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第2章四边形 2 5 2矩形的判定 矩形的四个角是直角 那么 四个角是直角的四边形是矩形吗 三个角是直角呢 两个角是直角呢 如图2 46 四边形ABCD的四个角都是直角 由于 同旁内角互补 两直线平行 因此AB DC AD BC 从而四边形ABCD是平行四边形 所以 ABCD是矩形 由此得到四个角是直角的四边形是矩形 图2 46 三个角是直角的四边形是矩形 三个角是直角的四边形 容易知道另一个角也是直角 由此得到 从 矩形的对角线相等且互相平分 这一性质受到启发 你能画出对角线长度为4cm的一个矩形吗 这样的矩形有多少个 你能说出这样画出的四边形一定是矩形的道理吗 如图2 47 由画法可知 四边形ABCD的两条对角线互相平分 因此它是平行四边形 又已知其对角线相等 上述问题抽象出来就是 对角线相等的平行四边形是矩形吗 我们来进行证明 在 ABCD中 由于AB DC AC DB BC CB 因此 ABC DCB SSS 从而 ABC DCB 又 ABC DCB 180 于是 ABC 90 所以 ABCD是矩形 图2 47 对角线相等的平行四边形是矩形 由此得到矩形的判定定理 对角线相等的四边形是矩形吗 图2 48 2 OBC是等腰三角形 其中OB OC AC与DB相等且互相平分 OBC是等腰三角形 AC 2OC 2OB BD ABCD是矩形 图2 48 1 如图 在四边形ABCD中 A B C D 求证 四边形ABCD是矩形 证明 因为四边形中 A B C D 四边形的内角和为360 所以 A B C D 90 所以四边形ABCD是矩形 三个角是直角的四边形是矩形 2 如图 在 ABCD中 对角线AC BD相交于点O AOB 60 AB 2 AC 4 求 ABCD的面积 解 OA 2 AB 2 OAB是等腰三角形 OAB是等边三角形 又 AOB 60 OA OB 2 AC BD 4 ABCD是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形 作OE AD于点E E 在Rt OAE中 AO 2 OE
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