） 2， 所以（ 2=3a2+ 在 ， = ，所以 7R2=结合 c2=a2+得 = 故选： B 【点评】 本题考查双曲线的性质，考查余弦定理、勾股定理，考查学生的计算能力，属于中档题 12定义域为 R 的偶函数 f（ x）满足 对任意 xR，有 f（ x+2） =f（ x） f（ 1），且当 x2， 3时， f（ x）= 22x 18，若函数 y=f（ x） x+1）在（ 0， +）上至少有三个零点，则 a 的取值范围是（ ） A（ 0， ） B（ 0， ） C（ 0， ） D（ 0， ） 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【专题】 计算题；作图题；函数的性质及应用 【分析】 由题意可判断函数 f（ x）是定义 在 R 上的，周期为 2 的偶函数，令 g（ x） =x+1），画出 f（ x）与 g（ x）在 0， +）的部分图象如下图，将 y=f（ x） x+1）在（ 0， +）上至少有三个零点可化为 f（ x）与 g（ x）的图象在（ 0， +）上至少有三个交点，从而解出 a 的取值范围 【解答】 解： f（ x+2） =f（ x） f（ 1）， 令 x= 1，则 f（ 1） =f（ 1） f（ 1）， f（ x）是定义在 R 上的偶函数， f（ 1） =0 f（ x） =f（ x+2）， 则函数 f（ x）是定义在 R 上的，周期为 2 的偶函数， 又 当 x2， 3时， f（ x） = 22x 18， 令 g（ x） =x+1），则 f（ x）与 g（ x）在 0， +）的部分图象如下图 y=f（ x） x+1）在（ 0， +）上至少有三个零点可化为 f（ x）与 g（ x）的图象在（ 0， +）上至少有三个交点， g（ x）在（ 0， +）上单调递减， 则 ， 解得： 0 a ， 故选 A 【点评】 本题考查了数形结合的思想，同时考查了学生的作图能力与转化能力， 属于基础题 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分 13设 x， y 满足 ，则 z=x+y 的最小值为 2 【考点】 简单线性规划的应用 【专题】 计算题；数形结合 【分析】 本题考查的 知识点是简单 线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件 的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入 z=x+y 中，求出 z=x+y 的最 小值 【解答】 解：满足约束条件 的平面区域如图示： 由图得当过点 B（ 2， 0）时， z=x+y 有最小值 2 故答案为： 2 【点评】 在解决线性规划的小 题时，我们常 用 “角点法 ”，其步骤为： 由约束条件画出可行域 求出可行域各个角点的坐标 将坐标逐一代入目标函数 验证，求出最优解 14已知 别为椭圆 =1（ a b 0）的左、右焦点， P 为椭圆上一点，且 直于 x 轴若|2|则该椭圆的离心率为 【考点】 椭圆的简单性质 【专题】 圆锥曲线的定义、性质与方程 【分析】 利用椭圆的焦距与椭圆的通经相等列出方程，然后求解椭圆的离心率 【解答】 解：由题 意椭圆 =1， P 为椭圆上一点，且 直于 x 轴若 |2|可知： 2c= ，可得 b2= c2+ 即： e=1 解得 e= 故答案为： 【点评】 本题考查椭圆的离心率的求法，椭圆的简单性质的应用，考查计算能力 15设 a= （ 二项式（ a ） 6的展开式的常数项是 160 【考点】 二项式系数的性质；定积分 【专题】 导数的概念及应用；二项式定理 【分析】 求定积分求得 a 的值，然后写出二项展开式的通项，由 x 得指数为 0 求得 r 值，代入通项求得常数项 【解答】 解： a= （ =2 （ a ） 6= 其通项 = 由 3 r=0，得 r=3 二项式（ a ） 6 的展开式的常数项是 故答案为： 160 【点评】 本题考查了定积分，考查了二项式定理，关键是熟练掌握二项展开式的通项，是基础题 16设函数 f（ x）是定义 在（ ， 0）上的可导函数，其导函数为 f（ x），且有 3f（ x） + x） 0，则不等式（ x+2015） 3f（ x+2015） +27f（ 3） 0 的解集是 （ 2018， 2015） 【考点】 函数的单调性与导数的关系 【专题】 函数思想；导数的概念及应用 【分析】 根据题意，构造函 数 g（ x） =x）， x（ ， 0），利用导数判断 g（ x）的单调性， 再把不等式（ x+2015） 3f（ x+2015） +27f（ 3） 0 化为 g（ x+2015） g（ 3）， 利用单调性求出不等式的解集 【解答】 解：根据题意，令 g（ x） =x）， 其导函数为 g（ x） =3x） + x） =f（ x） + x） ， x（ ， 0）时， 3f（ x） + x） 0， g（ x） 0， g（ x）在（ ， 0）上单调递增； 又不等式（ x+2015） 3f（ x+2015） +27f（ 3） 0 可化为 （ x+2015） 3f（ x+2015）（ 3） 3f（ 3）， 即 g（ x+2015） g（ 3）， 0 x+2015 3； 解得 2015 x 2018， 该不等式的解集是为（ 2018， 2015） 故答案为：（ 2018， 2015） 【点评】 本题考查了利用导数研究函数的单调性问题，也考查了利用函数的单调性求不等式的解集的问题，是综合性题目 三、解答题：本大题共 5小题，共计 70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 17已知正项等差数列 前 n 项和为 足 a1+=63 （ ）求数列 通项公式 （ ）若数列 足 b1= bn=，求数列 的前 n 项和 【考点】 数列的求和；等差数列的性质 【专题】 等差数列与等比数列 【分析】 （ ）根据已知条件建立方程组，通过解方程求出首项和公差，进一步求出数列的通项公式 （ ）首先利用叠加法求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求数列的和 【解答】 解：（ ）法一：设正项等差数列 首项为 差为 d， 0 则 ， 得 n+1 法二： 等差数列且 ， ， 又 0 ， d=， an= n 3） d=2n+1 （ ） bn=且 n+1， n+3 当 n2 时， 1） +（ 1 2） +（ +（ 2n+1） +（ 2n 1） +5+3=n（ n+2）， 当 n=1 时， 满足上式， bn=n（ n+2） = 【点评】 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，利用裂项相消 法求数列的和，属于基础题型 18某超市从 2014 年甲 、乙两种酸奶 的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取 100 个，并按 0， 10，（ 10， 20，（ 20， 30，（ 30， 40，（ 40， 50分组，得到频率分布直方图如下： 假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立 （ ）写出频率分布直方图（甲）中的 a 的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为 ， ，试比较 与 的大小；（只需写出结论） （ ）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于 20 箱且另一个不高于 20 箱的概率； （ ）设 X 表示在未来 3 天内甲种酸奶的日销售量不高于 20 箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求 X 的数学期望 【考点】 离散型随机变量及其分布列；频 率分布直方图；离散型随机变量的期望与方差 【专题】 概率与统计 【分析】 （ ）按照题目要求想结果即可 （ ）设事件 A：在未来的某一 天里，甲种酸 奶的销售量不高于 20 箱；事件 B：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于 20 箱；事件 C：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于 20 箱且另一个不高于 20 箱求出 P（ A）， P（ B）， P（ C） （ ） X 的可能取值为 0， 1， 2， 3，求出概率，得到分布列，然后求解期望 【解答】 （共 13 分） 解：（ ） a= （ ）设事件 A：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于 20 箱； 事件 B：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于 20 箱； 事件 C：在未来的某一天里，甲、乙 两种酸奶的销 售量恰好一个高于 20 箱且另一个不高于 20 箱则 P（ A）=P（ B） = 所以 （ ）由题意可 知， X 的可能取值为 0， 1， 2， 3 P（ X=0） = P（ X=1） = P（ X=2） = P（ X=3） = 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以 X 的数学期望 【点评】 本题考查离散型随机变量的分布列期望的求法，独立 重复试验概率的求法，考查计算能力 19如图，在四棱锥 P ， 平面 面 菱形， 0， O 为 E 为 任意一点 （ I）证明：平面 平面 （ 平面 且二面角 B C 的大小为 45，求 值 【考点】 用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法 【专题】 计算题；证明题；空间角；空间向量及应用 【分析】 （ I）根据 平面 到 合菱形 用线面垂直判定定理，可得 平面 而得到 平面 平面 （ 接 线面 平行的性质定 理得到 而在 得到 E 为 中点由 面到 面 证出平面 平面 而得到 平面 以 点 O 作 点 F，连接 出 二面角平面角的定义得 二面角 B C 的平面角，即 5分别在 利用等积关系的三角函数定义，算出 ，由此即可得到 值 【解答】 解：（ I） 平面 面 菱形 ， D=D 平面 面 面 平面 （ 接 平面 面 面 E， 面 合 O 为 中点， 可得 E 为 中点 平面 平面 又 面 平面 平面 平面 面 C， 面 平面 得 点 O 作 点 F，连接 平面 的相交直线， 平面 得 此， 二面角 B C 的平面角，即 5 设 D=a，则 a， a， 在 ， ，可得 利用等积关系，可得 E=E 即 aa ，解之得 ，可得 ： 2 即 值为 【点评】 题给出一个特殊四棱 锥，要我们证 明面面垂直，并在已知二面角大小的情况下求线段的比值，着重考查了空间垂直位置关系的判断与证明和二面 角平面角的求法等知识，属于中档题 20已知抛物线 C： p 0）的焦点为 F， A 为 C 上异于原点的任意一点，过点 A 的直线 l 交 C 于另一点 B，交 x 轴的正半轴于点 D，且有 |当点 A 的横坐标为 3 时， 正三角形 （ 1）求 C 的方程； （ 2）若直线 l，且 有且只有一个公共点 E，证明直线 定点，并求出定点坐标 【考点】 抛物线的简单性质 【专题】 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程 【分析】 （ 1）根据抛物线的焦半径公式，结合等边三角形的性质，求出的 p 值； （ 2）设出点 A 的坐标， 求出直线 方程，利用直线 l，且 C 有且只有一个公共点 E，求出点 出直线 方程，将方程化为点斜式，可求出定点 【解答】 解：（ 1）由题意知 F（ ， 0），设 D（ t， 0）（ t 0），则 中点为（ ， 0）， 因为 |由抛物线的定义知： 3+ =|t |，解得 t=3+p 或 t= 3（舍去） 由 =3，解得 p=2所以抛物线 C 的方程为 C 的方程为 x （ 2）由（ 1）知 F（ 1， 0）， 设 A（ |， D（ ， 0），故直线 斜率为 ， 因为直线 直线 行，设直线 y= x+b， 代入抛物线方程得 y =0， 由题意 =0，得 b= 设 E（ 则 ， 当 时， ， 可得直线 方程为 y （ x 由 理可得 y= （ x 1），直线 过点 F（ 1， 0）， 当 时，直线 方程为 x=1，过点 F（ 1， 0），所以直线 定点 F（ 1， 0） 【点评】 本题考查了抛物线的定义的应用、标准方程求法，定点问题，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题 21已知函数 f（ x） =（ a0） （ ）求函数 f（ x）的单调区间； （ ）若 x|f（ x） 0=b， c（其中 b c），求 a 的取值范围，并说明 b， c（ 0， 1） 【考点】 利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用 【专题】 导数的综合应用 【分析】 （ ）求出函数的导数，通过 a 的范围，判断导函数的符号，即可求函数 f（ x）的单调区间； （ ）利用（ ），直接求 解 a e 当 a e 时构造函数 g（ x） =x 2xe），求出导数，当 x e 时，推出 然后求解 范围，即可说明 b， c（ 0， 1） 【解答】 （共 13 分） 解：（ ） （ ）当 a 0 时， f（ x） 0，则函数 f（ x）的单调递减区间是（ 0， +） （ ）当 a 0 时，令 f（ x） =0，得 当 x 变化时， f（ x）， f（ x）的变化情况如下表 x f（ x） 0 + f（ x） 极小值 所以 f（ x）的单调递减区间是 ，单调递增区间是 （ ）由（ ）知： 当 a 0 时，函数 f（ x）在区间（ 0， +）内是减函数， 所以，函数 f（ x）至多存在一个零点，不符合题意 当 a 0 时，因为 f（ x）在 内是减函数，在 内是增函数， 所以 要使 x|f（ x） 0=b， c，必须 ，即 所以 a e 当 a e 时， 令 g（ x） =x 2xe），则 当 x e 时 ， g（ x） 0，所以， g（ x）在 e， +）上是增函数 所以 当 a e 时， g（ a） =a 2g（ e） =e 2 0 所以 因为 ， ， f（ 1） =1 0， 所以 f（ x）在 内存在一个零点，不妨记为 b，在 内存在一个零点，不妨记 为 c 因为 f（ x）在 内是减函数，在 内是增函数， 所以 x|f（ x） 0=b， c 综上所述， a 的取值范围是（ e， +） 因为 ， ， 所以 b， c（ 0， 1） 【点评】 本题考查函数的导数判断函数的单调性，函数的最值的求法，考查分类讨论以及分析问题解决问题的能力 一、选修 4何证明选讲请考生在第 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22如图， 接于 直径为 圆 O，过点 A 作圆 O 的切线交 延长线于点 P， 平分线分别交 圆 O 于点 D、 E，若 0 （ 1）求证： （ 2）求 E 的值 【考点】 相似三角形的判定 【专题】 推理和证明 【分析】 （ 1） 通过证明 后证明 （ 2）利用切割线定理以及相交弦定理直接求 E 的值 【解答】 解：（ 1） 圆 O 的切线 P 是公共角 （ 2）由切割线定理得： B0 又 5 又 平分线 0， 又由相交弦定理得： E=B=50 【点评】 本