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第二章直电路的流分析方法 2 1电阻串并联及其等效变换 2 3支路电流法 2 2基尔霍夫定律 2 4电压源与电流源模型的等效变换 2 5叠加原理 2 6戴维南定理 阅读材料3 受控源 阅读材料2节点电压法 电路分析 在已知电路结构与元件参数的情况下 研究电路激励与响应之间的关系称为电路分析 激励 推动电路工作的电源的电压或电流称为激励 响应 由于电源或信号源的激励作用 在电路中产生的电压与电流称为响应 二端网络 单口网络 电路分析时 往往把一组元件当作一个整体来分析 若该组元件只有两个端钮与外部电路相连 并且进出这两个端钮的电流相等 则这组元件构成的整体称为二端网络或单口网络 二端网络的符号如图2 1所示 无源二端网络 如果二端网络的内部不含电源元件 则称为无源二端网络 有源二端网络 如果二端网络的内部含有电源元件 则称为有源二端网络 等效二端网络 若两个二端网络N1 N2具有相同的外特性 则这样的两个网络是等效二端网络 如图2 1 a 所示 等效变换 内部电路结构不同的两个二端网络N1和N2 分别接在含有电源的同一电路的a b两端时 若得到的端电压和电流完全相同 则N1和N2具有相同的伏安关系 这两个二端网络对外电路等效 可进行等效变换 等效电阻 无源二端网络N0在关联参考方向下 其端口电压与端口电流的比值称为该网络的等效电阻或输入电阻 常用Ri表示 图2 1 b 中无源二端网络的输入电阻 2 1电阻串并联及其等效变换 在电路中 几个电阻依次首尾相接并且中间没有分支的连接方式称为电阻的串联 2 1 1电阻的串联 图2 2电阻串联的等效电路图2 3串联电阻的分压作用 电阻串联分压的特点 各电阻分得的电压均小于总电压U 各电阻分得的电压与电阻的阻值大小成正比 各电阻消耗的功率与电阻的阻值大小成正比 等效电阻消耗的功率等于各个串联电阻消耗的功率之和 1 电阻的串联 特点 1 各电阻一个接一个地顺序相联 两电阻串联时的分压公式 R R1 R2 3 等效电阻等于各电阻之和 4 串联电阻上电压的分配与电阻成正比 2 各电阻中通过同一电流 应用 降压 限流 调节电压等 例2 1如图2 4所示 用一个满刻度偏转电流为50 A 电阻Rg为2千欧的表头制成100V量程的直流电压表 应串联多大的附加电阻Rf 解 满刻度时表头电压为 附加电阻Rf承担的电压为 解得 图2 5电阻并联的等效电路图2 6并联电阻的分流作用 2 1 2电阻的并联 几个电阻元件接在电路中相同的两点之间 这种连接方式叫做电阻并联 电阻并联分流的特点如下 各电阻分得的电流均小于总电流I 各电阻分得的电流与电阻的阻值大小成反比 各电阻消耗的功率与电阻的阻值大小成反比 等效电阻消耗的功率等于各个并联电阻消耗的功率之和 2 电阻的并联 两电阻并联时的分流公式 3 等效电阻的倒数等于各电阻倒数之和 4 并联电阻上电流的分配与电阻成反比 特点 1 各电阻联接在两个公共的结点之间 2 各电阻两端的电压相同 应用 分流 调节电流等 例2 2如图2 7所示 用一个满刻度偏转电流为50 A 电阻为Rg2k 的表头制成量程为50mA的直流电流表 应并联多大的分流电阻Rf 解 由题意可知 2 1 3电阻的混联 既有电阻串联又有电阻并联的电路称为电阻混联电路 1 混联电路等效电阻的计算步骤 在电路中各电阻连接点上标注一个字母 注意 等电位点用同一字母标出 将各字母按顺序在水平方向排列 待求电路两端的字母放在相应位置 把各电阻填在对应的两个字母之间 根据电阻串 并联的定义依次求出等效电阻 2 简单电路的计算步骤 求等效电阻 计算出总电压 或总电流 用分压 分流公式逐步计算出化简前原电路中各电阻的电流 电压 例2 3进行电工实验时 常用滑线变阻器接成分压器电路来调节负载电阻上电压的高低 图2 8中R1和R2是滑线变阻器分成的两部分电阻 RL是负载电阻 已知滑线变阻器的额定值是100 3A 端钮a b上的输入电压U 220V RL 50 试问 1 当R2 50 时 输出电压U2是多少 2 当R2 75 时 输出电压U2是多少 滑线变阻器能否安全工作 2 1 4电阻星形连接 三角形连接及其等效变换 无源三端网络 具有3个引出端且内部无任何电源 独立源与受控源 的电路 图2 11所示为星形连接的无源三端网络 图2 12所示为三角形连接的无源三端网络 这两种无源三端网络在满足一定条件时可进行等效变换 1 电阻星形和三角形连接的特点 电阻星形连接 3个电阻的一端联接在一个结点上 呈放射状 如图2 11所示 图2 11电阻星形连接的无源三端网络 图2 12电阻三角型连接的无源三端网络 电阻星形连接 3个电阻依次首尾相接 呈环状 如图2 12所示 2 电阻星形和三角形变换图 图2 13电阻星形连接和三角形连接变换图 3 等效变换的条件 变换前后 对于外部电路而言 流入 出 对应端子的电流以及各端子之间的电压必须完全相同 4 等效变换关系 2 已知三角形连接的电阻 求等效星形电阻 公式特征 看下角标 分子为两相关电阻的积 分母为3个电阻的和 特殊情况 当三角形 星形 连接的3个电阻阻值都相等时 变换后的3个阻值也应相等 1 已知星形连接的电阻 求等效三角形连接的电阻 例2 6无源两端网络如图2 14所示 求A B两端的等效电阻 解 图2 14中 a b c 图经过星 三角等效变换 可得到图2 14 d e f 所示的对应电路 其中 2 2基尔霍夫定律 2 2 1几个有关的电路名词 1 支路 图2 20所示电路中 通过同一电流的每个分支称为支路 每一支路上通过的电流称为支路电流 如图2 20所示电路中的I1 I2 I3均为支路电流 2 节点 3条或3条以上支路的连接点称为节点 图2 20所示电路中的节点a和节点b 3 回路 电路中任意一个闭合路径称为回路 如图2 20所示电路中的回路I 回路II及构成的大回路III 4 网孔 不能再分的回路称为网孔 即不包含其他支路的单一闭合路径 如图2 20所示电路中的回路I 回路II即为网孔 大回路III不是网孔 因为它还能分成两个小回路I II 图2 20所示电路有3条支路 2个节点 3个回路 2个网孔 2 2 2基尔霍夫电流定律 KCL 1 基尔霍夫电流定律内容在任一瞬时 流入任意一个节点的电流之和必定等于从该节点流出的电流之和 所有电流均为正 即 若规定流入节点的电流为正 流出节点的电流为负 则 2 推广应用KCL也适用于包围几个节点的闭合面 如图2 21所示 其中的虚线圈内可看成一个封闭面 3 基尔霍夫第一定律 KCL 基尔霍夫定律包括结点电流定律和回路电压两个定律 是一般电路必须遵循的普遍规律 它指出 任一时刻 流入任一结点的电流的代数和恒等于零 数学表达式 a I1 I2 I3 I4 0 若以指向结点的电流为正 背离结点的电流为负 则根据KCL 对结点a可以写出 求左图示电路中电流i1 i2 整理为 i1 i3 i2 i4 可列出KCL i1 i2 i3 i4 0 i1 i2 10 12 0 i2 1A 4 7 i1 0 i1 3A 其中i1得负值 说明它的实际方向与参考方向相反 基氏电流定律的推广 I I1 I2 I3 I 0 广义节点 电流定律还可以扩展到电路的任意封闭面 广义节点 2 2 3基尔霍夫电压定律 KVL 1 定律内容 1 任何时刻沿着任一个回路绕行一周 各电路元件上电压降的代数和恒等于零 即 2 若电路中只包含线性电阻和电压源 则回路中所有电阻上电压降的代数和恒等于回路中电压源电压的代数和 即 电流参考方向与回路绕行方向一致时IR前取正号 相反时取负号 电压源电压的方向与回路绕行方向一致时E前取负号 相反时取正号 电压参考方向与回路绕行方向一致时取正号 相反时取负号 4 基尔霍夫第二定律 KVL 基尔霍夫电压定律是用来确定回路中各段电压之间关系的电压定律 回路电压定律依据 电位的单值性原理 它指出 任一瞬间 沿任一回路参考绕行方向 回路中各段电压的代数和恒等于零 数学表达式为 U 0 然后根据 U 0 得 U1 US1 U2 U3 U4 US4 0 R1I1 US1 R2I2 R3I3 R4I4 US4 0 R1I1 R2I2 R3I3 R4I4 US1 US4 电阻压降 可得KVL另一形式 IR US 电源压升 先标绕行方向 根据 U 0对回路 1列KVL方程 电阻压降 电源压升 即电阻压降等于电源压升 此方程式不独立 省略 对回路 2列KVL常用形式 对回路 3列KVL方程 1方程式也可用常用形式 KVL方程式的常用形式 是把变量和已知量区分放在方程式两边 显然给解题带来一定方便 图示电路KVL独立方程为 KVL推广应用于假想的闭合回路 或写作 对假想回路列KVL UA UB UAB 0 UAB UA UB US IR U 0 U US IR 对假想回路列KVL 或写作 KVL也可推广应用到任一不闭合的电路上 例 列出下图的KVL方程 解 由KCL得出 对回路 由KVL得出 例2 7如图2 26所示电路中 已知 求 2 3支路电流法 支路电流法 是以支路电流为未知量 直接应用KCL和KVL 分别对节点和回路列出所需的方程式 然后联立求解出各未知电流的方法 一个具有b条支路 n个节点的电路 根据KCL可列出 n 1 个独立的节点电流方程式 根据KVL可列出b n 1 个独立的回路电压方程式 例2 8电路如图2 35所示 已知 计算各支路电流 解 电路有2个节点 3条支路 3个回路 2个网孔 3个支路电流是待求量 1 列CL方程 假定各支路电流I1 I2 I3及参考方向如图2 33所示 根据2个节点 可列出2 1 1个独立的KCL方程 节点a有 2 列KVL方程根据2个网孔 可列出3 2 1 2个独立的KVL方程 3 解联合方程组求得 2 4电压源与电流源模型的等效变换 一个实际电源的作用既可以用电压源模型表示 也可以用电流源模型表示 这两种电源模型在其二端口的伏安关系完全相等时可以进行等效变换 2 4 1等效的意义 下图所示电压源和电流源外接任何同样的负载 这两个电源都为该负载提供相同的电压和相同的电流 即 对负载来说 该电压源和电流源是相互等效的 它们之间可以进行等效变换 2 4 2等效变换的条件 由图2 40 a 得 由图2 40 b 得 推导得 等效变换后两种电源模型的内阻相等 并且电压源与电流源方向相同 即 例2 9用电源模型等效变换的方法求图2 41 a 所示电路的电流I1和I2 解 先将图2 41 a 中的电压源变换为电流源 如图2 41 b 所示 将图2 41 b 中的两个电流源合并后等效变换为图2 41 c 如图2 41 a 所示 由KCL得出 由图2 41 c 所示 由分流公式得出 例2 10将图2 42所示电路等效化简为电压源模型 解 该电路包含3个电源 最后的结果要求变换为电压源 分析图2 42 a 可知 应先把左侧的两个电源想法变成与右侧电压源串联的形式 先把最左侧的6V电压源与6 电阻的串联组合变为电流源 与其右侧的电流源合并 整个电路的化简过程如图2 42所示 2 4 3电源等效化简和变换的注意事项 1 理想电源 即恒压源和恒流源 不能进行等效变换 恒压源输出电压恒定 恒流源没有这样的性质 同样 恒流源输出电流恒定 恒压源也没有这样的性质 因此二者不能进行等效变换 2 与恒压源并联的电阻 恒流源等对二端口以外的电路来说不起作用 故从对外部电路等效来说 内部与恒压源并联的支路可以断开 如图2 43所示 3 与恒流源串联的电阻 恒压源等对两端口以外的电路来说不起作用 故从对外部电路等效来说 内部与恒流源串联的电阻 恒压源等可以将其两端短路 如图2 44所示 图2 43与恒压源并联支路的化简 图2 44与恒流源串联元件的化简 2 5叠加原理 2 5 1叠加原理 1 叠加原理的内容对于线性电路 任何一条支路的电流或任意两点间的电压都可以看成是由电路中的各个独立源单独作用时 在该支路所产生的电流或该两点间所产生电压的代数和 2 独立源置零处理每个独立源单独作用时 应将其他独立源置零 而其内阻保留在原电路中不变 电压源置零 E 0 相当于短路 用一根导线将 两端短接 电流源置零 IS 0 相当于电流源两端开路 在多个电源同时作用的线性电路中 任何支路的电流或任意两点间的电压 都是各个电源单独作用时所得结果的代数和 叠加定理 内容 计算功率时不能应用叠加原理 当恒流源不作用时应视为开路 当恒压源不作用时应视为短路 7 2V电源单独作用时 用叠加原理求下图所示电路中的I2 根据叠加原理 I2 I2 I2 1 1 0 12V电源单独作用时 用叠加定理求 I I I I 2 1 1A 恒流源不起作用 或 令其等于0 即是将此恒流源去掉 使原恒流源处开路 20V电压源单独作用时 4A电流源单独作用时 3 叠加原理的图形说明 图2 49 a 中已标出各支路电流的参考方向 各电压源单独作用时的电路如图2 49 b c 所示 对于图2 49 a 电路中的各电流 应用叠加原理可分别由下列各式求出 2 5 2用叠加原理求解的步骤 例2 11如图2 50 a 所示 已知恒压源E 10V 恒流源IS 5A 试用叠加原理求流过R2 4欧上的电流及其两端的电压UR2 解 假定待求支路电流I及电压UR2的参考方向如图2 50 a 所示 各电源单独作用时待求支路的电流分量及电压分量 设电压源单独作用 令5A电流源不起作用 即等效为开路 此时电路如图2 50 b 所示 设电流源单独作用 令10V电压源不起作用 即等效为短路 此时电路如图2 50 c 所示 将各电流分量及电压分量进行叠加 求出原电路中的电流和电压 叠加原则 当各分量电流或电压与原电路中的电流或电压参考方向相同时取正 相反时取负 电阻实际消耗的功率为 故功率不能用叠加原理计算 应用叠加定理要注意以下问题 叠加定理只适用于线性电路 对非线性电路不适用 应用叠加定理对电路进行分析 可以看出各个电源对电路的影响 尤其是交 直流共同存在的电路 不起作用的电压源置零 即仅将恒压源两端短接 保留其内阻 不起作用的电流源置零 仅将恒流源两端开路 保留其内阻 叠加时各个响应分量是求代数和 即响应分量与总响应参考方向一致时取正号 相反时取负号 叠加定理只能用于电流或电压的计算 因为功率不是电压或电流的一次函数 所以不能用叠加定理计算功率 2 6戴维南定理 2 6 1戴维南定理 1 戴维南定理的内容对于外部电路来说 任何一个线性有源二端网络都可以用一个等效电压源模型来代替 等效电压源的电动势等于该线性有源二端网络的开路电压UOC其内阻R0等于将该有源二端网络变成无源两端网络后的等效输入电阻 2 戴维南定理的图形描述 如图2 55 a 所示 对外电路 如负载 来说 有源二端网络N可用等效电压源 恒压源E和内阻R0串联支路 来代替 如图2 55 b 所示 有源二端网络N与外电路 负载RL 断开 求出开路电压UOC如图2 55 c 所示 则等效电压源的电动势E UOC 将有源二端网络N中的恒压源短路 恒流源开路 可获得图2 55 d 所示的无源两端网络 由此可求出等效电压源的内阻R0 无源二端网络 二端网络中没有电源 有源二端网络 二端网络中含有电源 戴维南定理中的 等效代替 是指对端口以外的部分 等效 即对相同外接负载而言 端口电压和流出端口的电流在等效前后保持不变 注意 例2 12用戴维南定理求图2 56 a 所示电路中的电流I 解 首先将电路分成有源二端网络和待求支路两部分 如图2 56 a 所示电路中 虚线框内为有源二端网络 3欧电阻为待求电流支路 然后断开待求支路 求有源二端网络的开路电压UOC 接着求有源二端网络除源后的等效电阻R0 最后将有源二端网络用一个等效电压源代替 画出其等效电路图 接上待求支路 求出待求支路的电流 或电压或功率 例1 电路如图 已知Us1 40V Us2 20V R1 R2 4 R3 13 试用戴维宁定理求电流I3 a b 注意 等效 是指对端口外等效 即用等效电源替代原来的二端网络后 待求支路的电压 电流不变 解 1 断开待求支路求等效电源的电动势Us 例1 电路如图 已知Us1 40V Us2 20V R1 R2 4 R3 13 试用戴维宁定理求电流I3 Us U0 Us2 IR2 20V 2 5 4V 30V 或 Us U0 Us1 IR1 40V 2 5 4V 30V 解 2 求等效电源的内阻R0除去所有电源 理想电压源短路 理想电流源开路 例1 电路如图 已知Us1 40V Us2 20V R1 R2 4 R3 13 试用戴维宁定理求电流I3 从a b两端看进去 R1和R2并联 求内阻R0时 关键要弄清从a b两端看进去时各电阻之间的串并联关系 解 3 画出等效电路求电流I3 例1 电路如图 已知Us1 40V Us2 20V R1 R2 4 R3 13 试用戴维宁定理求电流I3 Ri 3 将待求支路接入等效电路 2 求等效电阻 1 求开路电压 例求R分别为3 8 18 时R支路的电流 解 a b R 3 R 8 R 18 总结 解题步骤 1 断开待求支路2 计算开路电压Uoc3 计算等效电阻Ri4 接入待求支路求解 已知 R1 20 R2 30 R3 30 R4 20 U 10V求 当R5 16 时 I5 等效电路 US UOC 先求等效电源US及R0 求 戴维南等效电路 解 R0 RAB 再求输入电阻RAB 恒压源被短接后 C D成为一点 电阻R1和R2 R3和R4分别并联后相串联 即 R0 RAB 20 30 30 20 12 12 24 得原电路的戴维南等效电路 由全电路欧姆定律可得 例求R为何值时 电阻R从电路中吸取的功率最大 该最大功率是多少 解 开路电压 入端电阻 当R等于电源内阻时 R获得最大功率 R吸收的功率 检验学习结果 什么是二端网络 有源二端网络 无源二端网络 戴维南定理适用于哪些电路的分析和计算 是否对所有的电路都适用 应用戴维南定理求解电路的过程中 电压源 电流源如何处理 如何求解戴维南等效电路的电压源及内阻 定理的实质是什么 阅读材料2节点电压法 一 节点电压法 电路中任一节点与参考点之间的电压称为节点电压 所谓节点电压法 就是在电路的n个节点中 选定一个节点作为参考点 再以其余各节点电压为待求量 利用基尔霍夫定律列出 n 1 个节点电流方程式 进而求解电路响应的方法 结点数较少而支路数较多的电路 如有2个节点 多条支路的电路 计算支路电流时 使用支路电流法比较繁琐 利用节点电压法会比较方便 图 a 所示电路中有4条支路 2个节点 若用支路电流法求解需列4个方程 使用节点电压法只需列一个方程 设以电路中的节点b为参考点 则a点的节点电压就是节点a与节点b两点间的电压 用Ua表示 对图 a 中的节点a应用KCL得到 为了简化电路 图 a 常画成