初中二次函数的解题方法

11 111 1 班班 沈阳沈阳 1414 号号 初中二次函数的解题方法初中二次函数的解题方法 首先回顾一下初中二次函数的重要性质和基本表达式 一般式一般式 y ax x2 2 bx c a 0 a b c 为常数 顶点 坐标为 b 2a 4ac b 4a 顶点式顶点式 y a x h k a 0 a h k 为常数 顶点坐 标为 h k 对称轴为 x h 顶点的位置特征和图像的开口 方向与函数 y ax 的图像相同 有时题目会指出让你用 配方法把一般式化成顶点式 交点式交点式 y a x x1 x x2 a 0 仅限于与 x 轴即 y 0 有交点 A x1 0 和 B x2 0 的抛物线 即 b 2 4ac 0 由一般式变为交点式的步骤 X1 x2 b a x1 x2 c a y ax bx c a x b ax c a a x x1 x2 x x1x2 a x x1 x x2 重要概念重要概念 1 二次函数图像是轴对称图形 对称轴为直线 x h 或者 x b 2a 对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次 函数图像的顶点 P 特别地 当 h 0 时 二次函数图像 的对称轴是 y 轴 即直线 x 0 a b 同号 对称轴在 y 轴 左 b 0 对称轴是 y 轴 a b 异号 对称轴在 y 轴右侧 2 二次函数图像有一个顶点 P 坐标为 P h k 当 h 0 时 P 在 y 轴上 当 k 0 时 P 在 x 轴上 h b 2a k 4ac b2 4a 3 二次项系数 a 决定二次函数图像的开口方向和大 小 当 a 0 时 二次函数图像向上开口 当 a0 设抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x1 x2 即 x1 x2为方程ax2 bx c 0 的两个根 由题设x1x2 0 知 0 所 a c 以c0 故b 0 故选 A a b 2 例例 2 2 已知二次函数f x ax2 bx c的系数a b c都是整 数 并且f 19 f 99 1999 c 1000 则c 解 解 由已知f x ax2 bx c 且f 19 f 99 1999 因此可 设f x a x 19 x 99 1999 所以ax2 bx c a x 19 x 99 1999 ax2 19 99 x 19 99a 1999 故c 1999 1881a 因为 c 1000 a是整数 a 0 经检验 只有a 1 满足 此时c 1999 1881 118 例例 3 3 已知a b c是正整数 且抛物线y ax2 bx c与x轴 有两个不同的交点 A B 若 A B 到原点的距离都小于 1 求 a b c的最小值 解 设 A B 的坐标分别为 A x1 0 B x2 0 且x1 x2 则x1 x2是方程ax2 bx c 0 的两个根 x1 0 x20 b 2 ac OA x1 1 OB x2 1 即 1 x1 x2 0 x1x2 1 c0 a 1 2 b 1 c 0 即a c b b a c都是整数 a c b 1 由 得a c 2 1 2 1 又由 知 acca 1 1 即a 1 2 1 2 4ca ca c1 a 5 又b 2 2 4 b 5ac15 取a 5 b 5 c 1 时 抛物线y 5x2 5x 1 满足题意 故a b c的最小值为 5 5 1 11 例例 4 4 如果y x2 k 1 x k 1 与x轴的交点为 A B 顶点为 C 那么 ABC 的面积的最小值是 A 1 B 2 C 3 D 4 解 由于 k 1 2 4 k 1 k 1 2 4 0 所以对于任意实 数k 抛物线与x轴总有两个交点 设两交点的横坐标分别为 x1 x2 则 AB 524 2 21 2 21 2 21 kkxxxxxx 又抛物线的顶点c坐标是 4 52 2 1 2 kkk 因此 S ABC 52 2 1 2 kk 32 2 52 8 1 4 52 kk kk 因为k2 2k 5 k 1 2 4 4 当k 1 时等于成立 所以 S ABC 故选 A 14 8 1 3 例例 5 5 已知二次函数y x2 x 2 及实数a 2 求 1 函数在 2 x a的最小值 2 函数在a x a 2 的最小值 解 函数y x2 x 2 的图象如图 1 所示 1 若 2 a 2 1 当x a时 y最小值 a2 a 2 若a 当x 时 y最小值 2 1 2 1 4 9 2 若 2 a且a 2 即 2 a 当x a 2 时 y最小值 2 1 2 3 a 2 2 a 2 2 a2 3a 若a a 2 即 a 当x 2 1 2 3 2 1 时 y最小值 2 1 4 9 若a 当x a时 y最小值 a2 a 2 2 1 例例 6 6 当 x 1 6 时 函数y x x 2x 1 的最大值是 2 1120 x y 4 9 2 1 图 1 解 由 x 1 6 得 7 x 5 当 0 x 5 时 y x2 2x 1 x 1 2 此时y最大值 5 1 2 16 当 7 x0 1 设与 x 轴交点分别为 x1 x2 则 x1 x2 k 2 0 2 x1 x2 k 5 0 3 解得 5 k 4 选 B 例例 8 已知二次函数 y x bx c 的图像经过点 1 0 1 2 当 y 随 x 的增大而增大时 x 的取值范围是 3 4 解析 把点 1 0 1 2 代入二次函数数 可解得 b 3 2 函数的对称轴为 x 3 2 2 3 4 a 1 0 函数开口向上 单调递增区间是 3 4 例例 9 二次函数 y ax 2 bx c 当 x 取整数时 y 值也是整数 这样 的二次函数叫作整点二次函数 请问是否存在 a 的绝对值小于 0 5 的整点二次函数 若存在请写出一个 若不存在请说明理 由 解答 解答 方法 1 反证法 假设存在二次项系数 a 的绝对值 小于 0 5 的整点二次函数 a 0 则当 x 0 时 y c 即 c 为整数 同理 当 x 1 时 y a b c m x 1 时 y a b c n 其中 m n 都应为整数 两式相加 2a 2c m n 推知 2a 也应为整数 而 a 0 5 即 2a 1 矛盾 所以不存在 a 的绝对值小于 0 5 的整点二次函数 方法 2 x 0 时 y c 是整数 x 1 时 y a b c 是整数 x 1 时 y a b c 是整数 a b c a b c 2a 2c 是整数 而 2c 是整数 例例 10 已知 y x x 12 的图象与 x 轴交于相异两点 A B 另一抛物 线 y ax bx c 过 A B 顶点为 P 且 APB 是等腰直角三角形 求 a b c 解答解答 显然 A B 坐标为 4 0 4 0 y ax bx c 过 A B 所以 b 0 c a 16 P 点坐标为 0 16a 由于 APB 是等腰直角三角形 所以 AB 2 AP 2 BP 2 求出 a 1 4 所以 a 1 4 b 0 c 4 或者 a 1 4 b 0 c 4 例例 11 已知 y x x 12 的图象与 x 轴交于相异两点 A B 另一抛物 线 y ax bx c 过 A B 顶点为 P 且 APB 是等腰直角三角形 求 a b c 解答 显然 A B 坐标为 4 0 4 0 y ax bx c 过 A B 所以 b 0 c a 16 P 点坐标为 0 16a 由于 APB 是等腰直角三角形 所以 AB 2 AP 2 BP 2 求出 a 1 4 所以 a 1 4 b 0 c 4 或者 a 1 4 b 0 c 4 例例 1212 已知a0 且 b 2ac 求acb4 2 b2 4ac的最小值 解解 令y ax2 bx c 由于 a0 则 b2 4ac 0 所以 此二次函数的图像是如 图 2 所示的一条开口向下的抛物线 且与x轴有两个不同的交点 A x1 0 B x2 0 因为x1x2 0 不妨设x1 x2 则x1 0 x2 对称