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独立坐标系统的建立方法与研究【摘要】 坐标系统是所有测量工作的基础，测量工作中坐标系统的选择是一项非常重要的工作，它影响到测量成果的正确性和可靠性以及工程项目能否顺利实施，而且针对不同的测量工作选择恰当的独立坐标系统将会测量工作事半功倍。【关键字】 独立坐标系 高斯投影带 抵偿高程面 新椭球常数 坐标转换 归化高程面目录绪论2第一章 坐标系统的建立 5 11 坐标系统的概述 5 12 长度改正的计算 6第二章建立地方独立坐标系统 16 21建立独立坐标系应注意的问题 16 22建立地方独立坐标系统的方法 21第三章 相邻投影带的坐标换算3231概述 3232换算方法 33 33计算新椭球常数 35第四章 小 结 38第五章 参考文献和后记 39绪 论坐标系统是所有测量工作的基础。所有测量成果都是建立在其之上的，一个工程建设应尽可能地采用一个统一的坐标系统。这样既便于成果通用又不易出错。例如对于一条线路,如果长度变形超出允许的精度范围，我们将建立新的坐标系统加以控制。这就涉及到一个非常关键的问题，既坐标系统的建立与统一。对于不同的情况，我们可以采用适应的方法尽可能建立统一的坐标系统，且使其长度变形在允许范围之内。如果适当选择椭球的半径，使距离归算到这个椭球面上所减小的数值，恰好等于由这个椭球面化算至高斯平面所增加的数值，那么高斯平面的距离同实地距离就一致了。这就是抵偿高程面。对于高低起伏较大线路，在建立坐标系统时，以测区的平均高程为抵偿高程面建立独立坐标系统。在东西长度较大的线路测量将几个独立坐标系统数值统一到一个坐标系统中来，它是通过旋转和平移而得到。在本文中我将讨论如何建立各种坐标系统以及坐标系统之间的关系。由于地球表面高低不平很不规则，以及地层内部密度的不均匀，地球的运动等原因，内外业采用了不同的基准线和基准面，为了便于野外数据的采集与室内的计算，外业通常采用铅垂线为基准线，以大地水准面为基准面。而内业计算时以参考椭球面为基准面，以椭球法线为基准线。因此，使得外业数据与内业计算的不一致。再加上大多数工程中采用的是平面直角坐标系，这就要将椭球面上的长度坐标等数据换算为平面直角坐标系。通常的方法是利用高斯克吕格投影来实现。但是，依据不同的用途和工程项目，应分别采用不同的坐标系来满足工程项目的需要，限制误差。地球是一个椭球体，将椭球面上的大地坐标系转换为平面直角坐标系不可避免的会发生长度变形，测区范围越大，形变就越大。为了限制长度变形，国家控制网通常采用分带的方法，将投影区域限制在中央子午线两旁的狭窄范围之内。我国规范规定：所有国家的大地点均按高斯正形投影计算其在带内的平面直角坐标。在1：1万和更大比例尺测图的地区，还应加算其在带内的直角坐标系。我们通常将这种控制点在带或带内的坐标系称为国家统一坐标。高斯投影分带有效的限制了长度变形，但是在投影带的边缘地区，其长度变形仍然达到了很大的数值，以至不能适合于城市和工程控制测量的应用。各行业测量规范如公路勘测规范、工程测量规范、地籍测量规范等都规定了：投影变形应满足1 km边长不大于2.5 cm变形精度的要求，即投影变形精度应达到1：4万的精度。这样，除了高等级的控制测量以外的绝大多数测量工作就可不加边长投影改正。为了达到城市和工程建设的要求，就必须对长度变形加以限制，这就要考虑化算至椭球面的改正和投影至高斯平面的改正。一般情况下，可以考虑建立独立坐标系，目的是减小高程归化与投影长度变形产生的影响，将它们控制在一个微小的范围，使计算出来的长度在实际应用时（如工程放样）不需要做任何的改正。独立坐标系的建立有多种方法，在如何建立独立坐标系时应考虑到测区的实际情况。在本文中我将讨论如何建立各种坐标系统以及坐标系统之间的关系，各种方法的优缺点，以及如何选取独立坐标系进行探讨。第一章 坐标系统的建立11 坐标系统的概述坐标系统是所有测量工作的基础，所有测量成果都是建立在其之上。由于线路测量的特殊性，坐标系统的选择相当重要。坐标系统的选择影响到测量成果的正确性和可靠性。选择一个合适的坐标系统，它能为工程带来十分方便的测量，使工程顺利进行，反之依然。地面上P的空间位置可用不同的坐标系统来表示。一般常用的坐标有：天文坐标系统，地面上一点P 的坐标可表示为（，H常）；大地坐标，地面上一点P 的坐标可表示为（B，L，H）；空间大地坐标，地面上一点P 的坐标可表示为（x，y，z）。高斯平面直角坐标系，该坐标系统是将椭球面上的各点的大地坐标，按照一定的数学规律投影到平面，并以相应的平面直角坐标表示。如一点P的平面坐标（x，y），（B，L）为P点在椭球面上相应的大地坐标，a,b我椭球的长，短半轴，则他们的关系为：x=F1（B，L）y=F2（B，L）.其中F1，F2为投影函数。为了能更好地满足测图和工程测量需要，我国目前采用高斯投影平面直角坐标系。该坐标系是由高斯投影即一种等角投影而得，顾名思义，其投影后角度保持不变。其特点有：椭球面上的任意角度投影到平面上保持不变；作为平面坐标轴的中央子午线，投影后为一直线，并且是投影后的对称轴；中央子午线投影到平面后，其长度不变。为了减少投影长度变形，我们把投影区限定在中央子午线两旁的狭窄范围内。为此，我们按精度每隔6或3用子午线把椭球面分成若干长条形的投影带，每一个投影带独立地投影到投影面上，形成独立的坐标系，即可减少因投影而产生的变形。目前我国采用的坐标系统一般有三种：北京54坐标系，西安80坐标系，新北京54坐标系。这几种坐标系都是借助一定的观测手段，采用一的数学方法，在一个实在的运动和变化的物理空间中建立起来的，所以它的定义和描述都是通过以下几组基准数据来描述和体现的：基本常数系统；地极及精度零点系统；位置和方位基准；长度基准；高程基准。以上介绍的均为国家统一坐标系，但在实际的工程测量中，有的国家坐标系并不能满足测图及工程测量的要求，需要建立地方独立坐标系。12 长度改正的计算建立独立坐标系所要考虑的主要因素就是长度变形的问题，也就是实际的距离与转化为独立坐标系中的距离之差要保证能够满足足够小，即确定在一定的允许范围之内，这就是我们通常所说的相对误差允许范围。因此，讨论独立坐标系的建立主要还是讨论长度的变形问题，所以后面的几种独立坐标的建立都是围绕着长度变形而来的。1.2.1 地面观测值归算至椭球面地面观测值换算到椭球面上有两项改正计算：1、将以铅垂线为准的大地观测方向转化为椭球面上以法线为准的大地线方向（方位角改正）；2、将地面观测边长转化为椭球面上的大地线长度（边长改正）。1.2.1.1 地面观测方向归算至椭球面 地面观测方向归算至椭球面上，有3个基本内容：一是将测站点铅垂线为基准的地面观测方向转化为椭球面上以法线为基准的观测方向；二是将照准点沿法线投影至椭球面，换算成椭球面上两点间的法截线方向；三是将椭球面上的法截线方向换算成大地线方向。1、 垂线偏差改正测量计算的基准面和基准线是椭球面及其法线，而观测方向的基准线是测站点的铅垂线。为了求得椭球面上以法线为基准的方向观测值，必须在观测结果中加入相应的改正数，它称之为垂线偏差改正，以表示。垂线偏差改正公式为： （11）其中，A和分别为观测的大地方位角和垂直角。由式（11）可知，垂线偏差改正的大小主要取决于测站点的垂线偏差和观测方向的垂直角。例如在A = 0 、tan = 0.01 的情况下，当=时，得=0.0；当=时，得=。可见，这项改正数是很小的，只有在国家一二等三角测量中，才加入该项改正。2、标高差改正由于测站点和照准点的两条法线不在同一平面上，且照准点高出椭球面一定高度时，从而产生标高差。假设A点为测站点，B点为照准点。为简单起见，设A 点就在椭球面上。如果照准点B高出椭球面某一高度H，在A点照准B点得出的法截线为Ab， B沿法线至椭球面的投影点为b，观测方向归算至椭球面上应该是Ab方向。这样，将Ab方向换算为Ab方向所加入的改正称为标高差改正，以表示。在次不加推导给出的计算公式： （12）式中，为照准点的大地纬度；为测站点至照准点的大地方位角；H为照准点高出椭球面的高程；为测站点子午圈曲率半径。假设=、=，当H =200 m 时，=；当H =2000 m 时，= 。可见标高差 的数值很微小，在进行局部地区的控制测量时，可不必考虑此项改正。 3、截面差改正经过前面两项改正，已将地面观测的水平方向换算为椭球面上的相应法截线方向。这时还需要将法截线方向换算为大地线方向，这项改正叫截面差改正，以表示。假如A到 B点的方位角为45度，A，B两点的平均纬度为45度，即使AB间的距离s=30 km时，经过计算1，只有。所以，只有在一等三角测量中，才进行截面差改正。综上所述，上面的三项改正都是比较小的，在不大的测区范围内，都是可以不用计算在内的。对于一般需要建立独立坐标系的工程，基本上是可以忽略其影响。1.2.1.2 地面观测距离归算至椭球面地面测距的结果，是两端点之间的直线长。空间直线长与端点的铅垂线没有关系，可以直接沿端点的法线归算至椭球面上。为了导出空间直线归算至椭球面的计算公式，可以用下图表示空间直线AB方向的椭球剖面。 图 11 地面观测距离化算至椭球面图中，d 为连接AB的空间直线长；S 为AB在椭球面上的投影点ab之间的弧长。图中用球面弧长代替了椭球面上的法截线弧长。因为当法截线弧长达600 km 时，用适当半径的球面弧长代替法截线弧长，其相对误差只有1：2 500 000，此时球面半径按公式计算取1式中，为两端点之间的平均纬度，处的卯酉圈曲率半径。若A 、B两点的大地高分别为和，则由三角形AOB按余弦公式可以写出根据半角的三角函数得上式继而写为图中，并设高差h = -，代入上式得由此可得ab间的弦长 （13）取， ，则可将上式写得更直观一些，将上式展开为 （14）上式即为空间直线d 换算为椭球面上弦长的计算公式。其次，再将弦长换算为弧长S 。由图11可知： 将上式右端函数展开成幂级数的形式 （15）若将（13）、（14）写成一个式子，取s = ，= ，则得 （16）上式右端第一项实际测距仪与反射镜平均高程面上的水平距离；第二项是水平距离换算成椭球面上相应弦长的改正数；第三项是弦长换算成椭球面上弧长的改正数。因为椭球面上的发截弧与大地线长度相差甚微，二者可不加区别，所以经过上列换算后的长度，可以视为椭球面上的大地线长度。1.2.2 高斯投影与国家直角坐标系地图投影有很多种，比较适用于控制测量的是正形投影。正形投影又可根据不同投影的本身特定条件区分为很多种，而高斯投影则是正形投影中的一种。我国数十年来一直采用高斯投影建立国家平面直角坐标系。对于高斯投影，我们可以这样理解：设想有一个椭圆柱面横套在地球椭球的外面，椭圆柱的中心轴通过椭球中心与椭球的长轴相一致，此时椭圆柱面恰与地球的某一子午线相切，该子午线称作中央子午线。将中央子午线东西各一定范围内的地区按正行条件投影到椭圆柱面上。如下图所示。然后将椭圆柱面沿着通过南极和北极的母线展开，即成高斯投影平面，如图： 图 12 高斯平面投影示意图在高斯投影面上，中央形，满足正行投影要求。 、中央子午线投影后是一条直线。 、中央子午线投影后长度不变，其投影长度比恒等于1。高斯投影尽管保持了子午线和赤道的投影都是直线。若以中央子午线与赤道的交点O作为坐标原点，以中央子午线的投影为纵坐标轴，即x 轴，以赤道的投影为横坐标轴，即为y 轴，这就形成了高斯平面直角坐标系。由上所述可知，形成高斯投影的条件是，也可以说其特性是： 、投影后角度不产生变投影后角度不变，但不能保持长度不变，有些长度变形还会达到很大，严重制约了高斯投影的应用范围。所以有必要对高斯投影的长度比和长度变形作进一步的研究。经过计算推导，可以得出用大地坐标表示的高斯投影长度比m公式： （17）为便于实用，可以进一步推求用平面坐标表示的高斯投影长度比公式： （18）其中，R为投影点处的椭球平均曲率半径，y 为该点的横坐标。上面的公式将有助于我们进一步认识和分析高斯投影长度变形的变化规律。首先看到，投影长度比m随点的位置不同而变化，而在一点处与方向无关，这和正行投影要求是一致的。当y = 0时，m = 1，即中央子午线投影后长度不变，这和高斯投影本身条件是一致的。当时，无论y 值为正为负，m值恒大于 1 ，即离开中央子午线的任何位置，投影到平面上的线段都变长了。其次还增可以看到，长度变形（m-1）与成正比的增大，随着离开中央子午线距离的加，长度变形急剧增大。若取R = 6371 km，根据上式可以算出不同y 值时的长度变形情况，如下表所示：表 11 长度变形随距离y的变化y（km）10203050100150200250长度变 形长度变形是有害的，但是又不能完全避免。只能采取一定的措施对它加以限制，使它的有害影响减下到适当的程度。这其中有效方法之一就是“分带”。所谓分带，就是把投影区域限定在中央子午线两旁的狭窄范围之内。具体做法是，在椭球面上每隔一定的经度，以子午线为界划分出不同的投影区域，形成大小相等的彼此独立的投影带。位于各带中央的子午线即为该带的中央子午线，每一投影带边缘的子午线称为分带子午线。这样，各带就有着自己的坐标原点和坐标轴，形成相对独立的坐标系。地球的形状与大小,即大地水准面的形状与大小,十分接近一个两极稍扁的旋转椭球体.我们平常所用的地形图一般采用高斯投影,即横轴椭圆柱正形投影.如图(略), 椭球与椭圆柱面相切的子午线成为中央子午线或轴子午线,即高斯平面直角坐标系的X轴.将中央子午线东西方向一定经差(一般为6或3)范围地区投影到椭圆柱面上再把椭圆柱面按某一棱线展开,便构成了高斯平面直角坐标系统。高斯投影中,除中央子午线外,椭球面上上任何两点投影到椭圆柱面上,两点间线段的长度均发生变形，且随着中央子午线两侧经差的增大，长度变形加剧。为了控制这种长度变形，使它在测图和用图时影响很小，在相隔一定地区另立中央子午线，即采用分带投影。我国国家测量规定采用6带和3代两种分带办法。一般地，对于1/250001/100000的地形图采用6带，对于1/10000或更大比例尺的地形图采用3带，同时还规定每一个6带向东加宽30，向西加宽15或7.5，以保证在投影带的边缘部分有两套坐标和地形图，便于在边缘部分补点、计算。有些测绘单位为了控制长度变形，满足工程放样的需要，往往对1/1000、1/500或更大比例尺的地形图采用1.5带或独立投影带。由于采用分带投影，椭球面上统一的坐标系被分割成相互独立的坐标系。在公路施工测量中，常常会遇到内容完全相同的地形图中点的坐标不一样的情况，就是在测图时采用了不同中央子午线的缘故，需要进行坐标换带计算。高斯投影分带有效的限制了长度变形，但是在投影带的边缘地区，其长度变形还是达到了很大值，不能供城市和工程建设需要，因此，这就要建立独立坐标系，下一章将对这一点进行探讨。1.2.3高斯投影坐标的换算高斯投影的换算，包括由大地坐标（B ，L ）求高斯平面直角坐标（x ， y ），和由高斯平面直角坐标（x ， y ）求大地坐标（B ，L ）。前者称为高斯投影坐标正算，后者称为高斯投影坐标反算。本节主要介绍它们的计算公式和适用情况。1.2.3.1由大地坐标计算平面直角坐标的公式由大地坐标计算平面直角坐标的一般函数式是以大地经度L从起始子午面起算的，而高斯投影分带的结果，使得各投影带均以起始子午线作为中央子午线，所以，以弧度作单位的经度差 可以表示为： （19）则由大地直角坐标计算平面直角坐标的公式可以表示为：（1-10）式中：B为大地点的大地纬度； X为由赤道至纬度B的子午线弧长； 为到中央子午线的经差，可由公式（19）算出，在中央子午线以东为正，以西为负。上式就是高斯投影坐标的正算公式，在参考文献1中有其完整的推导过程，在此只列出其最后的计算公式。由该公式可以由（B ，L ）计算（x ，y ），当3.5度时，使用该式计算（x ，y ）的精度为0.001m。1.2.3.2由平面直角坐标的公式计算大地坐标下面我将介绍由国家直角坐标（x ，y ）计算大地坐标（B ，L ）的计算公式，亦即高斯投影反算公式。由于参考文献1中对其有详细的论述推导过程，在此也只列出它的最终推导的结果。如下式，（111）说明：而式中B和均以弧度为单位表示，如以度为单位，等号的右端应乘以。其中，凡脚注有“f”的，表明这些函数符号都是以垂足纬度代入求得的。垂足纬度可以根据子午线弧长公式，由x = X 反算求得，该公式如下：X =6367558.496932140.4048135.3303（0.70920.0041） （112）也可以将展开成近似垂足纬度余弦函数的幂级数的形式，直接解算：50221746+293622+（2350+22） （113）式中，为近似垂足纬度，按下式计算： （114）取=57.295 779 513度，所得的以度为单位。1.2.3.3 高斯投影坐标正反算的数值公式在过去，高斯投影坐标计算一直是借助数表来实现的，常用的如高斯克吕格投影计算表，它是以公式（110）和（111）为基础编算的，在高斯计算中发挥了重要的作用。近20年来，随着计算器的变革，有关测量的计算表以不再适应需要，人们可以根据适宜的计算公式用普通的编程计算器来实施计算。下面将依据克拉夫斯基椭球参数计算的结果代入来求高斯投影坐标正反算的数值公式。考虑，0.006 738 525 4，结果可以得出公式：x = 6367 558.4969 （115）式中：（0.333 3333+0.001 123）0.166 66670.008 330.1667（0.1967+0.004） （116） 公式（115）就是高斯投影坐标正算的数值公式 ，式中N为参考椭球卯酉圈曲率半径，B为大地点的纬度，是经差，可以按公式（19）求得，=57.295 779 513.下面将列出高斯投影坐标反算的数值公式，首先由国家坐标来求大地纬度B。若令：（0.5+0.003 369）0.25+（0.16161+0.00562） （117）则： （118）式中，为垂足纬度，关于它的计算在前面已有介绍；其中，z可以表示为。而的值可以经下式算得： 6 399 698.90221 562.267108.973（0.6120.004） （119）下面再列出求经度的计算公式。若令：0.333 333（0.166 6670.001 123） 0.2（0.16670.0088） （120）依旧令为垂足纬度，关于它的计算在前面已有介绍；令，则有 （121）按上式计算的经差以弧度为单位，将其代入（19）式中，就可以求出以度为单位的大地坐标L。式（118）和式（121）就是高斯投影坐标的反算的数值公式。当经差时，该2式计算大地坐标的精度可达到，可以满足高斯投影的多种计算的需要。最后说明的是，本节列出的高斯投影坐标正反算的数值公式采用的是克拉夫斯基椭球参数，所以这些数值公式只实用于采用该椭球参数建立的坐标系统（例如1954年北京坐标系和新1954年北京坐标系）。对于1980年国家大地坐标系的有关计算，则需要另行推导相应的数值计算公式，只要将1975年国际椭球参数值代入公式（110）和（111）即可。详细的公式推导可见参考文献1。第二章建立地方独立坐标系统21建立独立坐标系应注意的问题地面观测边长s投影至大地水准面和高斯平面的改正分别为： 式中， 、边长分别投影至大地水准面、高斯平面的改正值；所测边两端点至大地水准面的平均高程；S 所测边长的水平长度；R 参考椭球体平均曲率半径，可取R = 6371 km。2.1.1 投影改正值的变化规律一般情况下，光采用抵偿高程时常将投影改正作为常数看待，不考虑测区内不同位置投影改正值的变化问题。而实际情况是，即使在地形平坦的地区或较小范围的测区，其影响也是不可忽视的。设测区中任一点 k 与测区中心在东西方向（y轴）上的距离为y，与测区平均高程的高差为h 。k点的两项投影改正与测区中心过平均高程面的改正是不一样的。2.1.1.1大地水准面投影改正值的变化k 点的大地水准面投影改正为：上式中等号右边的第二项即为椭球面投影改正的变化量，令 由上式可见，高差h与投影改正的变化量成正比，随着h的增大而增大，但它们的符号相反。2.1.1.2高斯平面投影改正值的变化k点的高斯平面投影改正为：令 此即为高斯平面投影改正的变化量。由上式可见，与y 和两项有关，其规律为： 、与有正比关系，随着值的增加而增加； 、与y 成抛物线的关系，随着y的增加而增加； 、当一定时，随着（y）的值增加，y（）的值急剧减小。由以上分析可见，光用抵偿面建立的独立坐标系的方法虽然简单，但要进行仔细分析，防止出现不应有的失误。着也是本章重点介绍的问题。2.1.2 测区高差h 和东西一翼长度y 的允许值为使投影改正达到应有的精度，有必要分析h和y的最大允许值。以下计算时取S= 1 km，=25 mm 。2.1.2.1测区任一点与平均高程的高差允许值由式可以写成 若取的极限值25 mm/km ，可得=159 m ，这在上一章也有所计算。由此可见，在只考虑投影至椭球面的改正而不顾及高斯平面投影改正的情况下，测区任一点与测区平均高程面的高差允许值不超过159 m ，也即测区总的高差不能超过318m。若再考虑高斯投影改正的变化量的话，则2.1.2.2测区东西一翼长度的允许值这有两种情况，即中央子午线过测区中心时高斯平面的投影改正，和中央子午线在任意位置时的投影改正。 、中央子午线过测区中心时高斯平面的投影改正变化值此时，= 0 ，则由计算公式得：当 y = 5km时 ，= 0.31 mm ； y =15km时，= 2.77 mm ； y =25 km时 ，= 7.69 mm由上述结果可见，当中央子午线经过测区中心时，即使测区范围很大，高斯平面的投影改正也很小（远小于限差25 mm）。这就是一般文献、资料和很多实际工程测量人员在采用抵偿高程面建立独立坐标系时将高斯投影改正视作常数而对其变化量不予考虑的原因所在。 、中央子午线在任意位置时的值将计算的公式可以改写成以下形式令 ，可得：若取的极限值25 mm/km，则km 。由上式可以计算在不同的值时的允许值。由以上分析可以归纳为：、在不考虑投影至椭球面的改正的情况下，当中央子午线经过测区中心时，测区东西一翼长度允许到45 km ，即测区东西长度可允许至90 km 。、在一定的改正变化允许值和值时，测区中心至东西一翼的允许长度是不一致的，越小，其差值就越大。因此，在用抵偿面作投影面时，当测区的范围大小和高差变化使得变形总量接近极限时，可考虑不以测区中心的y值作值而作适当的调整以满足要求。、随着中央子午线与测区中心的距离的增大，测区东西一翼的允许长度迅速减小。带横坐标自然值最大约160 km ，即在带的边缘地区，测区东西方向一翼长度若超过了6.2 km，高斯平面投影的改正变化量就已经超过了25mm，即使整个测区地形平坦，以测区地面作投影面，其总的投影改正值也已超过限差要求。这就是用抵偿高称面作投影面时应仔细考虑的地方。若再考虑大地水准面改正的变化量，则： 若测区边缘高于测区平均高称的高差达到了100 m，测区的中心横坐标值为150 km ，则=15.7 mm ，可得：=2.5 km ，这对测区的范围要求是非常严格的，因此，在山区测量时应特别注意。2.1.3 坐标系统最佳位置分析在建立独立坐标系统，选择中央子午线和投影面的位置时，只需计算测区中任一点的两项投影改正之和不超过1：40000的精度要求即可，即：25 mm/km式中：为k点的在独立坐标系统中的坐标自然值，为k点在独立坐标系统中的高程。当然，在实际工作中如此考虑不现实，那么，如何确定中央子午线和投影面的位置呢？2.1.3.1确定中央子午线位置的原则考虑到测区距中央子午线的距离和测区本身东西方向的范围大小以及地形的起伏状况后，在允许的情况下，采用抵偿高程面建立坐标系统不失为一种简便的方法。但在测区距中央子午线较远，测区范围或地形起伏比较大时，能否采用抵偿高程面作投影面的方法就需要进行仔细的分析和准确的计算了。根据以上分析可知，如果采用一个坐标系能覆盖整个测区的话，将中央子午线设在测区中心应该是最合适的解决方法。最佳投影面的位置将中央子午线设在测区中心后，还需考虑投影面的位置。当地形起伏较大而相对范围较小的地区，投影面设在测区的平均高程面上是考虑较多的也是恰当的选择。对于地形平坦或高低起伏较小而范围相对较大的测区，取平均高程面作投影面也不是理想的选择，尤其是测区范围达到了极限（如平原地区的大型线路工程）或是将来还有可能继续扩大（如城镇规划、地籍测量）的测区。选择最佳投影面位置的思路是：高斯平面投影始终为正值，中央子午线设在测区中心，则高斯平面投影改正最小值就在测区中心，其值为0 。这时应考虑将投影面尽可能的下移而非测区的平均高程，使大地水准面投影改正为负值以尽可能的控制最大的测区范围。具体要求是：、测区中心处的高斯平面投影改正值不超过其允许值；、测区边缘两项改正之和不超过其允许值 。设测区中心地区的高程为 ，测区边缘与中心处的高差为，当整个测区地形条件允许时，投影面的最佳位置为 H =-159 m 。测区边缘的大地水准面投影改正为： ，两项改正之和为： ，取25mm/km ，S = 1 km ，可得：当测区地形平坦的时， 0 ，则=63 km 。这种结果和上一章第四节中的结果是基本吻合的。这样尽可能的加大测区范围，对于大型线状工程和逐步扩大面积的城镇地区的规划与地籍测量工作是非常有利的。实际工作中，一个工程应尽可能采用一个坐标系统，这是基本要求。如果根据以上分析还不能满足要求的话，那就只能采用两个甚至多个坐标系统了。由以上可以得出结论：一、采用抵偿高程面建立独立坐标系统时，不但要考虑测区距中央子午线的距离和测区的平均高程，还要仔细分析测区地形的高低和测区范围的大小，以防不能满足规范的要求；二、以测区中心为中央子午线位置时，尽可能的下移投影面的位置，即最大限度的加大测区中心处的大地水准面投影改正，以使坐标系统能最大限度的控制测区的范围。22建立地方独立坐标系统的方法建立地方独立坐标系的方法较多，下面讨论几种可供选择的方案。讨论之前，让我们先看看长度元素高程归化改正与高斯投影长度改化计算。 一个导线网观测边长的归算可分为高程归化和长度改化，而方向观测值也要经过方向改化后，才能作为平面的边与边之间的连接方向值，但由于其值较小，不作叙述。这里主要看一看高程归化和长度改化对边长带来的影响。 将地面上观测的长度元素归算到参考椭球面上按以下公式计算： 平均高程面椭球面Hm 图23 高程归化 ,。式中： 为归化到参考椭球体面上的长度； 为地面上的观测长度； 为高程归算改正； 为观测边的平均大地高； 为观测边相对于大地水准面的平均高程；为大地水准面至参考椭球面的距离；为该地区平均曲率半径； 为参考椭球子午圈曲率半径； 为参考椭球卯酉圈曲率半径。对于不同的大地高，长度归算的每千米相对数值见表21（设Rm=6370km）。Hm( hm1+hm2)m- Hm Rm101:60万201:30万501:10万1001:6万1501:4万2001:3万3001:2万4001:1.5万5001:1.2万10001:600020001:300030001:200040001:1000表21由大地高程引起的相对误差说明：（m）为平均大地高程；为每公里相对改正 。而将椭球面上的大地线改换为平面上投影面两端点之间的长度（距离），由图22，可通过演算推导出距离改正的计算公式： ，对于三、四等极其以下的测量，采用精度足够 ，也就是： （223）式中：D 改化到高斯平面上的长度； S 参考椭球面上的长度； S在高斯平面上离中央子午线垂踞的平均值； 该地区平均曲率半径；将椭球面的长度改化到高斯平面的长度按下列公式计算：DS12 图 24 长度改正 式中：为改化到高斯平面上的长度； 为在参考椭球面上的长度； 为在高斯平面上离中央子午线垂距的平均值； 为该地区平均曲率半径。设，边长离中央子午线垂距的相对变形见表22。101:80万201:20万301:9万401:5万451:4万501:3万1001:80001501:36002001:20003001:900表22测量位置引起的相对误差说明：为测区中心到中央子午线距离；为相对变形量。一般情况下，上述两项改正都是同时考虑的，从数值上来说，一个为正，一个为负。这样，地面上的一段距离，经过2 次改正计算后，被改变了实际长度，这种高斯投影面上的长度与实际长度之差既为长度综合变形，可以表示为： （224）为计算上的方便，可将椭球视为圆球，取其半径为R = =6371 KM ，又取不同的投影面上的的距离近似值相等，既= S ，将上式写成相对变形形式，则为： （225）式中：y 表示测区中心的横坐标（自然值），H 为平均高程，y 与H 均以 KM 为单位。方法一 选择“高程抵偿面”作为投影面，按高斯正形投影带计算平面直角坐标公式表明，将距离由较高的高程面化算至较低的椭球面时，长度总是减小的；公式(223)表明，将椭球面上的距离化算至高斯平面时，长度总是增加的。所以两个投影过程对长度变形具有抵偿的性质。如果恰当选择椭球的半径，使距离化算到这个椭球面上所减小的数值，恰好等于由这个椭球面化算至高斯平面所增加的数值的话，那么，高斯平面上的距离就同实地的距离一致了。这个适当的椭球面，就称之为“抵偿高程面”。 欲使长度综合变形得以抵偿，最好是以测区中心的综合长度变形为0 ，既= 0 ，也就是保证 ： 。将推导公式（225）所引用的关系和数据代入，则有 式中，若y以百公里为单位，H以米作为单位，则有H = 785 （31）利用上式就可以确定抵偿高程面的位置。例如，某地中心在高斯投影带的坐标为 y =91 km ，该地区的平均高程为400 m ，按上式算得：H = 785 =650 m即抵偿面应比高程面低650 m 如图所示： 图 31 以抵偿面作投影面抵偿面的高程应为抵偿面的位置确定后，就可以选择其中一个国家控制点作为“原点” ，保持它在国家带内的国家统一坐标值（ ，）不变，而将其他大地控制点的坐标（X ，Y）换算到抵偿高程面相对应的坐标戏中去，换算公式为： 式中，R为该地区平均纬度处的椭球平均曲率半径。这样，经过上式换算的大地控制点坐标就可以作为控制测量的起算数据。通过上述方法测得的控制点的局部坐标系中的坐标，可以按下式反算成国家统一坐标系内的坐标： 可以看出，通过此方法建立的独立坐标系，其测区中心的综合变形为 0 ，单离测区中心越远，变形也就越大，抵偿面与平均高程面的高差越大，测区的范围越小，而由（31）可知，此高差是由测区中心距带中央子午线的距离来决定的，也就是说，测区中心离中央子午线越远，测区的范围也就越小，这些可以由变形相似公式推导出来：而在实际应用中的允许值大都为2.5 cm/km，即1：4万，将其代入上式，即得： 此式中，Y的单位为KM ，H的单位也是 KM ，将此式改变一下，并保持Y的单位不变，H以米作为单位，则得到：当H 170m时 将此式标注为（32）由（31）式可以由测区中心算出抵偿高程面的位置，而由（32）式可以由抵偿高程面的高低计算测区的范围。因此，测区中心的位置决定了高程抵偿面的位置和测区范围。为了更加明了的，并方便实际应用，可以计算得出下表：表31 以测区中心决定的抵偿面位置及测区范围测区中心距中央子午线的位置 （km）抵偿高程面的位置H （km）测区范围（km）00- 45 452031.4- 29 4940126- 20 605019621 676028339 758050266 9210078589 1101201130111 128方法二 保持国家统一的椭球面做投影面不变，选择“任意投影带”，按高斯投影计算平面直角坐标不同投影带的出现，是因为选择了不同经度的中央子午线的缘故。如果合适的选择中央子午线的位置，使长度投影到该带所产生的变形，恰好抵偿这一长度投影到椭球面所产生的变形，此时，高斯投影面上的长度仍然和实地的长度一致。我们称这种抵偿长度变形的投影带为“任意投影带” 。而且，变动高程归化面的计算是比较复杂的，这不仅要计算出新的椭球参数和一切常数，还要把本地区国家坐标系控制点（作为独立坐标系的起算点）转换到新产生的椭球面上，工作量比较大。为了避免这些复杂的计算，建立新坐标系可以不变动高程归化面（即还是把长度归算到国家坐标系的参考椭球面上），而只移动中央子午线的办法。根据下式可以计算出中央子午线离开测区中央地带的远近：设某城市或工程建设地区的平均大地高为，则 这就是说将中央子午线设在西离城市或工程建设中心50km的地方，可以使中央地区的相对误差为零。该坐标系控制的最大距离用下式计算： 式中：表示相对误差。设 =1/4万，则按上面假设数据 上例说明，如果该地区大地高为200m时，而又不改变高程投影面，只要将中中央子午线设在西离测区中央50km的位置，就可以保证在测区中央东西各距18km范围内，两项改正之和小于1/4万。以上两式可以计算任何地区独立坐标系中央子午线的位置及控制的最大范围。在此方法中：将中央子午线西移一个常数（如50km），形成纵坐标轴，其横坐标轴是在赤道处与纵坐标轴垂直相交，如需要亦可向北移动一个常数。根据综合变形长度相对变形形式可知，测区中心离子午线的距离 Y 的选择与允许相对误差和测区的平均高程有关。将长度综合变形的允许值1：4万代入上式，即可得： = 0.78 （33）对于某以知高程面的测区，利用上式可以计算出相对的变形不超过1：4万的国家统一带内的 Y 坐标取值范围；同理，对于带内的不同投影区域，可以算出综合变形不超过允许数值时测区的平均高程的取值范围。如果测区中心的坐标为横轴，取测区的平均高程为纵轴，根据式（33）就可以画出相对变形恒为允许数值之间的两条曲线。这两条曲线就是适用于控制测量的投影带范围的临界限，或者说两条曲线间的区域就是适用于城镇测图和工程测量的投影带范围。如果根据式（33）画图，可以直观形象的判断国家统一带坐标系是否适合于本测区的需要。如果根据本测区的平均高程和带 Y 坐标所确定的位置，处于两曲线以外的“不适用区” ，就应该考虑另行选择坐标系。由公式（32）当H 170m时 可以根据测区平均高程计算由此方法可以适用的范围。为方便应用，可以计算编制下表：表 32 以测区平均高程确定的任意带子午线位置及测区范围测区平均高程H（m）中央子午线离测区中心位置（km）测区的范围（km）00-454510036-215715044-196320050216730062427640071558450080659260087749870094821058001019011090010797116100011310312111001181091261200124115131方法三 选择平均高程面做投影面，通过测区中心的子午线为中央子午线，按高斯投影计算平面直角坐标系我们已经知道，影响长度变形的因素主要有两个，一是将实地距离化算至参考椭球面的变形，再者是将投影面上的长度投影至平面坐标的变形。前面所述的两种方法都是改变其中的一种长度变形而将综合变形控制在允许的范围之内的。而此种方法则同时改变了两种变形量，这也是一般工程中经常采用的建立独立坐标系的方法。把中央子午线移到城市或工程建设地区中央，归化高程面提高到该地区的平均高程面（严格地讲，要提高到那个地区的大地高平均面）。这样既可以使该测区的高程归化改正和中央地区的投影变形几乎为零，又可保证在离中央子午线45km 以内的地区其投影变形的相对误差小于1/4万。这种独立坐标系最适合工程建设区的需要，因为工程建设的所辖面积不会太大，东西跨度90km完全可以满足需要。选择平均高程面做投影面，通过测区中心的子午线为中央子午线，按高斯投影计算的平面直角坐标的建立可以分成以下几步： 、 利用高斯投影正反算的方法 ，将国家点的平面坐标换算为大地坐标（ B ，L ）；并由大地坐标计算这些点在选定的中央子午线投影带内的直角坐标（ X ，Y ） 。关于高斯投影坐标的正反算问题在前面已经做了详细的介绍。 、选择其中一个国家点作为“原点” ，保持该点在选定的投影带内的坐标（设为 ， ）不变其他的国家控制点可以换算到选定的坐标系中去，公式为：经过换算后的各国家控制点可以作为新建立的独立坐标系里的控制点，作为控制网的起算数据。由于这种方法将测区的平均高程面作为投影面，测区的中心子午线为中央子午线，所以无论测区的平均高程的高低还是测区中心离中央子午线的