信号与系统-第四章.ppt

1 第四章傅里叶变换和系统的频域分析 信号分解为正交函数傅里叶级数周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换的性质能量谱和功率谱周期信号的傅里叶变换LTI系统的频域分析取样定理序列的傅里叶分析离散傅里叶变换及其性质 2 1信号分解为正交函数 直流分量和交流分量偶分量与奇分量脉冲分量实部分量与虚部分量正交分量 3 1信号分解为正交函数 直流分量和交流分量直流分量交流分量信号平均值 4 1信号分解为正交函数 偶分量和奇分量偶分量定义奇分量定义0t0t 5 1信号分解为正交函数 脉冲分量 6 变量置换 7 1信号分解为正交函数 实部分量和虚部分量 8 1信号分解为正交函数 正交矢量集在空间中任一矢量为正交矢量集的线性组合 9 1信号分解为正交函数 正交函数在 t1 t2 区间两个函数f1 t 和f2 t 若满足则称f1 t 和f2 t 在区间 t1 t2 内正交 正交函数集如有n个函数f1 t fn t 构成一个函数集 当这些函数在区间 t1 t2 内满足0 i jk i j k 0则称此函数集为区间 t1 t2 内的正交函数集 10 1信号分解为正交函数 完备正交函数集如果在正交函数集 f1 t fn t 之外 不存在另一个函数f t 满足等式则此函数集称为完备正交函数集 例如三角函数集 1 cos t cos 2 t sin t sin 2 t 在区间 t0 t0 T 组成完备正交函数集 例如复函数集 1 ej t ej2 t 在区间 t0 t0 T 组成完备正交函数集 11 1信号分解为正交函数 信号分解为正交函数设有n个函数 1 t 2 t n t 在区间 t1 t2 构成一个正交函数集 则任一函数如何选择Ci才能得到最佳近似 12 1信号分解为正交函数 帕斯瓦尔 Parseval 方程 13 2傅里叶级数 狄利赫利条件在一个周期内只有有限个间断点 在一个周期内有有限个极值点 在一个周期内函数绝对可积 即一般周期信号都满足这些条件 14 2傅里叶级数 周期信号的分解 直流分量 基波分量n 1 谐波分量n 1 15 2傅里叶级数 周期信号的分解直流系数余弦分量系数正弦分量系数 16 2傅里叶级数 三角函数是正交函数 17 2傅里叶级数 周期信号的另一种表达方式 18 2傅里叶级数 周期信号的另一种表达方式 19 2傅里叶级数 奇 偶函数的傅里叶级数偶函数 f t f t 奇函数 f t f t 奇谐函数 半周期对称任意周期函数有 偶函数项奇函数项 20 周期偶函数只含直流和 其中a是实数bn 0Fn是实数 21 例如 周期三角函数是偶函数 E f t T1 2 T1 2 t 22 周期奇函数只含正弦项 Fn为虚数 23 例如周期锯齿波是奇函数 E 2 E 2 T1 2 T1 2 f t t 0 24 奇谐函数 25 奇谐函数的波形 f t T1 2 T1 2 0 t 26 奇谐函数的傅氏级数 奇谐函数的偶次谐波的系数为0 27 例 利用傅立叶级数的对称性判断所含有的频率分量 周期偶函数 奇谐函数 只含基波和奇次谐波的余弦分量 周期奇函数 奇谐函数 只含基波和奇次次谐波的正弦分量 28 含有直流分量和余弦分量 29 2傅里叶级数 指数形式 30 3周期信号的频谱 周期信号的谱线只出现在基波频率的整数倍的频率处 直观看出 各分量的大小 各分量的频移 Fn 31 3周期信号的频谱 An是实函数 Fn一般是复函数 当Fn是实函数时 可用Fn的正负表示0和 相位 幅度谱和相位谱合一 32 3周期信号的频谱 幅度为1 脉冲宽度为 的频谱离散频谱 谱线间隔为基波频率 脉冲周期越大 谱线越密 各分量的大小与脉幅成正比 与脉宽成正比 与周期成反比 各谱线的幅度按包络线变化 过零点为 主要能量在第一过零点内 主带宽度为 33 3周期信号的频谱 周期信号的功率 34 4非周期信号的频谱 频谱密度傅里叶变换傅里叶反变换傅里叶变换存在的充分条件 35 4非周期信号的频谱 典型非周期信号的频谱矩形脉冲信号单边指数信号 36 矩形脉冲信号 37 t 0 38 单边指数信号 信号表达式幅频相频 39 f t t 0 0 0 40 符号函数 41 f1 t 1 0 t a a0 t Sgn t 1 1 42 冲激函数 1 t 0 1 0 t 0 0 43 冲激偶 44 阶跃信号 u t 0 t 0 45 5傅里叶变换的性质 对称性和叠加性奇偶虚实性尺度变换特性时移特性和频移特性微分和积分特性卷积定理相关定理 46 一 对称性 若已知则 证明 47 1 0 0 0 0 48 若f t 为偶函数 则时域和频域完全对称直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子 49 FT 对称性 t换成 f换成 换成 50 二 线性 叠加性 若则 51 求 的傅立叶变换 52 三 奇偶虚实性 无论f t 是实函数还是复函数 下面两式均成立 时域反摺频域也反摺 时域共轭频域共轭并且反摺 53 一 f t 是实函数 偶函数 奇函数 实函数的傅立叶变换的幅度谱为偶函数 而相位谱为奇函数 54 二 f t jg t 是虚函数 虚函数的傅立叶变换的幅度谱仍为偶函数相位谱仍为奇函数 偶函数 奇函数 55 实偶函数的傅立叶变换仍为实偶函数 f t 0 t 0 56 实奇函数的傅立叶变换则为虚奇函数 f t 0 57 四 尺度变换特性 若则 58 时域中的压缩 扩展 等于频域中的扩展 压缩 f t 2 压缩 扩展 59 等效脉宽与等效频带宽度 等效带宽 等效脉宽 60 求下列时域函数的频谱的带宽 时移不影响带宽 时域重复影响福频高度不影响频谱带宽 61 五 时移特性 若则证明 62 带有尺度变换的时移特性 若a 0 则有绝对值 63 例 求三脉冲信号的频谱 单矩形脉冲的频谱为有如下三脉冲信号其频谱为 64 65 六 频移特性 若则证明同理 66 调幅信号的频谱 载波技术 求 的频谱 67 载波频率 68 频移特性 69 调幅信号都可看成乘积信号 矩形调幅指数衰减振荡三角调幅 求它们的频谱 略 70 七 微分特性 若则 71 三角脉冲 72 三角脉冲的频谱 方法一 代入定义计算 如前面所述 方法二 利用二阶导数的FT FT 73 八 积分特性 一 若则 74 八 积分特性 二 若则 75 积分特性的证明 令两边求导FT微分特性FT积分特性 76 斜平信号的频谱 看成高 宽的矩形脉冲的积分 F 0 不为0 77 FT 0 FT FT 78 用FT积分特性求阶跃的FT 79 卷积定理 时域卷积定理FT f1 t f2 t F1 j F2 j 频域卷积定理FT f1 t f2 t 1 2 F1 j F2 j 80 相关定理 FT R12 F1 j F2 j FT R F j 2 81 6功率谱和能量谱 对于能量有限信号 其能量谱 FT R 对于功率有限信号 其功率谱P FT R 82 7周期函数的傅里叶变换 周期函数傅里叶级数非周期函数傅里叶变换 83 7周期函数的傅里叶变换 周期信号不满足绝对可积条件引入冲激信号后 冲激的积分是有意义的在以上意义下 周期信号的傅立叶变换是存在的周期信号的频谱是离散的 其频谱密度 即傅立叶变换是一系列冲激 84 7周期函数的傅里叶变换 85 7周期函数的傅里叶变换 当对周期函数进行傅里叶变换时得到的是频谱密度 而将周期函数展开为傅里叶级数时 得到的是傅里叶系数在引入冲激函数后 对周期函数也能进行傅里叶变换 从而对周期函数与非周期函数可以用相同的观点进行分析运算 86 8LTI系统的频域分析 频率响应y t h t f t Y j H j F j 87 8LTI系统的频域分析 无失真传输系统的输出信号与输入信号相比 只有幅度的大小和出现时间的先后不同 而没有波形上的变化 时域 y t Kf t td 频域 H j Ke j td 88 8LTI系统的频域分析 理想低通滤波器的冲激响应理想低通滤波器频率响应H j e j tdg2 c 89 8LTI系统的频域分析 理想低通滤波器的阶跃响应 90 8LTI系统的频域分析 二阶低通滤波器RLC电路 91 9取样定理 相乘 相卷 时域抽样 频域周期重复 92 9取样定理 FT FT 相乘 相卷积 93 9取样定理 时域取样定理一个频谱在区间 m m 以外为零的频带有限信号f t 可唯一地由其在均匀间隔Ts上的样点值f nTs 确定 f t 必须是带限信号 其频谱函数在 m各处为零 取样频率不能过低 必须满足fs 2fm 94 9取样定理 频域取样定理一个时域在区间 tm tm 以外为零的频带有限信号F j 可唯一地由其在均匀频率间隔fs上的样点值F jn s 确定 95 10序列的傅里叶分析 周期序列的离散傅里叶级数 DFS 96 10序列的傅里叶分析 非周期序列的离散傅里叶变换 DTFT 97 11离散傅里叶变换及其性质 离散傅里叶变换 DFT 为了使傅里叶变换可以利用计算机实现 人为地把f k 延拓成周期序列fN k 使f k 成为主值序列 所以DFT并非指对任意离散信号进行傅里叶变换 而是为了利用计算机对有限长序列进行傅里叶变换而规定的一种专门运算 98 11离散傅里叶变换及其性质 DFT和IDFT的矩阵形式 99 11离散傅里叶变换及其性质 DFT的性质线性对称性时移特性和频移特性时域循环卷积定理和频域循环卷积定理巴塞瓦尔定理 100 11离散傅里叶变换及其性质 线性DFT a1f1 k a2f2 k a1F1 n a2F2 n 101 11离散傅里叶变换及其性质 对称性 102 11离散傅里叶变换及其性质 时移特性频移特性其中f k m NGN k 和F n l NGN n 表示圆周移位 103 11离散傅里叶