南昌大学第三届高等数学竞赛数学专业类05级试题及答案.doc_第1页
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试卷编号： ( )卷课程名称： 适用班级： 姓名： 学号： 班级： 专业： 学院： 系别： 考试日期： 题号一二三四五六七八九十总分累分人 签名题分25131312121015 100得分考生注意事项：1、本试卷共8页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。 2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。一、判断题(每题5分，共25分) 得分评阅人 以下命题是正确的，请给以证明；不正确的，请举例说明。1、将数列分成无穷多个序列：，。它们均收敛于同一个极限，则必收敛。这里，。2、设函数在可导，则在的某个邻域内连续。3、设函数，则在内没有原函数。4、设在内有定义，若对任意正数，有，则存在（极限有限）。5、若函数满足，则在可导。 南昌大学第三届高等数学竞赛（数学专业类2005级）试卷二、证明题（13分）得分评阅人 设，且，则无界。三、证明题（13分）得分评阅人 设，则（i）在一致连续；（ii）在不一致连续。四、证明题（12分）得分评阅人 设函数在上有二阶导数，则存在，使得。五、证明题（12分）得分评阅人 设满足微分方程。（i）若在处取极值，证明它必为极小值； （ii）若在处取极值，问是极大还是极小？六、证明题（10分）得分评阅人 设连续，且，求并讨论在的连续性。七、证明题（15分）得分评阅人 设函数在上可积，在处连续。设， 证明：。数学分析竞赛（2005级解答）一、判断题（每题5分，共25分）1、不正确。例：，。2、不正确。例：。3、正确。若有使，则，当；，当。，。4、不正确。例：。5、正确。可通过定义直接验证。二、证明题（13分）证明：由，有。 特别地有， 整理得， （1） 注意到，故有 （2）由（1）和（2）可得 以此类推，可得且，所以无界。 三、证明题（13分）证明：（i）只须证：，有。事实上，任取， 。即 ，因此可取。 （ii）只须证：，有。事实上，取， 充分大时，而。证毕。 四、证明题（12分）证明：因为，故有，使得，于是。 另外， 在之间。 将分别代入上式，得， ， ， 当时，；当时，。所以（取或），有。 五、证明题（12分）证明：（i），于是，得。所以在取极小值。 （ii），而 ，所以在也取极小值。 六、证明题（10分）证明：由已知，连续且，故。 所以。令，所以，于是。 另外， 。 ，所以在连续。 七、证明
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