宁夏银川市第十八中学2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试题（解析版）

2024年九年级数学第一次月考试题（满分：120分时间：120分钟）一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）1.的绝对值是（）A. B. C. D.3【答案】D【解析】【分析】本题考查绝对值，属于简单基础题，根据绝对值意义求解即可．解：的绝对值是3，故选：D．2.下列计算正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了同底数幂乘法、幂的乘方和二次根式的运算，根据运算法则逐一判断即可．A.，原计算错误，不合题意；B.，原计算正确，符合题意；C.，原计算错误，不合题意；D.和不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不合题意；故选：B．3.在天水市汉字听写大赛中，10名学生得分情况如表人数3421分数80859095那么这10名学生所得分数的中位数和众数分别是（）A.85和82.5 B.85.5和85 C.85和85 D.85.5和80【答案】C【解析】【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，据此即可求解．解：根据众数的定义可知：在这一组数据中85是出现次数最多的，故众数是85；根据中位数的定义可知：将这组数据从小到大的顺序排列80，80，80，85，85，85，85，90，90，95，处于中间位置的那个数是85，85，这组数据的中位数是．故选：C．【点睛】本题考查了众数与中位数的意义．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．4.如果关于的方程有实数根，那么的取值范围是（）A. B.且C. D.且【答案】C【解析】【分析】分类讨论：当时，方程为一元一次方程，有解；当时，根据判别式的意义得到，解得且，然后综合两种情况就看得到的取值范围．解：当时，，解得；当时，，解得且，所以的取值范围为．故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．5.下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，根据主视图是从正面看到的图形，左视图是从左面看到的图形，分别画出四个选项中几何体的从正面和从左面看到的图形，通过比较即可得出答案．解：A、如图所示，从正面看和从左面看的图形如下，故此选项符合题意；B、如图所示，从正面看和从左面看的图形如下，故此选项不符合题意；C、如图所示，从正面看和从左面看的图形如下，故此选项不符合题意；D、如图所示，从正面看和从左面看的图形如下，故此选项不符合题意；故选A．6.一个不透明的袋子中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，随机摸出一个小球，记下标号后放回，再随机摸出一个小球并记下标号，两次摸出的小球标号的和是偶数的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两次摸出小球标号为偶数的情况数，即可求出概率．列表得：所有等可能情况数有9种，它们出现的可能性相同，其中两次摸出的小球标号的和是偶数的有5种结果，所以两次摸出的小球标号的和是偶数的概率为，故选D．【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．7.在同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x2+a的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题可先由一次函数y=ax+1图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=x2+a的图象相比较，看是否一致．A．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，a＜0，由直线可知，a＜0，错误；B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，a＞0，二次项系数为负数，与二次函数y=x2+a矛盾，错误；C．由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，a＜0，由直线可知，a＜0，正确；D．由直线可知，直线经过（0，1），错误．故选：C．【点睛】正确理解一次函数和二次函数的性质是解答本题的关键.8.如图：将一个矩形纸片，沿着折叠，使点分别落在点处.若，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：设∠ABE=x，

根据折叠前后角相等可知，∠C1BE=∠CBE=50°+x，

所以50°+x+x=90°，

解得x=20°．

故选B．二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）9.0.000018用科学记数法表示为__________.【答案】【解析】【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为(，n正整数)，与绝对值较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．这里的，．．故答案是：．10.因式分解：=_______________.【答案】a(a+b)(a-b).【解析】分析：本题考查的是提公因式法和利用平方差公式分解因式.解析：原式=a(a+b)(a-b).故答案为a(a+b)(a-b).11.如图，把一块直角三角板直角顶点放在直尺的一边上，如果，那么的度数是__________度【答案】58【解析】【分析】根据两直线平行，同位角相等得到，再根据余角的定义作答．解：根据题意可知，直尺的对边平行，∴，，，．故答案为：58．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和互余的两个角的性质．互为余角的两角的和为．解此题的关键是能准确的从图中找出这两个角之间的数量关系，从而计算出结果．12.用一个圆心角为，半径为2的扇形围城一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为______．【答案】【解析】【分析】本题考查圆锥的侧面展开图与圆锥的底面半径之间的关系，设这个圆锥的底面圆的半径为R，根据扇形的弧长等于这个圆锥的底面圆的周长，列出方程即可解决问题．设这个圆锥的底面圆的半径为R，由题意：，解得．故答案为：．13.如图，点E在正方形内，满足，，，则阴影部分的面积是_______．【答案】76【解析】【分析】本题主要考查勾股定理的应用，正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．根据题意求出，根据即可得到答案．解：在中，，由勾股定理得：，正方形的面积是，的面积是，阴影部分的面积是，故答案为：76．14.如图，某山顶上建有手机信号中转塔，在地面D处测得塔尖的仰角，塔底的仰角，点D距塔的距离为100米，则手机信号中转塔的高度______（结果保留根号）．【答案】米【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题．解答本题的关键是熟练掌握仰角俯角定义，含，的直角三角形性质，解直角三角形．先在中，根据，得出；再在中，根据含30°的直角三角形性质，求出，然后由即可求解．由题意可知，与都是直角三角形．在中，∵，∴，∴．在中，∵，∴，∵，∴，∴．∴手机信号中转塔的高度为米．故答案为：米．15.如图，⊙A过点O(0，0)，C(，0)，D(0，1)，点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO、BD，则∠OBD的度数是_____．【答案】30°【解析】【分析】根据点的坐标得到OD，OC的长度，利用勾股定理求出CD的长度，由此求出∠OCD的度数；由于∠OBD和∠OCD是弧OD所对的圆周角，根据“同弧所对的圆周角相等”求出∠OBD的度数.连接CD.由题意得∠COD=90°，∴CD是⊙A的直径.∵D（0，1），C（，0），∴OD=1，OC=，∴CD==2，∴∠OCD=30°，∴∠OBD=∠OCD=30°.（同弧或等弧所对的圆周角相等）

故答案为30°.【点睛】本题考查圆周角定理以及推论，可以结合圆周角进行解答.16.如图，在平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为（2，4），将△AOB绕点A逆时针旋转90°，点O的对应点C恰好落在反比例函数y＝的图象上，则k的值为_____．【答案】12【解析】【分析】根据题意和旋转的性质，可以得到点C的坐标，把点C坐标代入反比例函数y=中，即可求出k的值．∵OB在x轴上，∠ABO=90°，点A的坐标为（2，4），∴OB=2,AB=4∵将△AOB绕点A逆时针旋转90°，∴AD=4,CD=2,且AD//x轴∴点C的坐标为（6，2），∵点O的对应点C恰好落在反比例函数y=的图象上，

∴k=2，故答案为12．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形的变化-旋转，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．三、解答题（本题共6小题，共计36分）17.解不等式组．【答案】【解析】【分析】先分别求出不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可．解：，解不等式得，；解不等式得，；∴不等式组的解集为．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组．解题的关键在于正确的计算．18.先化简，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】先通分括号内的式子，计算减法，然后计算括号外的除法，最后将a的值代入化简后的式子计算即可．解：，当时，原式．【点睛】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．19.已知：△ABC三个顶点的坐标分别为A（－2，－2），B（－5，－4），C（－1，－5）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2，并写出点B2的坐标．【答案】（1）所求见解析；（2）所求见解析；B2(10，8)．【解析】【分析】（1）根据轴对称图形的性质画出图形即可；（2）利用位似图形的性质得出对应点坐标进而得出答案．（1）如图所示：△即所求：（2）如图所示：△即为所求；【点睛】此题主要考查了位似变换与轴对称变换，得出对应点位置是解题关键．20.我省中小学积极开展综合实践活动，某校准备组织开展四项综合实践活动：“A．我是非遗小传人，B．学做家常餐，C．爱心义卖行动，D．找个岗位去体验”．为了解学生最喜爱哪项综合实践活动，随机抽取部分学生进行问卷调查（每位学生只能选择一项），将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息回答下列问题：（1）本次一共调查了______名学生，在扇形统计图中，m的值是______；（2）补全条形统计图；（3）现有最喜爱A，B，C，D活动项目的学生各一人，学校要从这四人中随机选取两人交流活动体会，请用列表或画树状图的方法求出恰好选取最喜爱C和D项目的两位学生的概率．【答案】（1）200，；（2）见解析（3）【解析】【分析】本题考查了条形图与扇形图的信息关联以及树状图法求概率．（1）用喜欢A项目的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；用减去其它项目所占的百分比，即可求出m的值；（2）用总人数乘以C项目所占的百分比，求出C项目的人数，从而补全统计图；（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出最喜爱C和D项目的两位学生的结果数，然后根据概率公式求解．【小问1】解：本次共调查的学生数是：（人），；故答案为：200，；【小问2】C项目的人数是：（人），补图如下：【小问3】画树状图为：共有12种等可能的结果数，恰好选取最喜爱C和D项目的两位学生的结果数为2种，所以恰好选取最喜爱C和D项目的两位学生的概率=．21.如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠E=60°，AC=,求菱形ABCD的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）菱形ABCD的面积为【解析】试题分析：（1）根据菱形的对边平行且相等可得AB=AD，AB∥CD，然后证明得到BE=CD，BE∥CD，从而证明四边形BECD是平行四边形；（2）根据（1）的结论，以及菱形的性质可求出两对角线，然后根据菱形的面积=对角线之积的一半可求解.试题解析：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD，AB∥CD.；又∵BE=AB，∴BE=CD∵BE∥CD,∴四边形BECD是平行四边形.（2）∵四边形BECD是平行四边形，∴BD∥CE.∴∠ABO=∠E=60°.又∵四边形ABCD是菱形，∴AC丄BD,OA=OC.∴∠BOA=90°，∴∠BAO=30°.∵AC=,∴OA=OC=.∴OB=OD=2.∴BD=4.∴菱形ABCD的面积=22.为了响应国家“足球进校园”的号召，某校计划为学校足球队购买一批足球，若购买1个A品牌的足球和1个B品牌的足球共需140元；若购买4个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需360元．（1）求购买一个A品牌的足球和一个B品牌的足球各需多少元？（2）已知该校需购买10个足球，且总费用不超过800元，则最多能购买多少个B品牌的足球？【答案】（1）购买一个A品牌的足球需要40元、购买一个B品牌的足球需要100元（2）最多能购买6个B品牌的足球【解析】【分析】（1）设购买一个A品牌足球需x元，一个B品牌足球y元，根据购买1个A品牌的足球和1个B品牌的足球共需140元；若购买4个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需360元，列出方程组，然后求解即可；（2）设购买B品牌足球m个，则购买A品牌（10-m）个足球，根据总费用不超过800元列不等式求出最大整数解即可．【小问1】解：设购买一个A品牌的足球需要x元、购买一个B品牌的足球需要y元，根据题意，得：，解得：，答：购买一个A品牌的足球需要40元、购买一个B品牌的足球需要100元；【小问2】解：设购买B品牌足球m个，则购买A品牌足球（10-m）个，根据题意，得：40（10-m）+100m≤800，解得：m≤，∵m为整数，∴m=6，即最多能购买6个B品牌的足球．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．四、解答题（23，24题各8分，25，26题各10分）23.已知：如图，AC⊙O是的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，∠PBA=∠C．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若OP∥BC，且OP=8，BC=2．求⊙O的半径．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】【分析】（1）连接OB，求出∠ABC=90°，∠PBA=∠OBC=∠OCB，推出∠PBO=90°，根据切线的判定推出即可．（2）证△PBO和△ABC相似，得出比例式，代入求出即可．（1）证明：连接OB，∵AC是⊙O直径，∴∠ABC=90°．∵OC=OB，∴∠OBC=∠ACB．∵∠PBA=∠ACB，∴∠PBA=∠OBC．∴∠PBA+∠OBA=∠OBC+∠ABO=∠ABC=90°．∴OB⊥PB．∵OB为半径，∴PB是⊙O的切线．（2）设⊙O的半径为r，则AC=2r，OB=R，∵OP∥BC，∠OBC=∠OCB，∴∠POB=∠OBC=∠OCB．∵∠PBO=∠ABC=90°，∴△PBO∽△ABC．∴，即，解得．∴⊙O的半径为．24.如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且．（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；（2）判断的形状，证明你的结论；【答案】（1）；（，−）；（2）直角三角形；证明见解析【解析】【分析】（1）根据抛物线过A（−1，0）点，直接求出b的值，再根据配方法求出二次函数顶点坐标即可；（2）分别求出三角形三边，即可得出三角形的形状．解：（1）∵抛物线过A（−1，0）点，

∴0＝×1＋b×（−1）−2，

∴b＝−，

∴抛物线的解析式为：，

∴，

＝＝＝＝，

∴顶点D的坐标为（，−）；（2）∵抛物线的解析式为：＝，

∴当y＝0，

∴0＝，

解得：x1＝4，x2＝−1，

∴A（−1，0），B（4，0），

当x＝0，y＝−2，

∴AO＝1，CO＝2，

∴AC＝，

BO＝4，

∴BC＝∴AB＝5，

∵AC2＝5，BC2＝20，AB2＝25，

∴AC2＋BC2＝AB2，

∴△ABC是直角三角形．【点睛】此题主要考查了配方法求二次函数顶点坐标以及三角形形状的判定方法，此题基础性较强，主要结合图形分析注意计算的正确性．25.某公司试销一种成本单价为50元/件的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元/件）可近似看作一次函数y＝kx+b的关系（如图所示）（I）根据图象，求一次函数y＝kx+b的解析式，并写出自变量x的取值范围；（Ⅱ）该公司要想每天获得最大的利润，应把销售单价定为多少？最大利润值为多少？【答案】（1）y=﹣x+100（50≤x≤80）；（2）销售单价定为75元/件，最大利润为625元．【解析】【分析】（1）根据题意，利用待定系数法求一次函数的解析式即可；（2）设每天获得的利润为W元，构建利润W与销售单价x的二次函数模型，根据二次函数的性质即可求解．解：（1）由函数的图象得：，解得：，∴所以y=﹣x+100（50≤x≤80）；（2）设每天获得的利润为W元，由（1）得：W=（x﹣50）y=（x﹣50）（﹣x+100）=﹣x2+150x﹣5000=﹣（x﹣75）2+625，∵﹣1＜0，∴当x=75时，W最大=625即该公司要想第天获得最大利润，应把销售单价为75元/件，最大利润为625元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意，正确的构建二次函数模型是解决问题的关键．26.如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度