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文档简介
试卷编号: ( )卷课程名称: 适用班级: 姓名: 学号: 班级: 专业: 学院: 系别: 考试日期: 题号一二三四五六七八九十总分累分人 签名题分25131312121015 100得分考生注意事项:1、本试卷共8页,请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。 2、考试结束后,考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。一、判断题(每题5分,共25分) 得分评阅人 以下命题是正确的,请给以证明;不正确的,请举例说明。1、将数列分成无穷多个序列:,。它们均收敛于同一个极限,则必收敛。这里,。2、设函数在可导,则在的某个邻域内连续。3、设函数,则在内没有原函数。4、设在内有定义,若对任意正数,有,则存在(极限有限)。5、若函数满足,则在可导。 南昌大学第三届高等数学竞赛(数学专业类2005级)试卷二、证明题(13分)得分评阅人 设,且,则无界。三、证明题(13分)得分评阅人 设,则(i)在一致连续;(ii)在不一致连续。四、证明题(12分)得分评阅人 设函数在上有二阶导数,则存在,使得。五、证明题(12分)得分评阅人 设满足微分方程。(i)若在处取极值,证明它必为极小值; (ii)若在处取极值,问是极大还是极小?六、证明题(10分)得分评阅人 设连续,且,求并讨论在的连续性。七、证明题(15分)得分评阅人 设函数在上可积,在处连续。设, 证明:。数学分析竞赛(2005级解答)一、判断题(每题5分,共25分)1、不正确。例:,。2、不正确。例:。3、正确。若有使,则,当;,当。,。4、不正确。例:。5、正确。可通过定义直接验证。二、证明题(13分)证明:由,有。 特别地有, 整理得, (1) 注意到,故有 (2)由(1)和(2)可得 以此类推,可得且,所以无界。 三、证明题(13分)证明:(i)只须证:,有。事实上,任取, 。即 ,因此可取。 (ii)只须证:,有。事实上,取, 充分大时,而。证毕。 四、证明题(12分)证明:因为,故有,使得,于是。 另外, 在之间。 将分别代入上式,得, , , 当时,;当时,。所以(取或),有。 五、证明题(12分)证明:(i),于是,得。所以在取极小值。 (ii),而 ,所以在也取极小值。 六、证明题(10分)证明:由已知,连续且,故。 所以。令,所以,于是。 另外, 。 ,所以在连续。 七、证明
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